第二章随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布

第一节随机变量与禽散型随机变量分布

第二节常见离散型随机变量分布

第三节连续型随机变量分布

第四节常见连续型随机变量分布

第五节随机向量

(随机向量的联合分布函数；条件分布：随机变量独立性)

第六节随机向量函数的分布

第一节随机变量与离散型随机变量的分布

一、随机变量

许多随机试验的结果，可用数量直接表示.

例如，一口袋中装有3个白球，7个黄球。现任摸2个球，问摸到白球的个数，样本空间Q={0,1,

2)

但是，有些随机试验的结果并不是数量性的,而是表现为某种属性,然而这种属性是可以数量化的。

例如，在投掷硬币的试验中，基本事件有两个，出现正面和反面(定性)。为了便于研究，我们将每

一个基本事件用一个实数来表示，若用“1”代表出现正面，用“0”代表出现反面。

本章直通事件印哪里暧时来讨01帆式更

1.当，正面，

-0.当■反面•

陆机关早就后应用数字分析的方法

样本京间。-------实理r空间/―►来解决问晅，这样萦可以

改圳全时鹤视机京蛉的

取别客观存在的统计烟律住。

任何一个随机试验，其结果都可以用一个随机变量来刻画，试验结果不同，则该变量的取值也不同。

定义2.1设E是一个随机试验，它的样本空间为{e},如果对于Q内的每一个样本点e都有一个

实数X(e)和它对应，则称X(e)为随机变量，简记为X。

如果随机试验的结果本身是数量，这时我们就定义随机变量X(e);e。

期机登录定乂的示0国

随机变量是定义在样本空间Q上的单值实函数，随机变量的取值是随机的，试验的每一个结果的出现

都有一定的概率，因而随机变量取各个值都有一定的概率。这就是随机变量与普通变量的本质区别。

进一步说明：随机变量不同于高等数学数的函数。它的自变量是样本点，定义域是样本空间，由于自

变量的随机性，在试验完成之前，不能预先知道哪个样本点会出现，也就没办法预知对应的函数值，所以

这个函数的取值也是具有随机性的。因此，对随机变量的分析，会重点放在其取值的可能性上。而对函数

的分析更侧重函数的取值、性质天口应用方面的研究。

显然，随机变量X的函数Y=f(X)也是一个随机变量。

二、离散型随机变量的概率分布

「黑第型定义22%随机关量只能取有限今个

女天限可歹除加值，4用电为充散型锚

mm

-连训1

例如，投掷硬币的随机变量X(e)只有两个可能值：0^11；在显微镜下观察一张片子上某种细胞个

数的随机变量X(e),全部可能取值为无限可列个0,L2,…;它们都是离散型随机变量。人的寿命也

是一个随机变量，但它的取值充满某一区间,无法按一定次序一一列举出来，故不是离散型随机变量，而

是本章第三节中要讲的连续型随机变量.

随机变量的特点在于客观存在的取值有一定的概率意义。它并不是肯定地取某一个值，而是以相应的

概率取某个值，所以必须用取值及其相应的概率才能完整地描述随机变量。

对于离散型随机变量来说，可以用列出它的每一个取值及其相应的概率来表示。

例如，根据资料显示，某地新生婴儿的男女概率分别为0.517和0.483,则婴儿的性别可用性别变最

X来表示：若出生女性婴儿则X取0,相应的概率为0.483；若出生男性婴儿则X取1,相应的概率为().517

即随机变量X取值规律为：

表离散型随机变量的分布列(X与P的对应关系)

/|o1

P0.4830.517

或写成表达式P(X=0)=0.483,P(X=l)=0.517。

定义2.3设离散型随机变量X所有可能取值为xi(i=l,2,…)相应的概率

P(X=xi)=pi,i=l,2,

称为离散型随机变量X的概率函数或分布律。

显然，概率函数有如下性质：

(1)A0,(i=l,2,...)

例2.1给青蛙按每单位体重注射一定剂量的洋地黄，由以往实验获知，致死的概率为().6,存活的

概率为0.4,今给两只青蛙注射，求死亡只数的概率函数。

解设A“A?分别表示第1只和第2只青蛙死亡的事件，

则样本空间c=(工工死亡只数X=o,1,2

由题意，得P(AJ=P(&)=O.6,P(I)=P(L)=0.4

&,&彼此独立P(X=O月源B.4X0.4

P(X=1)=P(AJ8+办仁也%K呕)PtAjH.&XO.4fO.4X0.6=0.48

P(X=l>=P(AxA*)=P(AJ)P(A1>=O.6X0.6=036

所以，X的概率函数

,1(.)12

0.160.480.36

容易看出，概率函数满足P20(i=0,1,2)且ELoP】=l。

三、分布函数

概率函数全面地描述了离散型随机变量的统计规律性。为了给出随机变量X在整逮圉内取值的概率,

我们还可以用另一种方式研究随机变量的分布规律，即研究随机变量X不大于实数值x的累积概率。这种

方式不仅对于研究离散型随机变量是有意义的，对于连续型随机变量也是适用的，累积概率更具有代表性。

定义2.4设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数

F(x)=P(XWx)

称为随机变量X的分布函数。

对于任意实数X1,X2(X|<X2)»有

P(x〈XWx2)=P(XWxz)-P(XWxD=F(x2)-F(xt)

因此，若巳知X的分布函数，我们就可以知道X在任一区间(x„X2］内取值的概率。从这个意义上来

说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。

对离散型随机变量，只要将其概率函数累加起来，就得到分布函数

F(x)=P(X<x)=SP(X=xk)=JX

其中，Xk为随机变量X的取值。

分仙函数有如下性质：

(1)F(x)是一个单调不减函数(若x1Vx2,则有F(X,)WF(x2))；

(2)F(x)的值域介于。与1之间，即OWF(x)W1,且F(-8)=o,F(+«>)=1；

UmF(x)=F(X.)

(3)F(x)在任何点x处至少右连续，即F(x+0)=F(x)(LX。*)。

凡满足性质(1)-(3)的实函数F(x)一定是某个随机变量X的分布函数。

S12青绘死亡只数的

分布函数国

随机变量

映射：从样本空间到实数空间

第二节常见离散型随机变量的分布

一、两点分布

(一)两点分布

定义2.5如果随机变量X的分布律为

X01

P1PP

则称X服从两点分布(0<p〈l),或称0T分布。

(-)伯努利试验

在许多实际问题中，我们所观察的某个事件A在一次试验口可能发生，也可能不发生。这种只有两个

例某种大批最产品的一级品率为0.2,现从中随机地抽查20件，问20件产品中恰好有k件（k=0,

1,2,…，20）为一级品的概率是多少？

设X为20件产品中一级品的件数，则X服从n=20,p=0.2的二项分布B（20,0.2）

X012345678910211

P0.0120.0580.1370.2050.2180.1750.1090.0550.0220.0070.0020.001

Mt.3二4KHM率函数用

ko=[np-q]+l=[2OXO.2-0.8]+1=4

n=29

[29X0.2-0.8]=5

ko=5和6处,达到最大值

二项分布的图形矩一偏左、单峰曲线，当k增大时，概率P（X=k）先增大，达到最大值后，再减

小，且在ko=[np-q]+l时达到最大值,当np-q为正整数时,则在ko=np-q和ko=np-q+1处同时达到最大

值，k0称为二项分布的最可能值。

n=29

[29X0.2-0.8]=5

ko=5和6处，达到最大值

三、泊松分布

泊松分布也是一种典型的离散型分布，由法国数学家泊松（S.D.Poisson,1837）提出。许多稀疏现

象，如（1）生三胞胎，（2）某种少见病（如食管癌、胃癌）的发病例数，（3）用显微镜观察片子上每

一格子内的细菌或血细胞数，（4）用X-线照射一种细胞或细菌，细胞发生某种变化或细菌死亡的数目等

等，都服从或近似服从泊松分布，所以泊松分布律又称为稀疏现象律。

定理2.2（泊松定理）设随机变量X.，（n=0,1,2,•••）服从二项分布，其概率函数为

汽Z=幻=0.L1一«.

这里概率P，与实验总次数n有关。如果当n-8,”0一入（入＞0为常数）则有

.女=o.L2,一

当n很大，且p很小时，令人二npe则

(一般要求n210,pWO.要

二项分布的泊松逼近

泊松分布的图形是一偏左、单峰曲线。且当人增大时，图形趋于对称。泊松分布图的上升、下降情况

与二项分布相类似。随着k增大，概率P(X=k)先增大，达到最大值后，再减小。且在k产［X］时达到最

大值，当人为正整数时，则在k产入和处同时达到最大值。&称为泊松分布的最可能值.

>t=52=20

已知某地区的人群中患某种病的概率为0.001,试求在检查5000人中至少有2人患此病的概率。

解由于限5000较大，而p=0.001较小，所以患此病的人数可用入=np=5000X0.001=5的泊松

分布来近似，因此检查5000人中至少有2人患此病的概率为

P(XN2)=1-P(X=0)-P(X=l)=l-e--5e'5=l-6e'5=0..

如果按X服从二项分布B(5000,0.001)精确计算得0.

四、超几何分布

超几何分布是一种离散型的概率分布，常用于药品、疫苗等的质量检查与流行病学的研究等。

例设在总数为N的人群中做了某种检查，结果有M例阳性，N-M例阴性现从该人群中不放回地抽取

n例，求n例中恰有k例阳性的概率。

/.W\

弓

若随机变量X的概率函数为J

其中OQIWN,0<nWN,ki=max(0,n+M-N),k2=min(n,M),则称随机变量X服从参数为N,M,n

的超几何分布，记作X〜II(N,M,n)o

kl=max(0,n+M-N)

Fisher确切概率法

疗法有效无效合并

中西药结合12(A-)214(〃)

西药6713

合计18(加927(A0

疗法有效无效合并

中西药结合12(425)214(〃)

西药6713

合计18(.1/)927a.V)

对k的限制：

(1)kWmin(n,M)

(2)n-kWN-M

ki=max(0,(n+M-N)=5)

超几何分布描述不放回抽样问题，而有放回抽样则用二项分布来描述。

可以证明，当N充分大时，超几何分布近似服从二项分布。

第三节连续型随机变量的分布

随机变量的统计规律可用分布函数来刻画，离散型随机变量有更方便的刻画一一分布律

密度函数是分布函数的导数

在离散型随机变量的研窕中，概率函数全面地描述了随机试验的规律，但对连续型随机变量X来说,

由于它的取值不是集中在有限个或者无限个可列的点上，而是充满某个区间，因此考察X取值于一点的概

率意义并不大。只有确知X取值于任一区间上的概率,才能掌握它取值的概率分布。尽管分布函数能描述

随机变量的概率分布，但由于它不够直观，用起来往往不方便。对于离散型随机变量，我们用分布列来描

述就显得既简单又直观。同样，对于连续型随机变量，我们也希望有一种比分布函数更为直观的描述方式。

为比，引人概率密度函数的概念。

定义2.9对于随机变量X的分布函数F(X),如果存在非负可积函数f(x)(-8<x<+8),对于

任意的实数x,使得网削坳成立，则称X为连续型随机变量。

f(x)称为随机变量X的概率密度函数,简称概率密度或分布密度。

由定义可知，连续型随机变量X的分布函数为网"

概率密度函数f(X)具有如下性质：

(1)f(x)20,-8<X<+8,即概率密度函数曲线y=f(x)位于x轴上方；

L"x)dx=l,即由线y=f(x)与x轴围成的面积等于1；

(2)

(3)P(X=a)=0(a为任意常数)，即连续型随机变量取任一实数的概率为零;

(4)若f(x)在点X连续,r(x)=/(x)

由性质(3)得

/\a<X4b)=P(a<X<b)=P(a4X<b)=尸3SX4b)=，/(adx

这说明，连续型随机变量取值于某一区间的概率等于该区间上曲线kf(x)与X轴围成的曲边梯形面

积，而不必考虑区间端点的开与闭。与此同时，还要特别注意的是P(X)=0,并不意味着"=a”必

为不可能事件。

连线型建d底度的数

下面讨论连续型随机变量的f(x)dx与离散型随机变量的Pi的关系。

因为P(X=xD=Pi表示离散型随机变量X取某一值的概率，而对于连续型随机变量X

P(x<X<x'Fdx)=t

当dx充分小时，如下图，

即P(x<X<x-㈤上/(x)dr

故f(x)dx可以看成随机变机X落在小区间［x,x」dx］上的概率,这是一种连续型随机变量离散

化的方法.可见f(x)dx与pi起着同样的作用,都描述了随机变量的分布情况。

B已知连续型随机变量X的分布密度为

试求

(1)常数k：

(3)分布函数F(x)。

解⑴J二〃力dx=l

侬+1)<1=[*乜[=(#+21伊+o]=2Jt+2=l

2

1,

PJ汨讥)dx=£(-；x+l)dx+jjodx=-X+x

=(-ix22+2)-(-ix(-/+-)=l--=—

44221616

(3)

Orx<0,

F(x)=f^/(r)d/-*+x・OSV

1,0

9=一；x+[

第四节常见连续型随机变量的分布

一、均匀分布

.、,aWxWb

f(x)=-b-a

定义2.10如果随机变量X的概率密度函数为I0，H它

则称X在区间［a,b］上服从均匀分布，记为X〜U［a,b］o

/U)

1

b-aF!

o<bx

在［a,b］上，概率在各处的密集程度一样，也可看作概率均匀地分布在［a,b］上，这就是均匀分布的

由来。

若X〜U［a,b］,则对区间［a,b］上任意的子区间［c,c+1］上的概率:

/Xc<X<c+Z)=££=I

b-a

只与区目卡度有美，而与或在【•，同内自诅体位

皆无美，*乎在区间［•，M内任意等长度区目内

BW-—等*

均匀分布的分布函数为

0.…JL=±n广匚

b-ax-ab-a

F(x)=〈尹,04x<b

b-a

1,xNb

均匀分布的密度函数f(x)和分布函数F(x)示意图

0某公共汽车站每10分钟有一辆汽车通过，一位乘客对于汽车通过该站的时间完全不知道，他在

任一时刻到达车站的可能性均等，试求他到达车站3分钟内就有公共汽车到站的概率。

解：设该乘客候车时间为X,X〜U(0,10)

(等10分钟有公交车到站的概率为1,等到公交车的概率的跟等的时间成正比)

f(x)>1015dx,［而］-jj

0,其它••

二、指数分布

XN0

若随机变量X的概率密度为0.x<0

其中人＞0为常数，则称X服从参数为入的指数分布，记为X〜E(入)。

X=o.1

0.x<0

尸(x)=

[l-o”,xAO

-Jlr,u

(1-e川)'=(1-e*y=(1-euYuf="etfU==融

ffl设某种动物的寿命X(单位：年)服从参数为0.1的指数分布。问3个这样的动物都能活到12岁

的概率是多少？

OHNO

/(x)=

0.x<0

?="力。-八

三个动物能活到12岁的概率P：9=0.0273

三、正态分布

(一)密度函数和性质

1名

2tr(-«<X<-H»)

若随机变量X的概率密度函数为41Ko

其中，〃7和s(s>0)为常数，则称X服从参数为m，s?的正态分布.记为X〜N(/〃,¥).

正态分布性质:

(1)曲线f(x)关于直线对称，因此，对任意的h〉0,有

(2)当x="时，f(X)取得最大值

(3)曲线f(X)在x=u±J处有拐点，且以X轴为水平渐近线

(4)f(x)有两个重要参数口和。，分别称U为位置参数，。为形状参数。

标准正态分布

〃=0,s=l的正态分布N(0,1)称为标准正态分布，记为X〜、(0,Do

1W

—=*1(-<£<X<-HC)

标准正态分布的密度函数8

4(X)=,『'亍.(-0D<X<4CD)

标准正态分布的分布函数g-

fl设随机变量X〜N(0,1),查表计算：

(1)P(X<1.23)；

(2)P(X>1.23)；

(3)P(|X|>1.23)o

M(1)查附表3,u=l.23对应的概率为0.8907,P(X〈L23)皿工冽=。.8907

(2)P(X>1.23)=1-P0X1.23)=1-0.8907=0.1093

(3)P(|X|>1.23)=P(X)1.23)+P(X<-1.23)=2P(X>1.23)=2X0.1093=0.2186

X000001002T0030(M005006007ON009

00，胸3皿..9WJL)£5J[0,1601、”叽」却93

<1ZOE一9*L»51»JL«L.0•力

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（三）标准正态变换

若随机变量X〜N（m,?），则

尸⑸=尸（JT4巧=代工上4七号二。（上4

即aaa对于任意区间（XI,X2）,有

P(x<X^Xj)=A——<-------=t-L-J

lOGOao

例设X〜N(1,4),求P(0<X<1.6)

解：

=0(03)-0(-03)

=0.6719-[1-0(0.5)]

=0.6719-1+0.®15=0.3094

例设X〜N(8,4),试求：

(1)P(XW10)

(2)P(|X-8|^1)

£-8^10-8X-8

汽4410)=尸()=尸(8

解:(1)~2~2

P(|X-8|<1)=2(74X4等

7-8£-89-8

<<)=P(-^——<-)

222222

⑵=<K0-5)-4K-05)=24>(0J)-l=03830

课堂讨论题设随机变量X〜N(m,S),求：

(1)P(|X_*«L96o)

P(|X-“42・58o)

(2)

X一“

P(—上>%)=4求a=0.058九%踊值

⑶记。

解：

(1)P(-l96^<JT-Z/<196CT)=P(-196<^^<196)

a

=*196)-我-1.96)=2<K1.96)-1=24>(1.96)-1削095

(2)P(-2.5&T2J8o)=P(-2.58<2^8)

o

=火258)一火-2.58)=20(2.58)-1=2玄258)-1

(3)-代"3

。<r

=1—火M.)=a=0-05

火”。=0.95

查附表3,%”=115

上侧(右侧)a分位点：设hN(0,1),若u“满足条件:

P(X>Ua)=a,0<a<1

则称”,为标准正态分布的上侧(右侧)。分位点

上侧（右侧）。分位点

例（最佳方案的设计）从南郊某地乘车前往北区火车站，搭车路线有两条：第一条：穿越市区，路程

较短，但交通拥挤，所需时间(单位：min)『4(50,102)第二条：沿环城公路，路程较长，但阻塞

较少，所需时间（单位：min）V?N(60,42)；现问：

（1）若提前70min出发，应走哪条路线较好?

（2）若提前60min出发，应走哪条路线较好？

解.：应选择在允许时间内有较大概率及时赶到火车站搭车的路线

（1）70min内走第一条路线及时赶到的概率为

470）=穴若彩）=玄2）=09773

走第二条路线及时赶到的概率为

70-60

P(X470)=)=0(2.5)=09938

4

如果提前7（）min出发，应选择走环城公路。

（2）60min内走第一条路线及时赶到的概率为

60-50

P{X<60)=4>(rL-r：)=<t>(ii)=08413

460)=文竺Z竺)=取0)=05

4

如果提前60min出发，应选择走穿越市区。

正态分布应用广泛，大量实践经验与理论分析表明，许多医药学指标，如人体的某些正常生理值，可

以看作或近似看作正态分布。同时，正态分布在误差理论和统计推断中也占有特别重要的地位，这点在以

后各章中将会看到。

四、对数正态分布

在医药学中，收缩压和舒张压、全血中的尿素、非蛋白氮、肌酊、血清和血浆中的钾以及生物鉴定中

动物反应率关于剂量的分布等，都服从对数正态分布。

定义2.13若随机变量才的概率密度函数为

/（x）=后bJ.x>0

0MS0

其中，。。'>0）为常数，则称I服从参数为〃'和。'2的对数正态分布（Logarithmic

normaldistribution）,记为（〃'，o'2）

若随机变量X服从对数正态分布£N（〃，。2）,则hI?N（〃，。2）,这也就是对数正态分

布名称的由来。对数正态分布的密度函数图形如下图所示，它穴对称、偏向左侧、右尾较长，相对于正态

性而言，这种偏态称为止偏态或右偏态。

/U)

五、威布尔分布

在医学上，常用威布尔分布分析药品的有效期，体外释放度和严重疾病患者的存活期等。

定义2.14若随机变量X的概率密度函数为

x<a.

其中，m,a,8（勿＞0,£刀）为常数，则称才服从参数为勿，a,B的威布尔分布：Weibull

distribution）,记为甯/f（m,a,尸）。

威布尔分布的分布函数为

.“Na

x<a

威布尔分布密度函数和分布函数图形如下图所示.其概率密度函数式中的三个参数，m称为形状参数,

a称为位置参数，户称为尺度参数，下图显示这些参数取不同值时，对概率密度曲线的影响。

/Wl

威布尔分布包含许多典型的分布，例如，当m=l时为,'指数分布：当m=3.5时,威布

尔分布近似于一个正态分布，因此，这些年来，在生物学、药学及可靠性分析中常常应用到威布尔分布。

第五节随机向量

在概率论的实际应用中，往往要同时涉及两个或两个以上的随机变量。例如，为了研究某地区儿童身

体的发育情况，要用身高、体重、胸围等多个随机变量来表示。通常把与同一随机现象相联系的多个随机

变量看作一个整体，称为多维随机变量或多维随机向量。〃个随机变量X,…，X,构成的〜个〃维向量

(%,%…，X)称为〃维随机变量或n维随机向量。

一维推广到二维

一、随机向量的联合分布函数

定义2.15设一个随机试验的样本空间为。，X(e)与f(e)是定义在。上的随机变量，它们构成的

一个向量(XV)称为二维随机变量(lw。dimensionalrandomvariable)或称二维随机向量。

在引入一维随机变量时，一个基本事件e被映射为数轴上的一个随机点X(e),而这里一个基本事

件e被映射为平面上的一个随机点(1(e),V(e)).

/(•)：招/£

血压｝

f(e)：收箍压

｛谢善把的位置｝

图二维RB机登里定义示意图

二维随机向量的性质不仅与X和Y有联系，而且还依赖于两个随机变量的相互关系。因此，单独研

究乃和J,的性质是不够的，还需要将(尤n作为一个整体来考虑，这就需要引进联合分布的概念.

定义2.16设(尤D为二维随机变量，对任意实数X和六二元函数

Fkx、y)=〃(后x,FWy)称为二维随机变量(XD的联合分布函数。

记F(x,+8)=p(XWx,YW+8),F(X,8)称为x的边缘分布函数(marginaldistributionfunction),

记为R(x)o

记F(+°°,y)=P(XW+8,YWy),F(y,8)称为Y的边缘分布函数(marginaldistributionfunction),

记为FY(y)o

J

D版力

0

二继分布函数的区I场

二维分布函数F(x,y)的性质：

(1)F(x,y)是不减函数；

(2)OWF(x,y)W1

与一维的情形类似，常见的二维随机变量有离散型和连续型两类。

定义2.17如果二维随机变量(%F)所有可能取值的个数是有限个或无限可列个时，则称(尤n

是二维离散型随机变量；〃(庐必，上力)二夕”，，，户1,2,…，为二维离散型随机变量(％D的

联合概率函数(jointprobabilityfunction)；

KX=A=Zpj=Pi

,J=1,2,称为乃的边缘概率函数(marginalprobabilityfunction)；

P(X=%)=£p尸尸j

类似地，i,J=1,2,…，称为J，的边缘概率函数，可用如下表格形式表示

二维离散型随机向量(X,Y)的联合分布概率与边缘概率函数

Y

XPi.

yiy2•••ym

X1pHpl2•••plmpl.

x2P2p22•••p2mP2.

••••••••••••••••••

xnpnlpn2•••pnmpn.

p.jp.1P.2•••p.m1

联合概率函数PU具有下列性质：

（1）/NO=…

yyp«-=i

（2）ii,所有可能取值的概率和为1。

例设二维随机变量（尤n可能取的值为（0,2）,（1.5,1）,（1.5,2）,（2,-1）；且取

这川个值的概率依次为1/2,1/4,1/8,1/8；求（％D的联合概率函数。

X

-112

0001/2

1.501/41/3

21/800

例设两枚硬币，第一枚掷一次，第一枚掷两次，试求两枚便币掷出的正面次数的联合分布律。

解设力表示“第一枚硬币掷出正面”，X表示第一枚硬币掷出的正面次数，B,（J-1,2）表示“第

二枚硬币第J次掷出正面”，V表示第二枚硬币掷出的正面次数，

p（x=o.r=o）=尸（福可=-

p（x=o.y=i）=尸（血瓦♦离星）=2

8

尸（X=Q1r=2）=尸（血JJ」

1S

产（X=LF=0）=尸（离瓦）=1

8

p（x=i.r=i）=网/瓦*｛耶J=:

尸（X=LF=2）=尸（典易）=；

Y

XP（八）

012

01/81/41/81/2

11/81/41/81/2

p（片力）1/4121/41

用，加gg）

（X，Y）的M台分布由散尸（rJ）为

x<0S^y<0

.0<X<10<><1.

曲边朦分布的物为而边运分布函效为.•mvrcz

U/<•.

<x<Q.

与⑸1..x210”<l

[,必C

1.“工.31。<2

L”工

L田加

（二）联合概率密度函数（jointprobabilitydensityfunction）

若二维随机变量（％D的联合分布函数6（x,y）对任意实数x,y,存在非负函数F（x,y）,使

尸（“尸匚匚"加力

成立，则称（％D为二维连续型随机变量，函数r（x,P）称为二维连续型随机变量（XD的联

合概率密度函数，简称联合密度（或联合分布密度）。

连续型；联合密度为y）

则X的边缘分布函数为

品（工）=/任"）=口/:/5，¥为卜

4（©=匚/（4）加

因此,

称为X的边缘概率密度。类似地,

45=匚/（”