考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷3

考研数学一（多元函数微分学）模拟试

卷3

一、选择题（本题共6题，每题1.0分，共6分。）

1、设函数f（x,y）在点（0,0）附近有定义，且fx（0,0）=3,fy（0,0）=1,则（）

A、dzI（o、o）=3dx+dy.

B、曲面z=f（x,y）在点（0,0,f（0,0））处的法向量为｛3,1,1）.

「=/（x,y）

c、曲线,在点（o,o,f（o,o））处的切向量为｛i,o,3）.

［z=/（x,y）

D、曲线1=0,在点（0,0,f（0,0））处的切向量为｛3,0,1）.

标准答案：C

（2为参数式方程（取/为参数）y=0,

ly=0

知识点解析：化曲线“二/（3°），则该曲线

在点（0,0,f（0,0））处的切向量为",0,fx（0,0）|=｛1,0,3）,故选C.

../（«0+机九）-/（0-3九）

hm------------：-----------

2、己知fx（xo,yo）存在，则h=（）

A、fx（xo，yo）.

B、0.

C、2fx（xo,yo）.

x

2

D、'fx（x（）,yo）.

标准答案：C

lim©t2普山2

*-*oh

.i加［•/（巧+h,y°）一/（%,%）/（斯-My。）一〃/八o）］

_*-oLA-A」

=。（%，九）+£（小，兀）

知识点解析：="（"。，兀），故选C.

,(x,y)#(0,0)t

3、设f(x,y)=°，(”,)=(°，°)，则f(x,y)在点(0,0)处()

A、两个偏导数都不存在.

B、两个偏导数存在但不可微.

C、偏导数连续.

D、可微但偏导数不连续.

标准答案：B

知识点解析：由偏导数定义，有

/：(0,0)=⑼=lim^5=o

M-0AxAx

由对称性知/；(0,0)=0,而

]./(A%,Ay)-/(0,0)-[/',(0,0)Ax+/',(0,0)Ay]

㈡，3)。(2尸

1.AxAy

=lim---j-5-----r,

々二(Ax)+(Ay)

上式极限不存在.

事实上，

1-A^Ay______.._k(t^x)2k

+=蚂3)2+必(=)2故心

y)在(0,0)点不可微.应选B.

(x+ay)dx♦ydy

4、已知(％+>)2为某二元函数u(x,y)的全微分，则a等于()

A、0.

B、2.

C、1.

D、一1.

标准答案：B

知识点解析：

由题设知如“)二就六+f则小言为恭小.

以上两式分别对y,4求偏导得

町=/-2(%+y)(4+ay)=(a-2)-一ay

(x+y)4(%+y)3'

Xf=-2(4+y)y=-2/

aydx(x+y)4(x+y)3'

由于悬盘连续』喘■鑫即(〃-2)#-3=-2九从而a=2,故选B.

(A)班(%0)=A(0,0)且瓯(0,)、力0,0).

如：原。口(2)-/(0,0力=0・

(C)代及⑼-/(°，°)和|加四，外-/⑼0)都存在.

<-*0X,7y

(D)y,原〃F)=/.(。，。)且,/如/«，>)乜(0,。).

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

由■腐=£(。，0),

«,原〃内)=〃。,。)，可知，除田

知识点解析:

的两个一阶偏导数fx(x,y)和fy(x,y)在(0,0)点可微，故选D.

~2-2,(*y)*(o,o),

(x+r

6、设2=°*(*/)=(°。)呗IJ该函数在点(0,0)处()

A、不连续.

B、连续但偏导数不存在.

C、连续且偏导数存在但不可微.

D、可微.

标准答案：C

知识点解析：

由于0WylT),则lim白三=0,则z(%y)在点(0,0)处连续,A错误.

]X+y|(».x)-(0.0)x+y

九(0,0)=[itn15°)700)=0,

AxAx

(0,0)=limZ(°，Ar)-z(°Q=hm耍=0,

ArM)AyAy

所以,z(*y)在点(0,0)处偏导数存在,B错误.

人„….._A_x___-__z__._(__0__,_0__)_A__x__-_z__,_(__0__,_0__)_A__y_川“_(Ax)W

(A..A,>-(0,0)P-(aqio.0)[(Ax)2♦(Ay)*]S，

由九杷(皿3泮:恭产,七*F不存在叫—,[3排总了不

Ai・A,

存在，即x(x,y)在点(0,0)不可微，故选C.

二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

7、设f(x,y,z)=ex+y2z,其中z二Z(x,y)是由方程x+y+z+xyz=O所确定的隐函

数，则尸x(0，1，—1)=.

标准答案：1

知识点解析：已知f(x,y,z)=ex+y2z,那么有f\(x,y,z)=ex+y2z\.在等式

x+y+z+xyz=O两端对x求偏导可得l+z'x+yz+xyz'x=O.由z=0,y=l,z=一1,可得

z\=0.故f\(0，1，-I)=e°=l.

8、设f(x,y)=x+y在点(0,0)处连续，则a=

标准答案：0

知识点解析：因为

0W\x|W1%|-*0,

利用夹逼原理知lim—=0.又知f(0,0)=a,则a=0.

H7

Ing+行)，则%4+y空

9、设2=dxay=.

上

标准答案：2

dz______I

dx-2石(石+曲;

dz______1______

则

彳更更

dx7dy

=-----------+------[-----=JL

知识点解析：2万(石+而2永4+5)2

10、设f(X,y)=e"+町”+p,则f\(l，0)=.

标准答案：2

知识点解析：由题干可知f(x,0)=x2,那么f\(x,0)=2x.故f\(1，0)=2xI

x=l=2.

11、设z=z(x,y)由方程z+e?=xy2所确定，则dz=.

标准答案：1+e*(y2dx+2xydy)

在方程两端对x求偏导得差+e号=/.

oxox

辿_y2

整理得dx-1+e1,

虫2:

同理可得dy=1+/

所以

知识点解析:

12、设函数f(u)可微，则『(2尸2,则z=f(x?+y2)在点(1,1)处的全微分dzI

(1,1)=----------------

标准答案：4(dx+dy)

知识点解析：由题干可知，dz=f(x2+y2)(2xdx+2ydy),则dzI

(1,1)=f(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy).

dz

13、设f(u,v)为二元可微函数，z=f(xy,yX),则a*二.

标准答案:fi.yxy-,+f2.yxlny

dz

知识点解析：利用复合函数求偏导的公式，有£=f^l.yxy一】+r2.yXlny。

+y(p(x+y)J、(p具有二阶连续导致，则誓-

14、设z=x8的=.

标准答案：y『(xy)+(p'(x+y)+y(p”(x+y)

知识点解析：由题干可寻

空=.%zy)+4(盯)+4(％+y).

dxxx

龙二=-+—f'(xy)+yfn(xy)+(p'(x+y)++>)

dxdyxx

=yf"(町)+“(父+y)+押”(x+y)・

15、设2=*8仪+丫)+丫岭丫)，其中g(p、具有二阶连续导数，则二

标准答案：g，(x+y)+xg”(x+y)+2y6(xy)+xy2(p”(xy)

知识点解析：由题干可知，

粤=g(x+y)+xgf(x+y)+y2C⑺)，

dx

^7-=g'(x+y)+xg\x+y)+2y<p'(xy)+町””(切・

dxdy

16、设函数F(x,y)=

标准答案：4

知识点解析：由题干可知,

aF_ysinjy)d2F_ycos(%y)(1+二2町4仙(町)

由题干可知,

茶1+x2/*3?-(1+%V)2

三、解答题(本题共74题，每题1.0分，共74分。)

17、设u=f(x,y,z),(p(x2,ey,z)=0,y=sinx,其中f,(p都具有一阶连续偏导数,

.求半

且也dx

标准答案：在等式u=f(x,y,z)的两端同时对x求导数，得到如下等式

业=亚+亚,立+电.农，

dxdxdydxdzdx'

而亲”。叫再在等式双心球/)=0的两端同时对力求导数，得到

夕;・2#+卬；・e'兴+夕;•强=0,

解得

因此，可得

黑啜十条0sx-f加**e、；c>)・

知识点解析：暂无解析

18、设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=fdsiny)满足方程犷a/=e2xz,求

f(u).

~=/，(u)exsiny,^=f'(〃)e*cos%,

oxay

7T=/f(u)exsiny+/w(uje^sin27,

dx

*f=-/z(u)e*s>ny+/w(u)e2,cos2y,

打

代人方程鹫+77=e"z中，

标准答案：址dy导到俨⑹一编)=0,解得

f(u)=C2eU+C2e—11(其中Ci，C2为任意常数).

知识点解析：暂无解析

19、设y=y(x),z=z(x)是由方程2=*屿+丫)和F(x,y,z)=0所确定的函数,其中f

dz

和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求五.

标准答案:分别在z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0的两端对x求导,得

书="*(1+和，；

匕+F；乎+尸净=0,

dxdx

整理后得

仔噂Y

解得

业.U+M')F」/F，+”,尸尸0)

也一尸；+6尸；(yf1K

知识点解析：暂无解析

20、设z=，rx\其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数,

屋z

求打肛。

标准答案：根据复合函数的求导公式，有

郎=力+今-“，

于是

/行加：-彳启-f

=/;-4yyXX-V.

知识点解析：暂无解析

21、设函数z=f(x,y)在点(1,1)可微，且f(l,1)=1,fx(b1)=2,fy(l,1)=3,

(p(x)=f(x),f(xx)),求F(”)J.

标准答案：由已知得(p(l尸f(l,f(l,l))=f(l,1)=1,

而⑴L.i=3/(1)9，(1)=3,(1).

由复合函数求导法

<p'(%)=/;(%/(%,%))+f,

♦(1)=/；(1,I)+/；(U)[/；(M)+/；(M)].

又因

/；(1,D=吗』)=2,/J(l,I)=/1)=3.

dxdy

因此

“⑴=2+3x(2+3)=17.

所以L.i=3x17=51.

知识点解析：暂无解析

22、设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为

D={(x,y)Ix?+y2—xyS75},小山的高度函数为h(x,y)=75—x2—y2+xy.(1)设

M(xo，yo)为区域D上一点，问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若

此方向的方向导数为g(M，yo),写出g(xo，yo)的表达式.(2)现欲利用此小山开展

攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说，要

在D的边界线x?+y2—xy=75上找出使⑴中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登

起点的位置.

标准答案：(1)由梯度向量的性质：函数h(x,y)在点M处沿该点的梯度方向

gradg,y)=律，当=|-2%+九,-2,。+“.

方向导数的最大值是grad力(%y)|&,。)的模•即

8(%,九)=/(九-2%)2+(%-2%)2.

⑵求g(x,y)在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点，即g2(x,y)=(y-2x)2+(x

—2y)2=5x2+5y2—8xy在条件x2+y2xy—75=0下的最大值点.这是求解条件最

值问题,用折格朗日乘数法.构造拉格朗日函数L(x,y,X)=5x2+5y2-

8xy+X(x2+y2-xy—75),贝ij有

dL

=10x-8y+A(2x-y)=0,

dx(1)

dL

=lOy-8x+A(2y-x)=0,(2)

—=x2+y2.xy_75=0.(3)

dX.解此方程组

得x=-y或九=一2.若y=-x,则由(3)式得3x2=75,即x=±5,y=±5.若入=一

2,由⑴或⑵均得y=x,代入(3)式得X2=75,即x二±5万,y;±5&.于是得可能

的条件极值点Mi(5,—5),M2(-5,5),M3

(56,5⑸M(-5瓦-58).现比较f(x,y)=g?(x,y)=5x?+5y2-8xy在这

些点的函数值，有f(Mi)=f(M2)=450,f(M3)=f(M4)=150.因为实际问题存在最大

值，而最大值又只可能在M],M2,M3,MU中取到.因此g2(x,y)在Mi，M2取

得边界线D上的最大值，即Mi，M2可作为攀登的起点.

知识点解析：暂无解析

23、设z=z(x,y)是由”-6xy+1Oy2-2yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x,y)

的极值点和极值.

标准答案：在方程x?—6xy+10y2—2yz—z2+18=()的两端分别对x,y求编导数,

于是有

2x-6y-2V--2z—=0,(1)

dxdx

-6x+20y-2z-2y--2z—=0,(2)

砂dy

d-z-

令

d%o,艮(*-3y=0,故］=3y,

o,

a-z-I-3x+10),-z=0,lz=y.

d>

将上式代入x2-6xy+IOy2-2yz-z2+18=0,可得

4=9,产=-9,

y=3,或y=-3,

z=3,L=-3.

再对(1)(2)求偏导数，则有

/a*\2

22-n

\aX/2Z=0,

a2

62d£zZ2.更一久蛇-=0,

2yd如

dxdxdy

20-2辿-2"-2y吟-2(郎-2z宕=0,

dydy7dy2dy2

所以

.d2z1R屋z|1d2zI5

A=r==一k，C=-7=K

dx(9,34)6dxdyI⑸3,3)2dyI(9.33)3

故A-小°，

又4=；>0,所以点(9,3)是z(%y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.

O

类似地，由

dz1

A4

=病”.一r

_±

"二砺(-9.-3,-3)"2'

C一理5

犷——

C-3，

可知AC-B2=->0,

36

又4=-机<0,所以点(-9,-3)是z(“)的极大值点，极大值为z(-9,-3)=-3.

知识点解析：暂无解析

/(一+」)满足等式号+警

24、设函数f(u)在。广(，内具有二阶导数,且2=axdy

=0.⑴验证F(u)+=0.⑵若f(l)=0,f(l)=l,求函数f(u)的表达式.

标准答案：

(1)设u="77,则

=小)

普=广(口)・-rS+广⑷,厂一;苫

町％+y(X+y)2

将裳,痣代入鲁+鲁=0得

dxdydxdy

广(〃)=0.

u

(2)令广⑴=p』”+^=0,分离离变量得半二-半，两边积分得

Inp=-Inu+lnC|,

即P=亦即广(口)=条

由广⑴=1可得G=1.对等式广⑷二十两边积分得

f(u)=lnu+C2，由f(l)=0可得C2=O，故f(u)=lnu.

知识点解析：暂无解析

+尸-2?=0,

25、已知曲线C：1x+〉+3z=5,求曲线C距离xOy面最远的点和最近的点.

标准答案：点(x,y,z)到xOy面的距离为IzI,故求C上距离xOy面最远的点

和最近的点的坐标等价于求函数H=z?在条件x2+y2-2z2=0,x+y+3z=5下的最大

值点和最小值点.构造拉格朗日函数L(x,y,z,X,p)=z2+A(x2+y2-

2z2)4-p(x+y+3z-5),

么=2Ax+2〃=0,

L\=2Ay+/z=0,

由,L\=2z-4Az+3/x=0,

x2+/-2?=0,

x+y+3z=5.

得％二夕，从而

解得

产二-5,产=1,

y=-5,或y=1,

z=5[z=1.根据几何意义，

曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(一5,—5,5)和

(1,1,I).

知识点解析：暂无解析

26、设z-f(xy,yg(x)),其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在

A.I

处取得极值g(l)=l，求放分一7'L

dza—

标准答案：dx=f](xy,yg(x))y+『2(xy,yg(x))yg'(x),=rn(xy,

,,

yg(x))xy+f1|2(xy,yg(x))yg(x)+fi(xy,yg(x))+f'2i(xy,yg(x))xyg(x)+f22(xy,

yg(x))yg(x)g,(x)+f2(xy,yg(x))g'(x).由g(x)在x=l处取得极值g(l)=l，可知

a2zI

g'⑴=0.故L・3/=F]i(l,gd))+f'12(bg(D)g⑴+「1(1，g(D)十『21(1，

g(l))g'(l)+『22(l，g(l))g(l)g'(l)+72(l，g(l))g，(l)=f，ll(hl)+ri2(l,

1).

知识点解析：暂无解析

27、求f(x,y)=xe一1上的极值.

标准答案：先求函数f(x,y)=xe—2的驻点，fx(x,y)=e—x=0,fy(x,y)=

一y=0,解得函数f(x,y)的驻点为(e,0).又A=「xx(e,0)=-1,B=f\y(e,

0)=0,C=f'yy(e,0)=-1,所以B2—ACV0,A<0.故f(x,y)在点(e,0)处取得

1

极大值f(e,0)=2e2.

知识点解析：暂无解析

X3

28、求函数f(x,y)=(y+3短+丫的极值.

标准答案：先求驻点，令

f\=(x2+y+yx3)e，v=0,

/J=(1+y+yx3)exv=0.

解得

•x=-1,rx=1,

2或4

卜二-了U=-y

为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数

R=(2-2»+#鹏,

/；=3+1+y+#卜7

/,；=(2+y+#卜

在点(-1,-/)处，

4=/»(-1,-y)=-e

B=Z,(-1.-y)=et

C=A(-l,-f)=e^.

2

因为4<0f4C-S<0,所以(-1,O不是极值点.

类似的，在点(1,-/)处，

A=Z*(1,-y)=3”,

B=Zr(l,-y)=et

C=/(l,-y)=et

因为4>0,40=2e+>0,所以(1,-/)是极小值点，极小值为

A1--T)=(-f+T)e4="e4-

知识点解析：暂无解析

/2+9y2-2z=0

29、求Izl在约束条件〔”+3y+3z=5,下的最大值与最小值.

标准答案：Izl的最值点与z2的最值点一致，用拉格朗日乘数法，令F(x,y,

z,入，p)=z2+A(x2+9y2—*2z2)+p(x+3y+3z-5).则

乎=2Ax+4=0,

dx

芋=18Ay+3〃=0,

—=2z-4Az+3从=0,

dz

《=f+9y2-2z2=0,

dA

—=x+3y+3z-5=0.

dfJL

解得

=(l,y,lj;(x,y,z)2=(-5,-y,5).

即得当式=1,"/时/2|=1最小;