考研数学二（解答题）模拟试卷22

考研数学二（解答题）模拟试卷22

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

1、设.一0（%%由3%+@/2+6=0,试确定常数a,b的侑.

八../sin3x+ax.\...sin3x+ax

0=lim---------；-------+6=6+hm---------；-------

x-»O\x5/x—ox3

...sin3x+ax

=6=-lim-----------------.(*)

标准答案：由题设知'5#利用

..sin3x+ax..sin3x+ax八

lim-----------------=lim-------------------x2=0,

(*),一方面有x-°x”另一方面，直接计

..sin3x+ax

lim-----------------

算又有一。乂=3da,这表明3+a=O=a=3.将a=3代入(*)

式，即得b=

..sin3x-3x1..3cos34-3..cos3x-13..sin3x9

lim一-i...........=•-hm-=iim■'=—―-lim-------=----.

x-ox33x21ox22x-ox2

99

故b=2.综合得a=-3,b=2.

知识点解析：暂无解析

limcotH」-----）.

2、求极限x

标准答案：6

知识点解析：暂无解析

lim:a-Fe1)^.

3、求极限:r-*+**，

由于所立十G=lim”三=lim=lim三=1,故

X工.18工十e1xToo1-t"(TrTooc

lim(z+eO^=exp!lim翅(工^

标准答案:r*+oo|X

知识点解析•：暂无解析

e"dl

4、设F（%）=J。,试求：（I）F（x）的极值；（口）曲线y=F（x）的拐点的横坐

标；（叫心为不⑴蚁.

,<0,x<0,

2xe-x=0,

标准答案：（I）由F，（%）=%>°,即知F（%）在％=0处取极小

值0,且无其他极值.（U）F"（"=2（1—4%4产，注意到仅当/=±2时F〃（%）=

0,且在x=±2两侧F"（功变号即知％=±2为曲线y=FQ）的拐点的横坐标.（III）

注意到好2仅）为奇函数,因此

23

x2Fr(x)dx=x2F,(x)dx+x2Ff(x)dx=2

-2J2

=-y]e->4d(x4)=-'3=41-(e-16-e-81).

22

知识点解析：暂无解析

5、求由曲线x2=ay与y?=ax（a>0）所围平面图形的质心（形心）（如图

3.34）.

标准答案：两曲线的交点是（0,0）,（a,a）.设该平面图形的质心（形心）为

（武力-力粒

〃力7"/；（丘・分工

信々兰~

EI。犷9

320

则由质心（形心）公式有传外，-£）二3同样计算或由对称

,一_2

性可知'"二而*

知识点解析：暂无解析

+2X2+3x5=4,

2X2+bx3=2,

6、当a,b取何值时，方程组2。/+2町+3/=6有唯一解，无解，有无穷多

解?当方程组有解时，求其解.

4

2.

°」当a并且忤3时，方程

组有唯一解(5」M,

当a=0时，对任意的b,方程组均无解.当a#),b=3时,

(2,1,0)1(0,-3,2)T

方程组有无穷多解I。1,k为任意常数.

知识点解析：暂无解析

7、设函数f(x,y,z)一阶连续可偏导且满足f(tx,ly,lz尸Jf(x,y,z).证明:

x-,+y+z-=

</jr<ryf'z

标准答案：令u=tx,v=ty,w=tz,f(tx,ty,tz)=tkf(x,y,z),两边对t求导得

J/(〃，J,3)，/(〃w)

r-―+»+z

ktk-41f(x,y,z)当t=l

Of上

.r~~十y—十z*

时，有‘J)送=kf(x,y,z).

知识点解析：暂无解析

8、设k>0,讨论常数k的取值，使f(x)=%ln%+k在其定义域内没有零点、有一个

零点及两个零点.

limlim

标准答案：f(%)的定义域为(0,+co),f(x)=k,，-af(%)=+8.由

222

+1=0,得驻点为％=3由/(%)=/>0,得为=9为f(%)的极小值点，也为最

©=人」.1

小值点，最小值为Vefc(1)当k>c时，函数口功在(0,+oo)内没有零

I.1111■1

点；（2）当k=e时，函数f（外在（0,+s）内有唯一零点％=J（3）当OVkVe,

函数f（»在（0,+8）内有两个零点，分别位于（0，C）与（Z，+8）内.

知识点解析：暂无解析

\AC]

9广、设D…」C、T/是正定矩阵，其中A,B分别是m,n阶矩阵.记P=

0纥」⑴求PrDP.（2）证明B-C^A仁正定.

Em-A"A0

PTDP=

割"IIOE=10B-CT4'C

标准答案：（1）n

（2）因为D为正定矩阵，P是实可逆矩阵，所以MDP正定.于是由上例的结果，得

B—（5人一]C正定.

知识点解析：暂无解析

10、设p，q是大于1的正数，且4P+工9=1,证明对于任意的x>0,有

-x^+—

P9>X.

—xp+JL

标准答案：考虑f（x）=pq—x在x>o上的最小值.

知识点解析：暂无解析

11、己知二次型£=2x12+3x2?]3x32+2ax2X3（a>0）,通过正交变换化成标准形

f=yi2+2y22+5y32.求参数a及所用的正交变换矩阵.

/200、

设4=03a,*=八，则f=X7K.

标准答案：,\o。3//A的特征值为Q=l,入2=2,

/200、

A=032

九3二5,由|A|=2(9—a2)=10得a=2,'o23'入［=1代入QE—A)X=O,

由E-A=厂0

'0

A,=1对应的线性无关的特征向盘为明=(-1卜

'11入2=2代入(2E—A)X=0,

/O00

由2E-4=0-1-2得

'o-2-1

入2=2对应的线性无关的特征向量为

=|ojI

055代入(A«E—A)X=O,

/300\/I00、

由5E-A=O2-2一01—1得

'0-22'000

A,=5对应的线性无关的特征向量为

1

o0

则Q

!

O

72

知识点解析：暂无解析

12、已知平面曲线Ax?+2Bxy+Cy2=l(C>0,AC-B?>。)为中心在原点的椭圆，求

它的面积.

标准答案：椭圆上点(x,y)到原点的距离平方为d2=x2+y2,条件为Ax2+2Bxy+Cy2

-1=0.令F(x,y,X)=x2+y2-X(Ax2+2Bxy+Cy2-1),解方程组

.F\=(2-24A)x-28Ay=0.①

/，=-2HAx+(2-2CX)y=0,②

=-(Ax2+2Bxy♦Cy2-I)=0,③将①

式乘x,②式乘y,然后两式相加得[(1—A入)x2—BMy]+[—B九xy+(l-c入)y2]=0,

BPx2+y2=X(Ax2+2Bxy+Cy2)=X,于是可得.从直观知道，函数cP的条件最

大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F，x=O,F，y=O有

非零解，其系数行列式应为零，即

1-4入—844+C1c

=0,亦即A2------------rA+---------2=0.

-队I-G/C-8AC-B该方程一定有两个根

Xi，入2,它们分别对应d2的最大值与最小值.因此，椭圆的面积为

1T

/4C二”

知识点解析：暂无解析

小⑴计算…⑵当…时,求与行

也

等价的无穷大量.

⑴记1=1：/dr，则

e-<x2+,)dy=J'e匚’>山山

WK

/=「产业=球

标准答案：J。2(2)要解决第二个问

题,首先需要弄清楚以下几个要点：①x—xo时;f(x)与g(x)为等价无穷大

lim/(x)=8,

AR

limg(x)=8,

A4

lim=lj

I-gS)②无穷大量的表达形式众多，有一种常用的形式：

____i____或____£___,,

(工一々)。(的一I"此题X-「，故考虑用(】一幻’.于是,

=lim(l—x)AIy2ck=lim(l—/bidt=lim(l—xXl*e'屋&①

lim

一广1户厂Jox-rJ。LRJ。

,-«21/2ln—•=w21

根据第一问的提示，我们要凑出“［『这种形式，故令e即1

dt=du

=专lim___(_1_________

则①=lim一»

2一厂y-ln(l-Fx-l)

取A=十•,极限值为岑.故手）］1与J>7也为Tf厂时的等价无穷大址.

知识点解析：暂无解析

z鱼

15、求下列方程通解或满足给定初始条件的特解：l)y』l=xcx+y.2)di

+x+sin(x+y)=O3)y'+ytanx=cosx4)(1+x)y"+y'=O5)yy"一(yV二y4，y(O)=l,y'(0)=0

6)F+4『+l=07)yn+9y=cos(2x+5)8)yM,-3y"+9y,+13y=e2xsin2x.

1

yx2

标准答案：l)e=e(C—2x)2)x(csc(x+y)—cot(x+y))=C3)y=(x+C)cosx

言("一给。""-4T

c4x4

4)y=Cjln|l+x|+C25)*+C26)y=Ci+C2e-

7)y=Cicos3x+C2sin3x+5cos(2x+5)8)y=Ciex+e2x

C-)cos3x+(Cz—^)sin3xl

LooobJ

知识点解析：暂无解析

maxr-Tf(z)dz|

16、设政)在［a,b］上连续可导，证明：aJ9|f(%)IWb—aJ。|十#I

f(X)।也

标准答案：因为政)在［a,b］上连续，所以If(x)I在⑶b］上连续，令If(c)I=

1「

max7------

«6|取)］.根据积分中值定理，”一。八取)狈=熊)，其中乐［a,b］.由积分

基本定理，f(c)=f@+FfWd%,取绝对值得If(c)ISIf©I+II<I

陶I+aIf(x)I攻，即

If(c)ICIy(e)i+|£r(x)d^|<iy(f)i+£।/(X)idx,即

f7(x)dx

max|/(x)+ir(z)।dx.

b-aJa

知识点解析：暂无解析

17、求不定积分Jsin'xcos%dx.

标准答案：

Jsin4xcos'/djr=[sin4x(1-sin2x)d(sinx)

=|(SMJT-sin6x)d(siru-)=7-sin'x—}rsin7x+C

J5.

知识点解析：暂无解析

已知函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(O)=O,f(l)=l.证明