线性系统的频域分析总结

五.线性系统的频域分析法

5-1频率特性

1.频率特性的根本概念

理论依据

定理：设稳定线性定常系统团的输入信号是正弦信号团，在过度过程完毕后，系统的稳态

输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率13的函数，表示为

c(t)=y(o)sin[(vr+，(助]。

幅频特性:电输出信号与输入信号幅度的比值。描述幅度增益与频率的关系；

相频特性:团输出信号的相角与输入信号相角的差值。描述相移角与频率的关系；

频率特性：0,幅频特性和相频特性的统称。

传递函数G(s)<=>频率特性G(j3)|*⑼。

NG(加)

1.幅频特性A(3)G(jco)

相频特性小(3)G(j<o)

指数表达式G(j3)=A(<o)ej*(u>

频率特性的物理意义是：

当一频率为3的正弦信号加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比；

或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。

2.频率特性的几何表示法(图形表示方法)

a)图形表示的优点是，直观，易于了解整体情况。

b)幅相频率特性曲线

幅相频率特性曲线简称为幅相曲线或极坐标图、奈氏曲线等。横轴为实轴，纵轴为虚

轴，当频率回从零变到无穷人时，团点在爱平面上留下频率曲线。曲线上的箭头表示频率增大

的方向：

极坐标形式:团

直角坐标：Q

PCco>A(CO>cos[S<co>1

QCco>-A<co>»inL<^<

A(co>-，P<8)・

实轴正方向为相角零度线，逆时针方向为角度的正角度，顺时针为负角度。

C)幅相频率特性曲线的缺点：不易观察频率与幅值和相角的对应关系。

d)对数频率特性曲线

对数频率特性曲线乂称伯德团图。伯德图将幅频特性和相频特性分别绘制在上下对应

的两幅图中；横轴为频率轴，单位是弧度，对数刻度；幅频特性的纵轴为对数幅度增益轴,团,

单位是分贝胤均匀刻度：相频特性的纵坐标为相移轴，单位是度(也可以用弧度)，均匀刻

度。

对数幅频特性201g|G(jco)|<//?s

｛对数相频特性NG(Js)(o)-----------必。)

J纵坐标均按线性分度按lgn,分度

1横坐标是加速率°10倍频程，用dec表示

对数幅频特性图

L(3)dl3=20co)：<//?

-40

-20

°1|||，…、

----------------------------------------------------------------------•"Xrad/.V)

0.010.1-----------------11<>1OO

对数相频特性图

-Q<>°

-45°

O°I|1|

».oi0.1Iinionex

---45°

—-O<>°

采用对数分度优越性:1把串联环节的幅值由相突变为和的形式。

2。可以展宽低频率段，压缩高频率段。

对数幅相曲线

对数幅相曲线又称尼科尔斯图。将幅频特性和相频特性绘制在同一幅图中，纵轴为对

数幅度增益轴，单位是分贝①，均匀刻度；横轴为相移釉，单位是度，均匀刻度。

5-3开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线绘制

1反应控制系统的开环传递函数通常易于分解成假设干典型环节串联，了解典型

环节的频率特性，有助于掌握系统的开环频率特性。

典型环节：

1.1典型环节的频率特性及幅相曲线：0,0,0;

1.2放大环节G(s)=K和对应的非最小相位环节GF⑸=-K；

1.30,0,0；

1.4积分环节G(s)=1/5和微分环节G(s)=s；

1.50,0；和团,曲

1.6惯性环节G(.y)=1/(Ts+I)和对应的非最小相位环节GF(S)=1/(Ts-\)；

0,0；

2团,团,团；

3

比例环节K(K>0)；

1.1-1(反向环节)；

1.21/(751)(7>0)；

1.3l/d-z,Ts+l)

(T>O,O<^<1)；

1.4Ts-\(T>0)；

1.572s2一区n+i

3.1积分环节L's；

(T>O,O<^<1)：

G<J3)

>>H?

<r/>>―A<>

——v<>0

2,(<”)-20l&/(<”)——201&(i>

{3(a>)=—90°

co—1A(o>)=O<//y

co-1O/-(<»>)=—2()ciJi

乙,一1<)<)/.<，，>>=-40dJi

惯性环节1/(〃+l)(T>0)；

A(CO)=3

G(s)=sL(co)«201gco

c>=>rad/x/.(to)=0dli

G(jco)=j€O，…l()ra<//s/.(3)=20。〃，

6(3)=4-90

<>

F函GS-TT7T频率特性GGsjw*?

A(co)=1G(jco)|=-

+(coT)一

<p(.CD)=—tg-'coT

3

L(3>201SA<co>-201BVf1+<<OT)]<dB>

{V>(3)nrctg<coT)(T*t?W'

■(氐虫5时.QR«»j；.<«Ti

I.(co)-201R7l1»-<«oT)BJ«201Rl_O<dn)

低频时的Xt敝的频曲线是一条o分贝的H线

振荡环节1/(72/+24△+1)(T>O,O<^<1)

低频时的对数嗝频曲线是一条0分贝的直线。

高频时对数幅频特性曲线：是一条斜率为-40分贝/十倍频程的直线。

・限大谀差出现在89f,二：

在OdB纹上垃

｛在OdB线下珈

由于识法较人，典根据V修正.

gv0.707必须进行修正

>0.707可不修正

MU取值地不、，贝IJ谀天W杨大。

当ZXc，)A。时，如出现i皆加现«!•-

对应频率叫谐振频率.出现谐振时峰值大小，叫谐振峰

值，即.4®最大值

令*/=。可求得发生谐振时的频率和峰休

1

M=----0=4C=0.707

谐振峰值r2^4^2

反映了系统的阻尼程度

谐振频率叫=叫苓

CD,.0C%,CD,.反映系统的快速性

一阶微分环节4+1(T>0)；

<7(jCD)=1+/COTT

y4(>=J1+()二

/<>=2<>I&JI+('

S(O>=/XT1MP

在高频时，即CDT»l,C0»-

T

L(co)=201g7[l+(coT)2]^201gcoT(dB)

高频时对数幅频特性曲线：是一条斜率为+20分贝/十倍频程的直线。

二阶微分环节T2s2+2，△+1(7>0,0<^<1)；

同振荡环节

微分环节s

非最小相位环节，环节的零点或极点在S平面的右半部。

■■■北缄小相似环节很小相位环节

G(s)=Ts—1G(s)=Ts+l

G(jco)=jcoT—1G(jco)=jcoT+1

・4(。)=<1+("〉

7川」1—)=201gJ1+S力)2

</>(g)=180-tg'*Tco<p(ro)=tg-ITo)

非施小相位环甘最小相位环节

G(s)l/(Ts-1)G(s)-l/(Ts+l)

G(jco)=l/(j<oT-1)G(jco)=l/(jcoT+1)

rJ(«)=i/7i+(«r)2

相同I2(。)=-201g,1+37)2

(p(M)=—(180-tg*'T<u)<p(co)=—tg-lTG>

非最小相位环节的相角绝对值大于最小相位环节

最小相位环节和非最小相位环节的区别。

最小相位环节:在右半s平面既无极点，也无零点的环节。

非最小相位环节：在右半S平面有极点和零点的环节。

最小相位环节:只具有最小相位环节的系统。

非最小相位环节：至少有一个非最小相位环节的系统。

对于最小相位环节，其传递函数有单一的幅值曲线唯一确定。而非最小相位环节不是

这样。

最小相位环节，其幅值特性和相角特性唯一对应。这意味着，如果系统的幅值曲线在

从零到无穷大的频率范围上给定，那么，相角曲线被唯一确定。（这个结论对非最小相位系

统不成立。）

绘制bode图的步骤:

1.写出开环频率特性表达式(变成典型环节形式)

2.计算201gk,找出(o=L201g/r)这一点为低频

渐近线所通过的一点。斜率为"*(-20dB/dec)

3.把各个环节的转折频率由小到大都标到坐标轴上

4、延长低频渐近线，每通过一个转折频率，

斜率要改变一次

当遇到(7s+D±。斜率变化为±20如/dec

当遇到(T2s2+2T7+14-斜率变化为±40四/dec

5.第一个转折频率为低频区，最大转折频率

为高频区，跨接0历轴的频段是中频段

6.对振荡及二阶微分环节，4<0.707要进行

修正

放大倍数K的求法：

"Gd(s)W是低频渐近线的数学模型

1.当0=1时£(。)是201gK

2.当Bode图上没有给出。=1的幅值时

0型系统，低频段任一点〃。)=201gK

1型及以上系统，低频渐近线或其延长线,

与0分贝线的交点的频率。=四”"

(1)奈氏稳定判据：

(2)幅角原理(保角原理)

设团是复变量s的单值有理函数，r是s平面上的一条不经过团的极点和零点的闭合曲线。s平

面上的点s沿曲线1'顺时钎运动一周，它(「曲线)在团平面上的象轨迹是一条闭合曲线「F,曲线

1、F包围13平面原点的圈数为

团，

式中P是曲线1、包围的团极点个数；Z是曲线I'包围的12零点个数；R>0表示曲线1'F逆时

针包围原点R次R<0表示曲线rF顺时针包围原点R次R=0表示曲线「F不包围原点；

简要说明：S平面上的点s在团平面上的象为同现主要关注相角变化情况，

ntn

〃($)=Z4s-zj)-Zz(5-Pi)。

j=\i=\

在S沿曲线门顿时针运动一周，回的值因团的位置不同而不同；假设回被曲线「包围变化值为团，否

那么变化值为0。

ZP

ANF(s)=Z4s-zJ)-£4s-0)。

k=i/=1

(3)那么有回，因逆时针一周为团所以得用。

(4)更变函数/(5)的选取

开环传递函数囹的闭环系统的特征多项式为国另一种形式为

回

要求闭环系统稳定，那么闭环极点，即B的零点必须都在S平面的左半部：0

的极点也就是开环的极点未作限制，对闭环系统稳定性有影响。

F⑸具有以下特点:(1)F(s)的零点=闭环极点

(2)F(s)的极点=开环极点

(3)F(s)的零、极点数目一样

(4)F(s)和G(s)H(s)只差常数1

(5)S平面闭合曲线/'的选取

在s平面上选取的闭合曲线r为：包围整个S平面右半部的闭合曲线r；假设在原点处有

开环极点，闭合曲线以无穷小半径的右半圆弧绕过原点，对应的象是半径无穷大的圆弧，弧

度为囿国为在原点处的极点个数；假设在虚轴上有共聊极点，同样以无穷小半径的右半圆弧

绕过极点。

(6)因为团的零点都在s平面的左半部，所选取的闭合曲线r只包围团在S平面右半部的极点,

也就是在S平面右半部的P个开环极点。

(7)绘制开环传递函数G(s)的闭合曲线〃G

(8)由于所选取的闭合曲线「在S平面上关于实轴对称，那么闭合曲线「G在回平面上也关于

实轴对称。通常,只需绘制团的半条「G曲线。(即幅相曲线,Nyquist曲线。)

(9)闭合曲线/'G包围原点的圈数计算

根据半闭合曲线「GH可获得1'F包围原点的圈