第7讲 探索直线平行的条件七年级数学下册同步讲义

第7讲探索直线平行的条件

0目标导航

1.了解“三线八角”模型特征；

2.掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们.

3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.

趣知识精讲

知识点01同位角、内错角、同旁内角

一、同位角、内错角、同旁内角的概念

1.“三线八角”模型

如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称

为“三线八角”，如图1.

被截线

要点诠释:

⑴两条直线AB,CI）与同一条直线EF相交.

⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成.

2.同位角、内错角、同旁内角的定义

在“三线八角”中，如上图1,

（1）同位角：像N1与N5,这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位

置关系的一对角叫做同位角.

（2）内错角：像N3与N5,这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做

内错角.

（3）同旁内角：像/3和N6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁

内角.

要点诠释：

（1）“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点

的两个角.

（2）“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.

二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征

基本图形

角的名称位置特征图形结构特征

（去掉多余的线）

在两条被截直线同形如字母

方，在截线同侧（或倒形）

同位角V

在两条被截直线之形如字母2

间，在截线两侧（交（或反置）

内错角

错）

在两条被截直线之形如字母

同旁内角内，在截线同侧匚

要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：

（1）巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.

（2）借助方位来识别

根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2.

左上/右上

左下右下

右上

左上

右下

左下

图2

【知识拓展1】（2021秋•香坊区期末）在如图中，/I和/2不是同位角的是（）

【即学即练1］（2021春•普陀区校级月考）图中，NA的同位角是

【即学即练2】（2021秋•南岗区校级月考）如图，若AB,A/被ED所截，则N1与,是直错角.

知识点02直线平行的判定

AB

C穴D

F

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

,:Z3=Z2

・•・AB〃CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

,:Z1=Z2

・•・AB〃CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

•・•Z4+Z2=180°

:.AB〃CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

【知识拓展1］（2019秋•安居区期末）如图，下列条件中，不能判断直线〃〃〃的是（）

A.Z1=Z3B.Z2+Z4=180°C.Z4=Z5D.Z2=Z3

【即学即练1］（2021秋•杜尔伯特县期末）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定AD//BC的条

件.

【即学即练2］（2021•兰州）将一副三角板如图摆放，则〃，理由是

【即学即练3】（2021秋•于洪区期末）如图，直线小〃被直线c所截，下列条件不能判定直线。与人平行

的是（）

C.Z1=Z4D.Z1+Z4=I8O°

【即学即练4】（2021秋•道里区期末）如图，下列条件①/1=/2；②NRAQ=NBCQ；®ZABC=ZADC,

Z3=Z4：®Z/MD+Z?\DC=180°.其中能判定A3〃CQ的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【即学即练5】（2021秋•宽城区期末）直线AB、BC、CD、反;如图所示.若/1=/2,则下列结论错误的

A.AB//CDB.Z£FB=Z3C.Z4=Z5D.Z3=Z5

【即学即练6］（2021春•呼和浩特期末）如图，下列条件中：①/8+/48=180。；②N1=N2；③N3

=Z4：④//3=N5.能判定48〃CQ的条件为.

【即学即练7］（2021春•安丘市期末）如图，其中能判断直线八〃/2的条件有

A.Z4=Z5

B.Z2+Z5=180°

C.Z1=Z3

D.Z6=Z1+Z2

【即学即练8】（2021秋•嵩县期末）如图，下列条件：①N1=N2,②/3+N4=180°,③N5+N6=I8O°,

©Z7+Z4-ZI=I8O°,⑤N7=N2+N3,⑥N2=N3中能判断宜线a〃0的有（）

【知识拓展2】（2021春•普陀区校级月考）如图，点G在C。上，已知N84G+NAGD=180°,E4平分/

BAG,尸G平分/AGC,请说明A£〃G厂的理由.

解：因为N8AG+NAGO=180°（）,

ZAGC+ZAGD=\S0°（）,

所以N£MG=NAGC().

因为£4平分//MG,

所以/1=』NBAG().

2

因为/G平分NAGC,

所以N2=-,

2

得N]=N2(),

【即学即练1】（2020秋•秦都区期末）如图，已知点E在直线DC上，射线E尸平分/AEZ）,过E点作E8

LEF,G为射线EC上一点，连接BG,且NEBG+NBEG=90°.

（I）求证：NDEF=/EBG；

（2）若NEBG=NA,求证：AB〃EE

【即学即练2］（2021秋•庐阳区期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据.

己知：如图，NBEC=/B+/C.求证：AB//CD.

证明：延长BE交CD于点F,则/EFC+NC.（一..角形的外角等于•与它不相邻的两内角的和）

又・・・NBEC=N8+NC,

：・NB=，（等量代换）

：.AB//CD,（）

AB

【即学即练3］（2021秋•广南县期末）如图，点E为直线A8上一点，NCAE=2/B,8c平分NAC。，求

证：AB//CD.

【即学即练4】（2021秋•杜尔伯特县期末）完成下面的证明：已知：如图，Zl=30°,ZB=60°,ABA.

AC.求证：AD//BC.

证明：・.・AB_LAC（已知），

・•・/=90°（）,

VZl=30°,ZB=60°（已知），

・・・N1+N8AC+N8=（）,

即/+/B=180°,

：.AD//BC（）.

【即学即练5】（2021秋•榆林期末）如图，已知NC+NE=NB8,求证：AB//CD.

【即学即练6】（2021秋•西乡县期末）如图，己知乙4=乙4。£,ZC=ZE.求证：BE//CD.

D

【即学即练7】（2018秋•蓬溪县期末）如图，已知N1=N2,Z3=Z4,Z5=Z6,试判断ED与尸8的位

置关系，并说明为什么.

【即学即练8】（2021春•金坛区期末）已知：如图，Z1=ZC,Z2+Z3=180°.求证：ADf/EF.

【即学即练9】（2021秋•市北区期末）如图，已知Nl+/2=180°,N3=NB,求证：DE//BC.

【即学即练10]（2021秋•朝阳区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式

叠放在一起，其中NA=60°,ZD=30°,NE=NB=45°.

（1）若Nl=25°,则N2的度数为；

（2）直接写出N1与N3的数量关系：:

（3）直接写出N2与NAC6的数量关系：；

(4)如图2,当N4CEV180。且点石在直线AC的上方时，将三角尺AC。固定不动，改变三角尺4CE

的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出N

4CE角度所有可能的值.

图］图2

B能力拓展

类型一、“三线八角”模型

例L

(1)图3中，ZKN2由直线被直线所截而成.

(2)图4中，AB为截线，ND是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？

类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别

例2.如图，(DDE为截线，NE与哪个角是同位角？

(2)ZB与N4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线?

(3)ZB和NE是同位角吗？为什么？

EB

1

F

2

G。D

【变式】F列图形中,Z1和N2不是同位角的是（

例3.如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来.

【变式】如图Nl、N2、N3、Nl、N5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？

例4.分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.

【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角.

类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系

例5.如图直线DE、BC被直线AB所截，

（DZ1和N2、Z1和N3、Z1和N4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？

（2）如果N1=N4,那么N1和N2相等吗？N1和N3互补吗？为什么?

【变式1】若N1与N2是内错角，则它们之间的关系是（）.

A.Z1=Z2B.Z1>Z2C.Z1<Z2D.Nl=N2或/1>N2或/IVN2

【变式2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角

与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则

它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（）.

A.4B.3C.2D.1

类型四、两直线平行的判定

例6.下列图形中，由N1=N2能得到AB〃CD的是（）

【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可

能是（）

A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°

B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°

C.第一次向右拐50°,第二次向右拐130°

D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°

例7.如图所示，已知NB=25°,ZBCD=45°,NCDE=30°,ZE=10°.试说明AB〃EF的理由.

【变式1】已知,如图,BE平分NABD,DE平分NCDB,且N1与/2互余,试判断直线AB、CD的位置关系,

请说明理由.

【变式2】已知，如图，AB_LBD于B,CD_LBD于D,Zl+Z2=180°,求证：CD//EF.

C

rfi分层提分

题组A基础过关练

一.选择题（共6小题）

1.（2021秋•绿园区期末）如图，直线〃，c被直线。所截，则/I与N2是（)

C.内错角D.同旁内角

图④

在上述四个图中，N1与N2是同位角的有（）

A.①©③④B.@@③C.①③D.①

3.（2021秋•宜宾期末）如图所示，不能推出8c的是（）

A.NQ/W+N"C=18()°B.Z2=Z4

C.Z1=Z3D.NCBE=NDAE

4.（2021秋•荷泽月考）如图，下列条件中能判断直线八〃/2的是（）

A.Z1=Z2B.Z1=Z5C.Z2=Z4D.N3=N5

5.（2021•范县模拟）如图，直线八〃被直线c所截.若Nl=55°,则N2的度数是（）时能判定

//b.

C.125°D.145°

6.（2021•河北模拟）如图，NI与N2的关系是（）

A.互为对顶角B.互为同位角

C.互为内错角D.互为同旁内角

二.填空题（共6小题）

7.（2021•桂林）如图，直线小。被直线c所截，当N1―22时，a//b.（用“>"，"V”或“="填

空）

8.（2021秋•虎林市期末）如图，请你添加一个条件使得AO〃8G所添的条件是

9.（2021春•富拉尔基区期末）如图所示，添加一个条件使得/W〃CD.

E

-4Z-------------------B

10.（2021春•利川市期末）如图，直e£c，d分别与直线小方相截，在图中已用数字标记的4个角中，能

判定a//b的条件有___________

cd

11.（2021春•石景山区期末）如图，《IA,B,C,。在同一条直线上，若满足条件_________________,

则有CE〃。凡理由是________________________________.（要求：不再添加辅助线，只需填一个答

案即可）

EF

X

BCD

12.（2021春•鼓楼区校级期中）如图,过直线外•点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依

据是_________________.

三.解答题（共6小题）

13.（2021春•新城区校级期末）如图，已知/A=NC,ADA.BE,8CJ_8石，点。在线段EC上，求证：AB

//CD.

14.（2021春•利川市期末）在横线上填上适当的内容,完成下面的证明.

已知，直线。，b,c,d的位置如图所示，Zl+Z2=180°,N3=N4,求证：c〃d.

证明：如图，

VZ2+Z3=I8O°（）,

Z1+Z2=I8O°（）,

AZ3=Z1（同角的补角相等），

又・.・/3=/4（已知），

AZ1=Z4(),

：,c//d().

15.（2021春♦利川市期末）如图，在△4BC中，CO平分NAC5交A3于。，E产平分NAEO交于F,

已知/人。E=N8,求证：EF//CD.（证明时，请注明推理的理由）

16.（2021春•开江县期末）如图，已知=

（1）若NEDC=3NC,求/C的度数；

（2）若NC=NE,求证：BE!/CD.

17.（2021春•隆回县期末）如图，N1与N2互余，Z3=Z4,AFVBD,垂足为G,那么A8〃C。吗？下

面是说明A8〃CD的过程，请在括号内写上理由.

解：TNI与N2互余,

r.Zl+Z2=90°.

又・・・AF_LBD于G,

AZ4+Z2=90°,

.*.Z1=Z4(等量代换).

又・・・N3=N4,

AZ1=Z3().

：.AB//CD().

18.（2021春♦温江区期末）如图，已知AC、AC分别是NAW、NA区E的平分线，旦N1+/2=NAC&求

题组B能力提升练

一.选择题（共5小题）

I.（2021春•平顶山期末）如图，点从C,石在一条直线上，下列条件能判定A8〃C7）的是（）

B.Z1=Z4

C.Z5=ZDD.ZZ)+ZBCD=180°

2.（2021春•娄星区期末）给出下列说法:

(1)两条直线被第三条直线炉截，同位角相等;

(2)不相等的两个角不是同位角;

(3)平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交;

(4)从直线外•点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离;

其中正确的说法有（）

A.。个B.1个C.2个D.3个

3.（2021春•大连期末）如图，下列条件中不能判定48〃CD的是（)

C.Zl+Z4=180°D.Z1Z5

4.（2021春•饶平县校级期末）如图，能判定的条件是（)

A.NC=NABEB.NA=NEBDC.NC=NDBED.ZAZABC

5.（2021春•江西月考）如图，的同旁内角共有（）

A

D

/AE

B乙----'c

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（共5小题）

6.（2021春•潍坊期末）如图，下列条件中，能判断AB〃C7）的是4、C.

A.ZAEC=ZC

B.NC=NBFD

C.N8EC+NC=180°

D./C=/B

7.（2021春•青山区期中）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定人"〃。）的条件

8.（2021春•前郭县月考）如图，要使BE//DF,需补充一个条件，你认为这个条件应该是（填

一个条件即可）.

9.（2021春♦抚顺期末）将一块三角板ABC（N8AC=90",ZA/；C=30°）按如图方式放置，使A,B两

点分别落在直线机，〃上，对于给出的五个条件：①N1=25.5°,N2=55°30'；②Nl+N2=90°；

@Z2=2Z1；④NACB=NhN3；®ZABC=Z2-Z1.能判断直线〃J〃〃的有.（填序号）

tn

23

10.（2021春•中原区校级期中）两块含30°角的三角尺叠放如图所示，现固定三角尺A8C不动，将三角尺

DEC绕顶点C顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，且点。在直线8C的上方，则N8C。

所有可能符合的度数为.

三.解答题（共8小题）

11.（2021春•随县期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中NA=30°,NB=60°,Z

E）=ZE=45°.

（1）若N8CD=110°,则NA"=.

（2）试猜想NBCO与NACE的数量关系，并说明理由；

（3）若按住三角板人8c不动，三角板绕顶点。转动一周，试探究N4CE等于多少度时，CE//AI3,

请画出图，并说明理由.

12.（2021春•铁岭月考）已知，Zl=72°,Z2=72°,Z3=108°.证明：AB//EF,DE//BC.

3

DG2E

13.（2。21春♦青浦区期中）如图，直线被直线上/所征，G”是NEGC的平分线，ZhGH=56°,

NE/B=68°,说明AB〃CD的理由.

W：因为G”是/石GC的角平分线（）,

所以NEGH=N〃GC=56°（）.

因为C。是条直线（已知），

所以ZHGC+ZEGH+ZIGD=180°（）.

所以N/GQ=68°.

为为NE/8=68°（已知），

所以/IGD=/EIB（）.

所以A8〃CO（）.

14.（2021春•新吴区月考）光线从空气中射入水中会产生折射现象，问时光线从水中射入空气中也会产生

折射现象，如图，光线〃从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线从根据光学知识有Nl=

N2,N3=N4,请判断光线。与光线人是否平行，并说明理由.

3

Z2

4y

b

15.（2021春•恩施市期末）请将下列证明过程补充完整:

已知：如图，点E在A8上，且CE平分NAC。，Z1=Z2.求证：AB//CD

证明：平分NACO

・•・Z2=N),

VZI=Z2.(已知)

AZ1=Z)

：,AB//CD()

16.（2021春•抚顺期末）如图，某工程队从点A出发，沿北偏西67。方向铺设管道AD,由于某些原因，

BD段不适宜铺设，需改变方向，由8点沿北偏东23°的方向继续铺设8c段，到达C点又改变方向，

从C点继续铺设CE段，NECB应为多少度，可使所铺管道CE//A8?试说明理由.此时CE与8C有怎

17.(2020秋•台儿庄区期末)将纸片沿OE折叠，其中/8=NC.

(1)如图1,点C落在3C边上的点尸处，A8与。尸是否平行？请说明理由；

(2)如图2,点C落在四边形A8CO内部的点G处，探索与N1+N2之间的数量关系，并说明理

18.(2021春•盐都区月考)如图I,直线上有两点A、C,分别引两条射线A3、CD.ZR4F=110°,

CQ与A8在直线Eb异侧.

(1)若NDCF=70：试判断射线AB与CO的位置关系，井说明理由.

(2)如图2,若NDC尸=60°,射线AB、CD分别绕A点,C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针

转动，设时间为，秒，在射线8转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CO与A8平夕亍？若存在，

求出所有满足条件的时间九

E

图1图2

题组C培优拔尖练

一.填空题（共1小题）

1.（2021春•满洲里市期末）如图，下列结论：①N2与N3是内错角；②N2与N8是同位角；③NA与N

B是同旁内角：④NA与NAC3不是同旁内角，其中正确的是（只填序号）.

C

二.解答题（共9小题）

2.（2021春•碑林区校级期末）如图，CFLABTF,EO_1_48于。，Z1=Z2,求证：FG//BC.

1

\

AGC

3.：2O21春•华容县期末）如图，已知BE平分NAB。，DE平分NCQB,且N1与N2互余，试判断直线A8,

C。是否平行？为什么？

4.（2021春•浏阳市期末）已知：如图，8c中，AO_L4C于点。，点E在/W上，EFLBC于点、F,Z1

5.(2021春•饶平县校级期末)(1)完成下列推理，并填写理由

己知：O£_LA。于E,BOVAO,ZCFB=ZEDO,证明：CF〃DO

证明：'：DEVAO,BOVAO(已知)

・•・NDEA=NBOA=90°()

•・•DE//BO(