线性代数与空间解析几何及其应用课后习题11

1.1

1.图1-1表示了8省的3个城市与，生，坊与C省的3个城市的交通连接

图，称为一个交通网络.每条线上的数字表示此通路上不同的运路（公路，铁路,水路,空路）

数目.若以为a,/=1,2,3）表示从B,到Cj的运路数，试写出矩阵A=（他）.

解:

x2y2Mu

2.当时,x,y,z,〃各取何值？

(z-8J112,

解由x=2〃,2y=z=1,—8=2x可得，x=-4,j=—l,z=l,w=-2

3.写出即是上三角形矩阵又是下三角行矩阵的〃阶矩阵的一般形式.

4100

00

解A=

(°0

4.下列矩阵哪些是行阶梯形矩阵,哪些不是？

3214、，32143214214、

(1)000I；（2）0156；（3）0I06;(4)0000

000(LW245J)0101)01(L

解(1),(3)是,(2),(4)不是.

(1)

解⑴,(3)不是，(2),(4)是.

6.写出线性方程组』+9++怎=人的系数矩阵和增广矩阵，增广矩阵的行和列是

多少？它是不是行阶梯形矩阵？是不是行简化阶梯形矩阵？

n1…n/、

(11…1b\

00…0

_00…00

解系数矩阵A=：；\,增广矩阵4=.

・・・•••・•・・・•・•・

00…0

lo0•••0oj.

1/n^n

增广矩阵〃行，〃+1列，它是行阶梯形矩阵，也是行简化的阶梯形矩阵

习题1.2

1302

1.已知A=-1(),5=2-1，C=01.求：2c+4;A—N+C;

2I1一3

—A+35+2c.

7'25-91

解2C+A=32;A-B+C=-12;-A+3B+2C=11-1

4一3,J-1「3-6>

%=y+必+%y=4+2z,+3Z3

2.已知两个线性变换《,把它们分别表示为

%2=乂+>2一％及'y2=-z1-2Z2+4Z3

工3二%一)’2+)’3〔为二5Z2+Z3

矩阵形式,并求从Z1,Z2,4到%，%，用的线性变换.

再1111234

解1-24Z2

05<Z3>

11123’4、0584

11-1-240-562

“Z22

U1051kZ3>29。人Z3

x=

\5Z2+8Z3,

即&二-5Z2+6Z3,

X3=2Z,+9Z2.

」3、30、381

3.己知矩阵4=，B=,C=.求：AB-BA,BC；

、2—LU2,(204J

CB；A2+B2；C1A.

39243(16()、

解AB-BA=；BC=；CB无意、义;A2+B2=

(789(511J

'77

CTA=824

、9

'310102

4.设A=-121，B=I1,且矩阵X满足方程3A-2X=〃，求X.

、3422I

3

4

2

5

解X=1

2

7H5

7

22>

0

5.设4=,求A2,A\A〃（〃为正整数）.

(1013"I0(1（））

解A2,A3=

.32

6.某机械公司生产甲、乙、丙三种型号的机械,2000年和2（X）1年的年产量如表1-1

销售价

乙丙

7

5060

乙78

2001年806070

丙89

这三种机械的本价与销售价如表2-2所示,求两年的总成本和总销售额.

<67、

’705060]

解设4=,B=78，则

、8()607(),

<89,

6OP7、

r7050"12501430、

C=AB=78

<806070JJ4601670,

89,

即2000年的总成本是1250,销售总额是1430；2001年的总成本是1460,销售总额

是1670.

7.已知〃=(1,2,3)，设A=求4'.

23

解An=(aft1(aflT)=a(pTa)(flra)(，〃)/,

"个A=M'"T个

而

711.

=2=3,

所以An=a3n~}pT=3Jafir=3W-1A.

(\4、

8.A=，求(A+E)(E—A+A2—A'+A4—A5+A6).

1-3011J

A3=A,A4=E,A5=A,A6=E,A1=A,原式=A1E=A+E=

I-30⑵

9.设A为机阶对称矩阵，5为〃zx〃矩阵，证明：)4〃为〃阶对称矩阵.

证AB)/=(AB)?B=B?A『B二B'AB,即57Ab为对称矩阵.

10.设A为〃阶对称矩阵，方为〃阶反对称矩阵，证明46为反对称矩阵的充分必要

条件是48=助.

证充分性A7=4,37=-&乂=所以(/©/二^//丁二一吕工二一/5,

即AB为反对称矩阵.

必要性由(从片了二一4片，又所以48=44

习题1.3

I.用分块矩阵计算下列矩阵乘积:

32-10Y21]p-1ooV1000、

2011023-1o0-1000

(D八；(2)八.

-2401-100013-1

1040八03J1002-1A0214,

32-10'2r

2011402'号、

解（1）设4=，B=,则

-240J-10W21/

04OJ3,

44B-4%+42线1<32W2r’67]

AB=而4昂=()八()2,

[41)\^2\)

、&%+A22B2)、2«2；

f-i°、,’77

^12^21=J

「则』用1+4%=

35

77

,-4935

同理41Hli+42321=故原式AB二

2「21-49

-2

-100\r1000、

3-100-1000Ai110]产0、

⑵

0I00013-1A21%

02T<0214,

'2000、

AM0、4000

<Aii^u+^22^21^22^222-1000

05-6;

，3400、

4-300

2.设4=，求

0024

002;

4(24、434250、

解设4=,=,则看=

<4一3、02)<4一3八4一3025,

'2520、”5*()、

A：=A：A：=，…，由数学归纳法川得a254，同理口J得

<0252,<0

「25人000

（4k攵4吟7产o、025人00

A产.于是，有A"103

04"004人

<0004人

3.设A为〃?x〃实矩阵，若A,A=0,则A=0.

证将A按列分块：A=(p\,-J,则“二,于是

邛L

(A7.必少2…4%、

A.r..A='0；磔乩，♦㈤=

.•・•・・・•••

邛L邛。、4％…B：h

由474=0,得4丁4=0。=1,2,,〃),又因A为实矩阵，故4=0。=1,2,,〃)，故

A=0.

20…0、

0d…0

4.设A=2，其中当iw/时4工%(3=1,2,,〃).证明：与A

・••・••••••••

、()()…

可交换的矩阵只能是对角矩阵.

作…九、

证设3=............与A可交换，即

也।…b”

/

"00、%a〕4A”'q00、

00♦♦♦•♦•=••••••♦♦♦01­.0

、00也1也|仇,“、、。。a.J

'岫］她2•••。瓦、%吊72bl2a〃b\n

a2b21a〉bg•••2n(

即—由于4,・・・,〃“互异,比

•••••••••••••••・・•・・•

。也2•••q也,2,M第c地2□2>

较非对角元素得弓与二4伤即(《-勺)4=0,于是4二0(iw力,故与A可交换的矩阵

4000

04200

B=为对角阵.

000

000%

5.当太空卫星发射之后，为使卫星在精确计算过的轨道上运行，需要校正它的位置.

雷达屏幕给出一组矩阵再，，七，它们给出卫星在不同时间里的位置与计划轨道的比较.设

Xk=(不,当「华),矩阵68=XkX［需要在雷达分析数据时计算出来，当与+1到达时,

新的必须计算出来.因数据矩阵高速达到，所以计算负担很重，而分块矩阵的计算在其

中起了很大的作用.试写出从计算Gz的矩阵形式.

解由于X*=（芭,电，・，/），所以居川=（居,七+J，又仃上=因此

T\

Xk

=XkXk+Xjt+i巧：+i.

Xk+\

习题1.4

I.设A是三阶方阵，将A的第I列与第2列变换得到3,再把B的第2列加到第3

列得到C,以满足AQ=C的可逆矩阵。为（).

100

B初笺暝换-1C,即为C=O01

00

10、100、011、

所以。二A00011二A10o

(001人00001，

因此应选（。）.

2.把下列矩阵化为行最简形矩阵:

」02一1、,02-3］、

(1)2031；(2)03T3;

<3043；、04-7-L

-13331-3-7、

3-35120-2-4

⑶；(4)

2-2303-2830

<3-34-1-3743,

"1005、(0105、

(1)001-3；(2)0()13;

、0000J1。000,

1-102-3、q020-2、

001-2201-103

⑶；(4)

0000000014

100000,<00000,

41—3%%2-3。32%3-3〃33、

〃21“22，问B是A经过

3.设4=,B=a2、%2。23

『31a32033/(〃31《2

哪种类型的初等变换得到的？并写出相应的初等矩阵.

0-3Y^,

解B=E(3(-3),1)A=0

、0

’2014、

4.设A=—1341

、1234,

(1)求E(1(2),2)A;

(2)E(2,3)A;

(3)£(3(2))A.

<100](2014、'2014、

解⑴E(1(2),2)A二01°T341=-1341

。JI-

<234>、525%

’10o)’2014、'2014、

(2)£(2,3)A=001-1341=1234

010/\,1:234/-1341

Q00、(2014、，2014'

(3)项3(2))A=010-1341—-341•

J

、002)234468

(43、

5.把矩阵A=(21J表示成初等矩阵的乘积.

‘4r，2

3、)<2弓一2乙n

解A=4—5■>

31；3,I。

0、1O)

=E

J)1,0

即A=E(1,2)E(1(2),2)E(2(1),1)E(1(2))

习题1.5

1.设航线图如图1-3所示,

(1)写出邻接矩阵；

⑵求出顶点匕到V,长为3条航线的条数:

⑶是否存在从顶点匕到匕的长为3的航路?

010°)

0011

解(1)A

1101

000>

(2)2条:匕一匕一匕-K；匕一匕一匕一匕；.

2101

1211

(3)不存在43=

2212

<001

2.设X=｛不毛，毛，兀，毛，毛｝表示6个人的集合川R表示他们彼此之间的相貌相像

的程度，如表1-3,表中七行和勺列交叉处的数字表示笫i个人为与第/个人勺的相貌的相

像程度，则R是X上的R/zzy关系，其隶属函数〃久玉,弓）就是七•行与乙列交叉处的数字,

乂〃£七,为）二1表示任何个人自身与自身完全相象…RC*,与）=4“（勺,％）表示第i个人西

与第/个人吃的相貌的相像程度与马和西•的相像程度相同，写出这个R/zzy矩阵，并求出

它的合成.

表1-3

・510.820.650.120.250.20

丫20.8210.820.200.850.35

0.650.82100.900.12

0.120.20010.120.85

0.250.850.900.1210.25

0.200.350.120.850.251

<1().820.650.120.250.20'

0.8210.820.200.850.35

0.650.82100.900.12

解A=

0.120.20010.120.85

0.250.850.900.1210.25

[0.200.350.120.850.251

1().820.820.20().820.35

0.8210.850.350.850.35

0.82().8510.200.900.35

A=AA=

0.200.350.2010.250.85

0.820.850.900.2510.35

().35().350.35().850.351

复习题一

2

'2145

1.若21=C,则。=

、一1b2J-1

3-1

解由4+1—。=5,得。=0,c”=4；又由-1+2〃+6=—1,得人=一3

45

答案

-1-7

‘1-11、

2.设〃为3行的列矩阵，若a4=-11-1,则/以二

x~xyxz

12,故犬=),2=22=］因而

解设a=(x,y,z)则aa'=xyyyz

产yzz2;

T22，c

aa=x~+y+z-=3.

答案为3.

aar、

'《I%2。13、\222。23010

设aa

3.4=。21〃22〃23,B=\\i2。134=100

a

』3142〃33,\。31+4I32+。12。33+"13'W0b

“00、

P2=010,则必有

[1。b

〃；(AR匕=〃；(D)

(A)AP,P2=B;(B)4RA=C)P2P,A=B.

解解法一选(B).首先，用初等矩阵右乘A表示4作行变换，故可排除

(A),(C).乙A表示将A的第1行加于第3行，《(£A)表示再将1,2两行变换.

解法二此题考察矩阵的初等变换和初等矩阵，比较矩阵A和3,可发现把矩阵A的

第一行加到第三行，再把第二行与第一行互换，则可得到矩阵而对矩阵做初等行变换，

就相当于对矩阵左乘相应的初等矩阵，故上述过程恰相当于先对A左乘A，再左乘々，即

P}P.A=B,应选(B).

4.设“=(4，%…,4〃)/=(々也，…也),求

(1)必；

(2)令求＞=/”，求

TTT

(2)(““)=a(fla)(fia)(“"3

化广夕=（汽血AT。/=（力的）"，.

Z=1/=1/=1

5.设A=g（5+E）,证明：A?=A当且仅当*=E.

证先证必要性

设A2=A,因为A?=g(3+E)=^-(B2+2B+E)=A=^(B+E),即

B2+2B+E=2（B+E）=2B+2E,所以S2=E.

再证充分性

设6?=E,则有A2=；（B2+23+E）=；（E+25+E）=g（5+E）=A.

6.任意一个nxn矩阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.

A+414—A1

证任一〃x〃矩阵都可以表示为：A=-------+--------,因为

22

7+Q=AT+A_AH-AT

12「~2~F

V

即A,4'为对称矩阵,又(生@]=A-A=_A-A^_f即A-4'为反对称矩阵.

2[2)222

7.证明：如果A是实对称矩阵且42=0,那么4=0.

4%、

证设A=5；，因为4=41所以

…%”

’4：+片+,一+嫌*,•.*、

A2=AA=AA'=*域+*+・•・+*…*,

■■・■

I***+*+,•+*/

乂因为A2=0»所以4；+q[+…+a；=0,i=.由于

a„（z=l,2,--,n;j=1,2,••,〃）均为实数，故有%=%=-a加=0,i=l,2,・・・,〃.即4=0.

8.设4H均为〃阶对称矩阵，证明A3是对称矩阵的充要条件是A与3可变换.

证由于45是对称的，故A7=A,5'=B,如果=区4,则可得

(AB)7=BrAr=BA=AB,即乘积AB是对称的.

反之，若A8是对称的，HP(AB)7'=ABJiJAB=(AB)r=Br=BA,即