考研数学二（线性代数）模拟试卷11

考研数学二(线性代数)模拟试卷11

一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

1、设A是mxn阶矩阵,B是nxm阶矩阵,则().

A、当m>n时，，必有IABI川

R、当m>n时，必有IAR=0

C、当n>m时，必有IAB知

D、当n>m时，必有IABI=0

标准答案：B

知识点解析:AB为m阶矩阵,因为r(A)Wmin{m,n},r(B)<min{m,n},且

r(AB)<min{r(A),r(B))>所以r(AB)Wmin{m,n},故当m>n时,r(AB)<n

2、设A为mxn阶矩阵，且r(A);m

A、A的任意m个列向量都线性无关

B、A的任意m阶子式都不等于零

C、非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解

D、矩阵A通过初等行变换一定可以化为(Em：O)

标准答案：C

知以点解析：显然由r(A)二m尸m

3、下列命题正确的是().

A、若向量ai，c(2....ctn线性无关，A为n阶非零矩阵，则Acq,Aa2»...»A04

线性无关

B、若向量ai，a2，…，an线性相关，则a】，012，…，山中任一向量都可由其余

向量线性表

C、若向量ai，az，…，如线性无关，则ai+a2，012+013，…，an+«l—定线性无关

D、设ai，a2,…，an是n个n维向帚且线性无关，A为n阶非零矩阵，旦Aai，

(12,…，A小线性无关，则A一定可逆

标准答案：D

知识点解析：(Aai，Aaz»...»Aan)=A(ai，(12，…，an)»因为cq,a2，...»5】线

性无关，所以矩阵(ai，<X2，…，an河逆,于是r(Aai，A012，…，Aan)=r(A),而

Aaj,Aa2»...»Aan线性无关,所以r(A)=n,即A一定可逆，选(D).

4、设有方程组AX=0与BX=0,其中A,B都是mxn阶矩阵，下列四个命题：(1)

若AX=0的解都是BX=0的解，贝ljr(A)>r(B)(2)若r(A)>r(B),则AX=0的解都是

BX=O的解(3)若AX=O与BX=O同解,则r(A尸r(B)(4)若r(A)=r(B),则AX=O与

BX=O同解以上命题正确的是().

A、(1)(2)

B、(1)(3)

C、⑵(4)

D、⑶(4)

标准答案：B

知识点解析：若方程组AX:O的解都是方程组BX=O的解，则n-r(A)Wn-r(B),从而

r(A»(B),⑴为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相

等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选(B).

5、设A,B为n阶矩阵，且A,B的特征值相同，贝lj().

A、A,B相似于同一个对角矩阵

B、存在正交阵Q,使得Q^AQ二B

C、r(A)=r(B)

D、以上都不对

标准答案：D

000

知识点解析：令。。。。。oj,显然A,B有相同的特征值，而

r(A)^r(B),所以(A),(B),(C)都不对，选(D).

二、填空题(本题共3题，每题上0分，共3分。)

6、设A为三阶正交阵，且IAI<0,IB-AI=-4,则IE-ABTI=.

标准答案：-4

知识点解析：IAI<0=IAI=-l.IE-ABTI=IAAT-ABTI=IAII(A-B)TI

=-IA-BI=IB-AI=-4

7、设A,B都是三阶矩阵，「3,且满足(A*)/B=ABA+2A2,贝B=

-10100

一而10u00u

标准答案：16

知识点解析：IAI=-3,A*=IAIA-^-SA-1,贝l」(A*)/B=ABA+2A2化为一！

AB=ABA+2A2,注意至UA可逆，得TB=BA+2A或-B=3BA+6A,则=-6A(E+3A「

50-30-ioio

E+M=•国十沏噬-30a)

8、若四，(X2,(13是三维线性尢关的列向量，A是三阶方阵，且Aai=ai+a2,

Aa2=a2+«3»A(X3=a3+ai，则IAI=.

标准答案：2

知识点解析：令P=(a],a3)，因为ai，a2»013线性无关，所以P可逆,由

01i0i

110-p110

AP=(Aai,Aa2>Aa3)=(ai,a2，013)lo1110111得

三、解答题(本题共27题,每题1.0分，共27分。)

9、设A=(aij»xn是非零矩阵，且IAI中每个元素a,与其代数余子式Aij相等.证

明:IAI和.

标准答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零

ry

行，则IAI=akiAki+ak2Ak2+...+aknAkn=aki+ak2+…+akn>0

知识点解析：暂无解析

设A为n阶非奇异矩阵，a是n维列向量，b为常数，P=(-a*IA卜。。：)

10、计算PQ：

标准答案：应(—a3]A,'((!「jbIA-c'A'a'(0|A(it-frA'a'i,；

知识点解析：哲无解析

11、证明PQ可逆的充分必要条件是aTA-'a/b.

标准答案：IPQI=IAI^b-JA^a),PQ可逆的充分必要条件是IPQI加，即

aTAda^b

知识点解析：哲无解析

12、设A,B分别为mxn及nxs阶矩阵，旦AB=O.证明：r(A)+r(B)<n.

标准答案：令B=(pi，的，…，Ps)，因为AB=O,所以B的列向量组pi，p2....

区为方程组AX=O的一组解，而方程组AX=O的基础解系所含的线性无关的解向量

的个数为n-r(A),所以向量组由，仞，…，氏的秩不超过n-r(A),又因为矩阵的秩

与其列向量组的秩相等,因此r(B)Wn-r(A),即r(A)+r(B)gn.

知识点解析：暂无解析

13、设向量组(I)ai，a2,(13;(II)ai，CX2，as，04：(DI)ai，012，«3»015,若向量

组(I)与向量组(口)的秩为3,而向量组(HI)的秩为4.证明：向量组ai，(Z2，a3，

015-04的秩为4.

标准答案：因为向量组(I)的秩为3,所以ai，C12,(X3线性无关，又因为向量组

(II)的秩也为3,所以向量04可由向量组ai，(X2，013线性表示.因为向量组(DI)的

秩为4,所以四，«2»(13，站线性无关，即向量as不可由向量组四，。2，(13线性

表示，故向量a5-ct4不可由ai，a2»a3线性表示，所以a：,(12，C13,015-04线性无

美,于是向量组cq,a2，as»(15-04的秩为4.

知识点解析：暂无解析

14、设A为n阶矩阵，若Ak"arO,而Ak(x=0.证明：向量组a,Aa,…，A^a

线性无关.

标准答案：令10。+1溜01+...+1|<-淋匕％=0(*)(*)式两边同时左乘人匕1得10人匕101=0,因

为飞翔，所以lo=O；(*)式两边同时左乘A"得必忆％=0,因为Ak/a#),所以

11=0,依次类推可得12j..=ki=0,所以a,Aa,...»A^a线性无关.

知识点解析：暂无解析

15、设向量组ai，a2.....an-i为n维线性无关的列向量组，且与非零向量由，的

正交.证明：pi,例线性相关.

*

标准答案:令A=a3,因为ai，a2，…，Otn-I与01，的正交,所以APi=O,

Ap2=0即仇，例为方程组AX=0的两个非零解，因为r(A)=n-l,所以方程组AX=0

的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以由，的线性相关.

知识点解析：暂无解析

尸4।-x：-0

设(1)1右一彳，=。，ai,a2,a3,四为四元非齐次线性方程组BX二b的四个解，其中

16、求方程组(I)的基础解系;

01-1

0,1

Io

标准答案：方程组(I)的基础解系为01

知识点解析：暂无解析

17、求方程组(U)BX=0的基础解系;

标准答案：因为r(B尸2,所以方程组(II)的基础解系含有两个线性无关的解向量,

-1o

2一1

2—1

ou-ai=।,a2+as-2ai=。为方程组(II)的基础解系；

知识点解析：暂无解析

18、(I)与(11)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解.

’一同

2A6

标准答案：方程组(I)的通解为kl&+k2己2二即，方程组(D)的通解为。令

，「必i•叫,一；-…

A，AL'，取k2=k则方程组(I)与方程组(口)的公共解为k(-

1,1,1,1)T(其中k为任意常数).

知识点解析：暂无解析

ar1+小-q=1

"f-4+q=b

19、讨论方程组为+为+3=2的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中

a,b为常数.

标准答案:D=226=-(a+l)(b+2).(1)当盼1,b齐2时,因为D翔，所以方程

工=Ltlaabl-2a¥b7=2Q-DS+D

组有唯•解，由克拉默法贝！得Q+DS+2严一Q+D(6+2T

-11-11[1-11-1

4-1-116-046—24

(2)当a=-l,厚-2时,22b210006+】当母-1时，方程组无解

1

0

131十卜卜为任意常数).

方程组的通解为X=A

当b=-l时,(3)当aW-l,b=2时,

方程UI的通解为1+13Q为任意畲效).

10当arl时,显然r(A)=2#(A)=3,

方程组无解.

知识点解析：暂无解析

20、设A为n阶非零矩阵，且A?=A,r(A)=i■求I5E+AI.

标准答案：因为人2二人=>人心从)=0=>(\)+「(£从尸1]=^可以对角化.由A?=A,

得|A|.IE-AI=0,所以矩阵A的特征值为入=0,I.因为r(A尸r,所以入=1

为r重特征值，1=0为n-r重特征值，所以5E+A的特征值为X=6(r重),X.=5(n-r

重)，故I5E+AI=5n-rx6r.

知识点解析：暂无解析

5-1-1W.

A3a—1可逆通

设矩阵4-2b,川为A*对应的特征向量.

21、求a,b及a对应的A*的特征值;

标准答案：显然a也是矩阵A的特征向量，令Aa=Qa,则有

3-Aipi=35—1—1

，2+a=■叫a=】•所以A=3]-]

2+方=&、b=l4-21|AI=12,设A的另外两个特征值为人2,

Q,由A=】2得入2=^=2.a对应的A的特征值为斯=4.

知识点解析：暂无解析

22、判断A可否对角化.

-311

-311

标准答案：2E-A=-21,因为r(2E-A)=2,所以屹=Q=2只有一个线性无关的

特征向量，故A不可以对角化.

知识点解析：暂无解析

设二维非零向量a不是二阶方阵A的特征向量.

23、证明a,Aa线性无关；

标准答案：若a,Aa线性相关，则存在不全为零的数"k2,使得k】a+k2Aa=0,

显然k2和，所以闻矛盾，所以a,Aa线性无关.

知识点解析：暂无解析

24、若A2a+Aa-6a=0,求A的特征值，讨论A可否对角化；

标准答案：EfeA2a+Aa-6a=0,得(A2+A-6E)a=0,因为a/),所以r(A2+A-6E)v2,

从而IA2+A-6EI=0,即I3E+AI.I2E-AI=0,则I3E+AI=0或I2E-AI

=0.若I3E+AI翔，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)a=0,得(2E-A)a=0,即

Aa=2a,矛盾；若I2E-AI和，则2E-A可逆，由(2E-AX3E+A)a=0,得

(3E+A)a=0,即Aa=-3a,矛盾，所以有I3E+AI=0且I2E-AI=0,于是二阶矩阵

A有两个特征值-3,2,故A可对角化.

知识点解析：暂无解析

X|-1-Xj+x3-11[-a

■<2xi+(a+2)x»+(a+Dxj■■a+3a1

设方程组4+2与+5=3*3』+3有无穷多个解，ai=0,ai=°，(13=

|o|

图为矩阵A的分别属于特征值入尸1,入2=2,入3=1的特征向量.

25、求A；

111

2a+2a+1

标准答案：因为方程组有无穷多个解，所以D=】2。=a2-2a+l=0,解得

知识点解析：暂无解析

26、求IA*+3EI.

*IAIMl|A|*

标准答案：IAI=2,A对应的特征值为a,F'船，即2,1,2,A+3E对应

的特征值为52,1,所以IA*+3EI=10.

知识点解析：暂无解析

1-1-Q

2<2—2

27、设A=-。-11,求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，

若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵.

a—11a

—24一a2

标准答案：IXE-AI=«1A-i=(Ka-l)(X-a)(X-a-l)=0,得矩阵A的特征值为

X|=l-a,12=a,Xj=l+a.⑴当l-a，a,1-a/l+a,a/1+a,即a，0且a#/时，因为矩

阵A有三个不同的特征值,所以A一定用以对角化.何=l・a时,由[(l・a)E・A]X=O

|o|卜T

得日=hk入2=a时，由(aE-A)X=O得々=11I；入3=l+a时，由[(l+a)E-A]X=O得

(2-«1112-l-a

_4aP=01一为一4a,PAP=a.

2=1+2111。+21+/(2)当a=0时，兀1=入3=1，因为

r(E-A)=2,所以方程组(E-A)X=O的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩

阵A不可以对角化.(3)当因为'(*—4).2♦所以方程纨(*T)*.@的基

础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化.

知识点解析：暂无解析

28、设A为n阶正定矩阵.证明：对任意的可逆矩阵P,P「AP为正定矩阵.

标准答案：首先AT=A,因为(pTAP)T=pTAT(pT)T=pTAp,所以pTAP为对称矩阵，

对任意的X和