考研数学一(概率与数理统计)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷6（题后含答案及解析）

全部题型3.解答题

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.设总体X的概率密度为又设XI,X2,…，Xn是来自X的一个简单随

机样本，求未知参数。的矩估计量.

正确答案：X的数学期望为涉及知识点：概率与数理统计

2.设总体X的概率密度为试用样本XI,X2,…，Xn求参数a的矩估计

和最大似然估计.

正确答案：先求矩估计：涉及知识点：概率与数理统计

3.设XI,X2,…，Xn是来自对数级数分布的一个样本，求p的矩估计.

正确答案：涉及知识点：概率与数理统计

4.设总体X服从参数为N和p的二项分布，XI,X2,…，Xn为取自X

的样本，试求参数N和p的矩估计.

正确答案：涉及知识点：概率与数理统计

5.设总体的分布列为截尾几何分布P{X=k）=。k-l（l-0）,k=l,2,…，

r,P{X=r+l）=0r,从中抽得样本XI,X2,…，Xn其中有m个取值为r+1,求

0的极大似然估计.

正确答案：涉及知识点：概率与数理统计

6.设总体X服从正态分布N（H,o2）,XI,X2,…，Xn是其样本.（1）

求C使得是。2的无偏估计量；（2）求k使得为。的无偏估计量.

正确答案：涉及知识点：概率与数理统计

7.设XI,X2,…，Xn是来自总体F（x；0）的一个样本，（XI,Xn）

是。的一个估计量，若试证：是0的相合（一致）估计量.

正确答案:涉及知识点：概率与数理统计

8.设XI,X2,…，Xn是取自均匀分布在[0,上的一个样本，试证：

Tn=max{XLX2,…，Xn}是。的相合估计.

正确答案：Tn=X(n)的分布函数为涉及知识点：概率与数理统计

9.己知X具有概率密度(1)求未知参数a的矩估计和最大似然估计；(2)验

证所求得的矩估计是否为a的无偏估计.

正确答案：(1)先求矩估计.涉及知识点：概率与数理统计

10.设总体X〜N(u,o2),XI,X2,X3是来自X的样本，试证：估计

量都是u的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效.

正确答案：涉及知识点：概率与数理统计

11.设XI,X2,…，Xn为总体X的一个样本，设DX=U,DX=o2,试

确定常数C,使为u2的无偏估计.

正确答案：涉及知识点：概率与数理统计

12.设总体服从U[0,0J,XI,X2,…，Xn为总体的样本.证明：为。

的一致估计.

正确答案：涉及知识点：概率与数理统计

13.设从均值为U,方差为。2>0的总体中分别抽取容量为nl,n2的两

个独立样本，样本均值分别为.证明：对于任何满足条件a+b=l的常数是u的无

偏估计量，并确定常数a,b,使得方差DT达到最小.

正确答案：涉及知识点：概率与数理统计

14.设XI,X2,…，Xn独立同分布，XI的取值有四种可能，其概率分

布分别为：pl=l—0,p2=0一。2,p3=02-。3,p4=03,记Ni为XI,X2,…，

Xn中出现各种可能的结

正确答案：由于Ni〜B(n,pi),i=l,2,3,4,所以E(Ni尸npi,从而有：若

使T是。的无偏估计，即要求涉及知识点：概率与数理统计

15.设总体X〜N(ul,02),Y〜N(口2,。2).从总体X,Y中独立地抽

取两个容量为m,n的样本XI,…，Xm和Y1,…，Yn.记样本均值分别为是

。2的无偏估计.求：(1)C；(2)Z的方差DZ.

正确答案:涉及知识点：概率与数理统计

16.设有k台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为。i,

i=l,2,…，k,用这些仪器独立地对某一物理量。各观察一次，分别得到XI,

X2,…,Xk,设仪器都没有系统误差,即E(Xi)=O,i=l,2,…,k,试求：Q

1,a2……ak应取何值，使用估计。时，是无偏的，并且最小？

正确答案：下的最小值.作拉格朗日函数：G(aLa2,•••,ak,X)=g(al,

a2,…，ak)+入(al+a2+…+ak—1).涉及知识点：概率与数理统计

17.某种零件的尺寸方差为52=1.21,对一批这类零件检查6件得尺寸数

据(毫米)32.56,29.66,31.64,30.00,21.87,31.()3.设零件尺寸服

从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50亳米(。=0.05).

正确答案：问题是在。2己知的条件下检验假设HO：u=32.50.H0的拒

绝域为IZI2zl/2,其中z0.025=l.96,故因IZI=6.77>1.96,所以否定

H0,即不能认为平均尺寸是32.5毫米.涉及知识点：概率与数理统计

18.某批矿砂的5个样品中银含量经测定为X(%)：3.25,3.27,3.24,

3.26,3.24,设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的银含量为3.25(a

=0.01)?

正确答案：问题是在。2未知的条件下检验假设HO：口=3.25.H0的拒绝

域为ItI>ta/2(4).故因为ItI=0.344(3)对于给定的a=0.05,查x2分布表

得临界值xa/22(14)=x0.0252(14)=26.119,x1-a/22(14尸x

0.9752(14)=5.629；(4)因为x().9752=5.629<x2=2I.875<x0,0252=26.119,

所以接受HO,即总体方差与规定的。2=0.0004无显著差异.涉及知识

点：概率与数理统计

20.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为。=100,今抽了一个容

量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性水平a=0.05下，能否认为这

批产品的指标的期望值"不低于1600.

正确答案：问题是在。2已知的条件下检验假设H0：口21600；Hl：n<

1600.H0的否定域为ZV-zQ/2其中因为Z二一1.02>—1.96=-z0.025,所

以接受H0,即可以认为这批产品的指标的期望值U不低于1600.涉及

知识点：概率与数理统计

21.设｛Xn｝是一随机变量序列，Xn的密度函数为：试证：

正确答案：对任意给定的£>0,由于涉及知识点：概率与数理统计

22.设XI,X2,…，Xn,…是独立同分布的随机变量序列，E(Xi)=u,

D(Xi)=o2,i=l,2,…，令.证明：随机变量序列｛Yn｝依概率收敛于U.

正确答案：涉及知识点：概率与数理统计

23.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均

重量50千克，标准差为5千克，若用最大载重为5吨的汽车承运，试用中心极

限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977(6

(2)=0.977).

正确答案：设Xi是装运的第i箱的重量，n表示装运箱数，则E(Xi)=50,

D(Xi)=52=25,且装运的总重量Y=X1+X2+…Xn,｛Xn｝独立同分布,E(Y)=50n,

D(Y)=25n.由列维―林德伯格中心极限定理知Y〜N(50n,25n).于是涉

及知识点：概率与数理统计

24.用概率论方法证明

正确答案：设｛Xn｝为一独立同分布随机变量序列，每个Xi服从参数为1的

泊松分布，则由列维―林德伯格中心极限定理知：涉及知识点：概率与

数理统计

25.截至2010年10月25日，上海世博会参观人数超过了7000万人.游

园最大的痛苦就是人太多.假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走3

个小时可到达；沿第二条路径走5个小时乂回到原处；沿第三条路径走7个小时

也回到原处.假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多

少时间才能到达中国馆.

正确答案：设游客需要X小时到达中国馆，则X的可能取值为3,5+3,7+3,

5+5+3,5+7+3,7+7+3,……要写出X的分布律很困难，所以无法直接求EX.为

此令Y=｛第一次所选的路径),即｛Y=i｝表示“选择第i条路径”.则因为E(X|

Y=l)=3,E(XIY=2)=5+E(X),E(XIY=3)=7+E(X),所以故E(X)=15,即该游客

平均要15个小时才能到达中国馆.涉及知识点：概率与数理统计

26.设XI,X2,…，Xn为一列独立同分布的随机变量，随机变量N只取

正整数且N与｛K)独立，求证：

正确答案：涉及知识点：概率与数理统计

27.假设你是参洲某卫视“相亲节目”的男嘉宾，现有n位女嘉宾在你面

前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为a(米).假设每位女

嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为且相互独立，若Z

表示你和一位女嘉宾握手后到另一位举手的女嘉宾处所走的路程，求EZ.

正确答案：设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为1,2,…，n.X为已经握

手的女嘉宾的编号，Y表示将要去握手的女嘉宾的编号，则涉及知识点：

概率与数理统计

28.对于任意二事件Al,A2,考虑二随机变量试证明：随机变量XI和

X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立.

正确答案:记pi=P(Ai)(案1,2),p12=P(A1A2),而P是XI和X2的相关系

数.易见，随机变量XI和X2都服从0—1分布，并且P{Xi=l}=P(Ai),

P{Xi=O}=P(Ai),P{X1=1,X2=1)=P(A1A2).⑴必要性.设随机变量XI和X2

独立，MP(A1A2)=P{X1=1,X2=1)=P{X1=1)P{X2=1)=P(A1)P(A2).从而，事件

Al和A2相互独立.(2)充分性.设事件A1和A2相互独立，则也都独立，放从

而，随机变量XI和X2相互独立.涉及知识点：概率与数理统计

29.假设有四张同样的卡片，其中三张上分别只印有al,a2,a3,而另一

张上同时印有a现在随意抽取一张卡片，令Ak二{卡片上印有ak)。证

明：事件Al,A2,A3两两独立但不相互独立.

正确答案：由于走任意k,j=l,2,3且k/i，有可见事件Al,A2,A3两

两独立.但是，由于可见事件Al,A2,A3不相互独立.涉及知识点：

概率与数理统计

某商品一周的需求量X是随机变量，已知其概率密度为假设各周的需求量

相互独立，以Uk表示k周的总需求量，试求：

30.U2和U3的概率密度fk(x)(k=2,3)；

正确答案：以Xi(i=l,2,3)表示第i周的需求量，则Xi的概率密度均为而

U2=X1+X2,U3=U2+X3.三周中周最大需求量为X(3)=max{XLX2,X3).当

xWO时，显然f2(x)=f3(x)=0；对于x>0,有于是，两周和三周的总需求量U2

和U3的概率密度涉及知识点：概率与数理统计

31.接连三周中的周最大需求量的概率密度f(8)(x).

正确答案：设F(x)是随机变量X的分布函数.由题意知连续三周中的周最

大需求量X(3),的分布函数为G(x)=[F(x)]3.于是，有涉及知识点：概

率与数理统计

32.设X和Y相互独立都服从0—1分布：P{X=1)=P{Y=1)=O.6.试记明：

U=X+Y,V=X—Y小相关，但是小独立.

正确答案：(1)由协方差的定义和性质，以及X和Y相互独立，可见Cov(U,

V)=E(UV)—EUEV=E(X2一Y2)—E(X+Y)E(X—Y)=E(X2)—E(Y2)=0.于是，

U=X+Y,V二X—Y不相关.(2)现在证明U=X+Y,V=X—Y不独立.事实上，由

P{U=O}=P{X=O,Y=O)=P{X=O)P{Y=O)=O.16,P{V=O}=P{X=O,Y=0)+P{X=1,

Y=1)=P{X=O)P(Y=O)+P{X=1)P{Y=1)=0.52,P{U=O,V=O)=P{X=O,

Y=O)=P{X=O)P{Y=O)=O.I6W0.16X0.52=P{U=0)P{V=0),可见U和V不独

立.涉及知识点：概率与数理统计

33.假设G=｛(x,y)Ix2+y2〈r2｝是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，

而随机变量X和y的联合分布是在圆G上的均匀分布.试确定随机变量X和Y

的独立性和相关性.

正确答案：(1)X和Y的联合密度为那么，X的密度函数fl(x)和Y的密度函

数f2(y)相应为由于f(x,y)/fl(x)f2(y),可见随机变量X和Y不独立.(2)证明X

和Y不相关，即X和Y的相关系数P=0.因此，有于是，X和Y的相关系数P

=0.这样，X和Y虽然不相关，但是不独立.涉及知识点：概率与数理

统计

34.假设某季节性商品，适时地售出1千克可以获利s元，季后销售每千

克净亏损t元.假设一家商店在季节内该商品的销售量X千克是一随机变量，并

且在区间(a,b)内均匀分布.问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润

最大？

正确答案：根据条件随机变量X的概率密度为以Y=P(h)表示销售利润，它

与季初应安排商品的数量h有美.由条件知为求使期望利涧最大的h,我们计算

销售利润Y=P(h)的数学期望.为此，首先注意到：aVhVb,销售利润Y=P(h)

的数学期望为于是，季初安排h0千克商品，可以使期望销售利润最大.涉

及知识点：概率与数理统计

35.独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p.假

设前5次试验每次的试验费用为1()元，从第6次起每次的试验费用为5元.试

求这项试验的总费用的期望值a.

正确答案：以X表示试验的总次数，首先求X的概率分布.设Ak二｛第K次

试验成功｝(k=l,2,…)，则P(Ak尸p,X的概率分布为其中q=l—p.于是试验

的总次数X服从参数为p的儿何分布.现在求试验的总费用的期望值a.由条件

知，试验的总费用为例如,设p=0.8,q=0.2,得a=12.498元;设p=q=O.5,

得a=19.6875元；设p=().2,q=().8,得a=41.808元；设p=().1,q=().9,

得a=70.4755元.涉及知识点：概率与数理统计

36.利用列维―林德伯格定理，证明：棣莫弗一拉普拉斯定理.

正确答案：设随机变量XI,X2,…，Km相互独立，同服从0—1分布；EXi=p,

DXi=pq(i=l,2,…，n),Sn=Xl+X2+…+Xn,ESn=np,DSn=npq,其中q=l—

p,XI,X2,…，Xn满足列维―林德伯格定理的条件：XI,X2,…，Xn独立

同分布且数学期望和方差存在，当n充分大时近似地S=X1+X2+…+Xn〜N(np,

npq).涉及知识点：概率与数理统计

某保险公司接受了10000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为12

元.若车丢失，则赔偿车主1000元.假设车的丢失率为0.006,对于此项业务,

试利用中心极限定理，求保险公司：

37.亏损的概率a；

正确答案：设X为需要赔偿的车主人数，则需要赔偿的金额为Y=0.1X(万

元)；保费总收入C=12万元.易见，随机变量X服从参数为(n,p)的二项分布，

其中n=10000,p=0.006；EX=np=60,DX=np(l—p)=59.64.由棣莫弗一拉

普拉斯定理知，随机变量X近似服从正态分布N(6(),59.64),随机变量Y近似

服从正态分布N(6,0.5964).保险公司亏损的概率涉及知识点：概率

与数理统计

38.一年获利润不少于40000元的概率B；

正确答案：保险公司一年获利润不少于4万元的概率涉及知识点：

概率与数理统计

39.一年获利润不少于6000()元的概率Y.

正确答案：保险公司一年获利润不少于6万元的概率涉及知识点：

概率与数理统计

将n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为

整数.试利用中心极限定理估计：

40.试当n=1500时求舍位误差之和的绝对值大于15的概率；

正确答案：设Xi是第i个数据的舍位误差，由条件可以认为Xi独立且都在

区间［一。5,0.5］上服从均匀分布,从而EXi=0,DXi=l/12.记Sn=Xl+X2+…

+Xn为n个数据的舍位误差之和，则ESn=0,DSn=n/12.根据列维―林德伯格

中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从N(0,n/12).记小(x)为N((),1)的分

布函数.由于近似服从标准正态分布，且『1500,可见涉及知识点：概

率与数理统计

41.估计数据个数n满足何条件时，以不小于90%的概率，使舍位误差之

和的绝对值小于10的数据个数n.

正确答案：数据个数n应满足条件：由于近似服从N((),1),可见于是，当

n>721时，才能使误差之和的绝对值小于10的概率不小于90%.涉及

知识点：概率与数理统计

42.设X是任一非负(离散型或连续型)随机变量，已知的数学期望存在，

而£>0是任意实数，证明：不等式

正确答案：(1)设X是离散型随机变量，其一切可能值为{xi},则⑵设X是

连续型随机变量，其概率密度为f(x),则涉及知识点：概率与数理统计

43.设事件A出现的概率为p=0.5,试利用切比雪夫不等式，估计在1000

次独立重复试验中事件A出现的次数在450到550次之间的概率a.

正确答案：设un是1000次独立重复试验中事件A出现的次数，则vn〜B(1

000,0.5),EX=1()00X().5=500,DX=1000X().52=250.利用切比雪夫不等

式，知涉及知次点：概率与数理统计

设来自总体X的简单随机样本XI,X2,…，Xn,总体X的概率分布为其

中OVOV1.分别以vl,v2表示XI,X2,…，Xn中1,2出现的次数，试求

44.未知参数0的最大似然估计量；

正确答案：求参数8的最大似然估计量.样本XI,X2,…，Xn中1,2和

3出现的次数分别为vl,v2和n-vl—v2,则似然函数和似然方程为涉

及知识点：概率与数理统计

45.未知参数0的矩估计量；

正确答案：求参数。的矩估计量.总体X的数学期望为EX=02—40(l—

0)+3(1-6)2.在上式中用样本均值