考研数学（数学二）模拟试卷308

考研数学(数学二)模拟试卷308

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

[(14-j)r-1.aWO.

/(/)=《一

1、设10，1=0.则f(x)在x=0处()

A、连续，但f'(0)不存在.

B、f'(0)存在，但f'(x)在x=0处不连续.

C、f'(x)在x=0处连续,但f”(0)不存在.

D、f”(0)存在.

标准答案：D

知识点解析：,归上巴一一—世一—二。故A不正确，当

/'(*)=[e'E+‘:ln(1+力+产-]

X#)时，缈/'")=g/'(0)・故B不正

/(0)=lim&X'C=lim-xJ”①学叱+』十]

)洛必达法则

-_h»m•<--1-+---x---ln；~(1；-b--x--)-4--j--■——一hm-l-n--(-l-+--/-)--+---l-+---l--2.

确.E"+/-1+2]故应选D.

Z

.60、十rHr"日f(X)+[/(.T)]-[/(Z)d/=OP/(/)d/=O..f/(/)d/.z

2、设f(x)在[a,b]上可导，人且L则]J/在(a,

b)内必定()

A、恒为正.

B、恒为负.

C、恒为零.

D、变号.

标准答案：C

知识点解析：记若在(a,b)内可取正值，由于F(a)=F(b)=O,故F(x)

在(a,b)内存在最大值且为正，从而知F(x)在(a,⑵内存在正的极大值，记该极大

值点为x・于是F'(xo)=O,F(xo)>O.即/"°)"°'广八'岫》°代入原始方程，得

F""。户J；'⑺也>ORXO)应是极小值，矛盾.同理可知F(x)在(a,b)内也不可能取

到负值.故应选C.

3、设f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处不可导的充分必要条件是()

A、f(a)O,f(a)=0.

B、f(a)=O,f'(a)^O.

C、f(a)#O,f(a)=0.

D、f(a)^O,f(a)^O.

标准答案：B

知识点解析:若f(a)#),则存在x=a的某邻域U(a),在该邻域内f(x)与f(a)同

号.于是推知，若f(a)>0,则If(x)I=f(x)(当xEU(a))；若f(a)<0,则If(x)I=一

f(x).总之,若f(a)，O,If(x)I在x=a处总可导.若f(a)=O,则

lim-2-3----Inn------hm-----------3,一，

…了一"一"二一”—工一从而知

1mls二回二./五处士任型二±|/,(〃)1

广。7…，广"其中X-a，时取

“+”，x-a-时取“一”，所以If(x)I在X=a处可导的充要条件为If(a)I=0.即

f(a)=0.所以当且仅当f(a)0,f’(a)加时If(x)I在x=a处不可导,选B.

4、‘一LJ”1在区间(一8,+oo)内零点的个数为()

A、0.

B、1

C、2

D、无穷多.

标准答案：C

知识点解析：f(x)为偶函数，/⑹加/田二(手)X,所以在区间(°T)f(x)至少

/Z(X)-=2TJl+J+c

=lrJ-2/c"八十C”"an.r

有1个零点，当X>0时，=2r(v/TT7-r.所以在区

间(0,+oo)内f(x)至多有1个零点，故在区间(0,+8)内f(x)有且仅有1个零点，所

以在区间(-8,收)内f(x)有且仅有2个零点.

5、考虑一元函数f(x)的下列4条性质：①f(x)在⑶b］上连续.②f(x)在［a,b］上可

积.③f(x)在［a,b］上可导.④f(x)在［a,b］上存在原函数.以PTQ表示由性质P

可推出性质Q,则有()

A、①一②—③.

B、

C、①一②—④.

D、④一③一①.

标准答案：B

知识点解析•：因可导必连续，连续函数必存在原函数，故B正确.A是不正确

的.虽然由①可推出②.但由②(可积)推不出③(可导).例如f(x)=IxI在［一

1,1］上可积，且L"b-21TLi在x=0处不可导.C是不正确的.由②(可

।1.*()・

积)推不出④(存在原函数)。例如“"1八1］上可积，则

f,1出=/尸)业力匕=一，+.1-7…。但f(X)在［一］,］］上不存在

原函数.因为如果存在原函数F(x).那么只能是F(x)=IxI+C的形式，而此函数

在x=0处不可导，在区间［一1,1］上它没有做原函数的“资格”.⑴)是不正确的，

因为由④(存在原函数)推不出①(函数连续).反例如下：

、2.rsin——cos—・工0・.rsin-..r声0・

-r/F(.r)=­/

。・k°，它存在原函数。・广。•可以验证

F(x)=f(x),但f(x)在x=0处并不连续，即存在原函数可以不连续.

6、设当x>0时，f(x)连续且严格单调递增，“⑴T⑵r"⑺"则F(X)在x>0时

()

A、没有驻点。

B、有唯一驻点且为极大值点.

C、有唯一驻点且为极小值点.

D、有唯一驻点但不是极值点.

标准答案：A

F(j)-['(2/-.r),/(/)df=2「〃⑺<〃一.，")山•

/(/)<!/-j-f(.r)[J(f)df

F'(x)—2.iJ(r)-.r/(J)-j

知识点解析：h由于«)严

格单调增加,可知当tqo,X)时，f(x)>f(t),故当x>o时

—J'/C”也0也即F(x)在x>0处没有驻点.故应选A.

7、设A=［ai，a2……加］经过若干次初等行变换得B=［0巾2……3］，b=［bi，

b2，…bn］T#)则(l)Ax=0和Bx=0同解.(2)Ax=b和Bx二b同解.(3)A,B中对应的

任何部分行向量组有相同的线性相关性.(4)A,B中对应的任何部分列向量组有相

同的线性相关性.其中正确的是()

A、(1),(3).

B、(2),(4).

C、⑴，(4).

D、(2).(3).

标准答案：C

知识点解析：A经过初等行变换后得B,方程组Ax=0和Bx=0中只是方程改变倍

数、两方程互换，或某方程的k倍加到另一方程上，它们不改变方程组的解.故

(1)成立，A,B中任何部分列向量组组成的方程组也是同解方程组，故列向量组有

相同的线性相关性.故(4)成立，而(2)中由于b没有参与行变换，故(2)不成立，(3)

行变换后，A,B中对应的部分行向量会改变线性相关性.如

8=「0°'

L10」故(3)也不成立.

8、设A是4x5矩阵，4=[设-1,1,0.0]T,及=[-1,3,-1,2,0]T,

&3=[2,1,2,3,0。，^4=[1,0,一1,I,一2『，陵刁口，4,3,2,51T都是齐

次线性方程组Ax=0的解，且Ax=0的任一解向量均可由备，12,匕3,J，法线性

表出，若k|,k2，k3，L，k5是任意常数，则Ax=0的通解是()

A、A&i+k2及+k3^3+k42+k5b

B、ki4]+k2&2+k313.

C、k2及+k3++k0.

D、k&+k30+k53

标准答案：D

知识点解析：Ax=0的任一解向量均可由官，勖&3,g4,全线性表出，则必可由

。，匕2，&3,。，白的极大线性无关组表出,且言，自2,43,3，&5的极大线性无关

组即是Ax=0的基础解系.因

■1721-121-Z

-13102312

1-12—100-25

02310000

.000-20000.故知%后线性

无关，是极大无关组，是Ax=0的通解，故应选D.

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

/=3r+2/+3.

9、设产y(x)是由产心in/7所确定的函数，则让

2r3e

标准答案：

1

.r；=6r+2・y：=CCOSI_CPUId\'cos/

知识点解析:1-c,sin/e*-sint'<b(c，sint)(6tI2)

(e'-sin/)(6，+2)(-xinf)cos/•-c],；cosI2)"6(e刈】八」

(<•Un-t2)'将t=0代入，得

得心",|

x=3,y=l,yt=e,"如上.

,.dy.y

10、微分方程匕=、」•满足初始条件y(l)=l的特解是产

标准答案:xe'-x

.dy_d</

知识点解析：此为一阶齐次方程.令y=ux,有&原方程化为

<］〃

…油"In…I，T得ln|ln“7|Gn!C".去掉对数记号及绝对值号，得

lnu=Cix+l,u=cCix+,,将ulx=l=l代入.得Ci=-l,u=c;x.原方程的解为y=xJ

11、心形线r=a(l+cos。)(常数a>0)的全长为

标准答案：8a

SCR-2|十(「'FM-=2I/</■(!rcos0*'iu-sin;tf(W

frn'nH/A77+I--2al/252cos-aIcosg图=Ka.

知次点解析：Jn人2

12、设函数z二f(x,y)(x"O)满足/(“•3)=//T)则dz=.

标准答案：(2x-y)dx-xdy

知识点解析：设■，有u-'V'即f(x,

y)=x"一xy.所以dz=(2x-y)dx-xdy.

口公二'/、-X2l»mG(x)=0..limI?G(/)d/

13、设G(x尸e犯，…则一」=.

__L

标准答案：$

lim?G(r)—|r'G'SdJ

sLQJti.

:

I'mIfG(/)df=limI⑺d?=glim「./GCr)-17©二川.,斗

知识点解析:*'，一JvC3-L,i其中，刖

limJ3G(X)=lim—•]；『」'L

l.sl—jr•13.r

•项由洛必达法则，得，=如(/)(亍"…f后一项化为:

lim|/'c''也=--J-lim[wr"du

则ffT,所以原式得x(一力T

14、设A是3阶实对称阵，有特征值入=3,对应的特征向量为考京［1,2,3了，则

I

二次型在特征向量舁［1，2,3「处的值'一，"六NW

标准答案：42

=30

由题设知%

知识点解析:⑷故

r-[Y

=口23乂2=[1,2.3J32

A

三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)

_0<x<l,/(j")-「/力.

坟

15、试用初等函数表示f(x)；_

标准答案：/")二〕"'」"‘"J'作积分变量变换，令'向I

知识点解析：暂无解析

:lim(1—.r)*.产山

16、设小%存在且不为零，求常数P的值及上述极限.

>lim<1-才)，j./d/--―--Hm-——•"卫^ylim《

标准答案：…''"/Tn(lr)》其中”等,，表示

用了等价无穷小替换.欲使上述极限存在且不为零，其充要条件是「二十，此时，

该极限值等于T

知识点解析：暂无解析

17、设f(x)在(一00,+8)上有界，且存在二阶导数.试证明：至少存在一点匕日一

8,+00)使f(0=0.

标准答案：用反证法，没对一切xE(—8,+co),f(x)/0,则要么对一切xE(-oo,

+oo),f(x)>0,或者对一切xG(一oo,-Foo),f(x)<0.不妨设对一切x6(一co,

+oo),f(x)>0.有以下两种解法:法i取XI使f(X］)#O.这种X］总存在的，因若

不存在，则f'(x)三0,从而与反证法的前提矛盾，取好XI之后，将f(x)在X=X］处按

泰勒公式展开至n=l,有

/(外=/5)+/'5乂彳—力)+3/*(亦工一］1)2>/5)+/'(工1)(工一］1)若f'(x］)>0令卜

式中的X-+8；若f'(X］)V0,令上式中的X—>—8,总有/巴""+8：与f(K)在

(-00,+8)上有界矛盾.此矛盾证明了反证法的前提有错，故知存在年(一8,+00)

使f”@=0.法二由对一切x€(—8,+oo),r(x)>0,故知对一切X,f'(x)严格单调增

加.取XI使f'(xi)>0(若不然，取XI使f'(X|)V0),由拉格朗日中值定理，当X>X1

时，有f(x)=f(zl)+f(r|)(x—Xl)>f(X］)+f(X］)(X—X1),令X—>8,得f(x)—8,与f(K)有

界矛盾.若f(xi)VO,则当xVxi时,有f(x)=f(xi)+f(n)(x・xi)>f(xi)+f(xi)(x・xi),

令XT—8,得f(x)-+8,与f(x)有界矛盾.此矛盾证明了反证法的前提有错，故

知存在^6(—00,+8),使f(9=0.

知识点解析：暂无解析

18、设f(x)在［0,1］上可导，且满足小)=”：/八""试证明：存在年(0,1),

）

使人尸3/<e

标准答案：由积分中值定理，存在代［°41使得‘1-八”"=力卬令

F(x)=x3f(x),因为‘⑴川。/"小心二"故有f(l)=T?f(n)，即F(l)=F(n).显然F(x)

在［0,1］上可导，由中值定理得,存在乐(中1),使得F'(9=0,即

3/胞)+"@=0,即€显然眄0,1),故命题得证.

知识点解析：暂无解析

19、适当选取函数(p(x),作变量代换y=(p(x)u,将y关于x的微分方程

:卜=(化为口关于x的二阶常系数线性齐次微分方程

一“二代，求(p(x)及)并求原方程的通解.

标准答案：由y=(p(x)u,有必乎必°”,代入

原方程，得5外言十「2夕’(幻斗卬J)虎+1(工)+“'(外++•飙幻］“=0.取

尔一二三L4

(p(x)使2(p(x)+x(p(x尸0.解微分方程仪小2‘，取”e经计算可知

2

49"+叼'(外+')+*3=0于是原方程经变换产c十"之后，原方程化为

C‘亲二°,即烯一°・解之得4］+©2*,原方程的通解为

知识点解析：暂无解析

/C.r.v）（k.

20、设/（j，y）=max{，/4"，J}.D=（G.y）l.求&

标准答案：如图所示，将D分成三块，中间一块记

为D3，左、右两块分别记为D］与D2，则

fB(」・、)

7(.r.,v)-^max.....1c/)'0/>•

1•(.r,,v)6Pi.

l]7"・.\')必-(\at「匕

c

厂4+彳

I[(csc'o-1W米

J1

1z'仇I。f磊.

而

a

.esc7W--|esc<7cscf?cW

/|：'[E4"仇必

tesc^icot0—Iesctot0

所以

TescOdO~72¥焉[in|esc0—cot|J|

aCSC/2r

/2；•-Lln(72*I)—ln(\/2—1)J72*4-ln(v^24-I).

联大一号+—(&+I)+

知识点解析：暂无解析

21、求由方程2x2+2y2+z2+8xz—z+8=0所确定的函数z(x,y)的极值.

次八二—口。

标准答案：令F(x,y)=2x，2y2+z2+8xz—z+8,且令Hyg二2T8,I解得

y=0,4x+8z=0o再与2x2+2y2+z?+8xz—z+8=0联立，解得两组解为

—2・nJ)M,..vQL(竽4号)•再求二阶偏导数并以两组解分别代入，得

a川|「曲/W匚)所以在第一组点处，八,.八Q故

.1._3

z=l为极小值：在第二组点处B2—ACV0.A=-i5V以故。一尸为极大值.

知识点解析：暂无解析

22、⑴设圆盘的半径为R,厚为h.点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距

离平方,求该圆盘的质量m.(II)将以曲线，"石"=1,/=4及x轴围成的曲边梯形

绕x轴旋转一周生成的旋转体记为V,设V的点密度为该点到旋转轴的距离的平

方，求该物体的质量M.

标准答案：0、一/(1)以环细分圆盘，设环的宽度为dr,内半径为r,在环上点

<1///r,Znrilr•h.

fK|(

密度视为小变，为J于是该环的质量为'"‘MJ"—"2(II)该旋转体可看成

由一个个薄片组成，由(1).每一薄片的质量"J三#小其中R为r处的旋转半

•二十dr=]”上，dr.

径,即y,于是M=fJh&=V*4l)=r=?兀

知识点解析：暂无解析

已知I]是Ax=b的一个特解，鼻，小-r是对应齐次方程组Ax=O的基砒解

系，证明：

23、T),n+欧,r)+&2，…，n+qn-r是Ax=b的n—r+1个线性无关解;

标准答案：A(q+4i)=Ar|=b»i=0,L2,…，n-r,(其中

4=0),故r)+《i,i=0,1,2,…,n—r均是Ax=b的解向量.设有数ko,ki,

k2，…,kn-r»使得kon+k](r|+m)+k2(r|+42)+...+kn-r(n+qn-r)=O，(*)(*)式左乘A,得

koArj,+kiA(n+&)+k2A(n+&2)+…+kn-rA(n+&-r)=0,整理得(ko+k]+…+kn-r)b=O,其

中原0.故ko+ki+…+kn.r=O,(**)代入(*)式，得kl《+k23+...+kn-&-r=0.因自,

々，…，A-r导一是对应齐次方程组的基础解系，线性无关，得ki=0,i=l,

2,…，n—r代入(**)