考研数学三（级数）模拟试卷9

考研数学三（级数）模拟试卷9

一、选择题（本题共3题，每题7.0分，共3分。）

Z_jUKIim-----

1、设条件收敛，且”~*8=r,贝11().

A、IrI<1

B、IrI>1

C、r=-l

D、r=1

标准答案：C

8B

知识点解析：因为条件收敛，所以级数&Un一定不是正项或负项级数，故

]im'—.一A一J

EO.若IrlVl,则,二l“・।=IrlVI,级数士匕绝对收敛，矛盾；若I

rI>1,■—8-1=IrI>1,存在充分大的N,当n>N时，｛|勺I｝单调增

limS

加，州UnHO,于是…匕发散，矛盾，故lrl=l,再由曰0得r=-1,选C.

1

2、设Un=（T）ng（l+〃），则（）.

2OGSOO

A、…】Un与"=]u\都绝对收敛

2OOS

B、”=1Un条件收敛，…】U2n收敛

OGOO

C、"=】Un与2n都发散

2OOSOG

D、发散，1】U2n收敛

标准答案：B

Vvy111

知识点解析：显然…Un条件收敛，£。=W皿@(1+〃)，因为1/(1+〃)一/

8yVCO

而1/收敛，所以Wu2n收敛，选B.

CO8

yv上

3、设室级数£a£x—2产在x=6处条件收敛，则事级数£〃十】(x-2)2n的收敛

半径为().

A、2

B、4

C、品

D、无法确定

标准答案：A

OOCTO

VV.

知识点解析：因为一。an(x-2)n在x=6处条件收敛，所以级数”。anX”的收敛半径

98DC

为R=4,又因为级数士〃+总与JaN11有相同的收敛半径，所以的

oa

a”

收敛半径为R=4,于是匕干(X—2)2n的收敛半径为R=2,选A.

二、填空题(本题共2题，每题L0分，共2分。)

Vn

W3+1)2=

4、

\_

标准答案：2s(2)2(1-M2)

8

知识点解析：令S(x)=i'+(-1<X<1),则S,(x)=-inxn=x"-1nxn-1=x

8DO

£S工.

"-,(xn),=x(--1xn),=x(1-x),=n—%)',因为S(0)=0,所以S(x)=S(x)—S(0)=

「_±_「)JL+i]，__i_r

Jo(1—:)2dt=J®，-1a-1)2」出=lnIt—1I°x~1lo=lnIX—1I—

i工y〃_i_

(x-l+l)=lnIX-1I-X-1,则E(n-1-1)2"=2S(T)2(1-In2).

y'(—1)・+i/+1一屈

5、设级数W-条件收敛，则p的取值范围是=

工2

标准答案：一Evpw5

4+1_屈_________J__________］不

知识点解析：/MGA+1+.)2/好，因为11(—1)"

4+1—新11J_

下条件收敛，所以OVp+&l,即P的范围是一

三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)

8月

y

6、对常数P,讨论幕级数£/In〃的收敛域.

•0什】

।Iim----

标准答案：由“-8%=1,得幕级数的收敛半径为R=l.(1)当PVO时，记4=

81

lim4V—1—

-P,则有ln,?=+8,因而当x=±l时,发散，此时惠级数的收敛

CK9

ST7-limw-—

域为(一1,1)；(2)当。gpVl时，对—2〃加〃，因为L8〃。&〃=+8,所以X

£1.(一1尸

=1时，级数发散，当x=—l时，邑/kw显然收敛，此时事级数

京—y(T)"

的收敛域为［-1,1);(3)p=l时，”-2Mn〃发散，邑收敛，此时察级数

的收敛域为［-1,1);(4)当p>l时，对W〃一力，因为/In〃'Mln2,而

1玄1g1£(—1)”

ln2“-2〃‘收敛，所以级数WMln〃收敛，当x=—l时，〃显然绝对

收敛，此时基级数的收敛域为［-1,1］.

知识点解析：暂无解析

7、设f(x)在区间[a,b]上满足agf(x)Wb,且有If*(x)ISqVl,令Un=f(un-i)(n=

QQ

V

L2,…)，uo€[a,b],证明:级数--i(Un+i—Un)绝对收敛.

标准答案：因为IU+1—UI—If(U)—f(U-l)I—If(^l)IU—U-iI<qIU-

nnnnoon8nn

x*

2-

Un-1I<qIun-lUn-2IIU|-U()I且・・iqn收敛，所以"-1IUn+1—UnI

收敛，于是“i(Un+l—Un)绝对收敛.

知识点解析：暂无解析

I./Gc)火1

8、设f(x)在(-8,+co)内一阶连续可导，且：吧X=1.证明：--1(—l)nf(z,)

001

收敛，而一由〃)发散.

标准答案：由？=。X=1得f(o)=o,f(O)=l,于是f(〃)=f©w(0<5<

i

—'Jinx

〃).因为Lof(x)=S(O)=l,所以存在3>0,当lx|V6时,f(x)>0,于是存

y_1,

在N>0,当n>N时，«<8,f(〃)>f(0)=0,f(〃+l)Vf("),且l8'n)=

OO

0,由莱布尼茨审敛法知4(一|)%篦1)收敛，因为f("1)

且配

nI5

8」、

发散’所以牙©)发散.

知识点解析：暂无解析

9、设f(x)在x=0的某邻域内二阶连续可导，且思x=0.证明：级数…

2

f(〃)绝对收敛.

标准答案：由，境X=0,得f(0)=0,f(0)=0.由泰勒公式得f(x)=f(0)+F(0)x

/*(€)«€)

+F\2=F-x2,其中自介于0与X之间.又「(X)在X=0的某邻域内连续，

从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有I俨(x)IWM,其中

1”.J.

M>0为「(x)在该闭区间上的界.所以对充分大的n,有lf(J)IW万•/因为

w/收敛，所以w收敛，即w'二，绝对收敛.

知识点解析：暂无解析

I。、设丫=/满足y，=x+y,且满足y(0)=L讨论级数WM9T—1

〃」的

敛散性.

标准答案：由y，=x+y得y”=l+y"再由y(O)=l得y，(O)=l,y"(0)=2,根据麦

克劳林公式，有y("户y(0)+y〈0)7-万y”(0)(〃)2+o(/)=i+1+正‘外厅人

11〜，方之VL(1U1-11

因为ly(D—l〃〃且・7加收敛，所以…〃」绝对收敛.

知识点解析：暂无解析

y♦+(—1)寸》

11、求室级数W勿”的收敛域.

标准答案：

cog彳2,

S+5、—x

fl«l幺2n

VJJ1

幕级数-1的收敛半径为R|=2,当*=±(1/2)时，

V(土=±y_j_v2"TJT

2>~W2〃_]发散，所以£2〃—1的收敛域为

812«|

j_1z」加_1_1

(一万7).嘉级数E2〃的收敛半径为R?=4,当*=±4时，

士匕(士与"=弓工句匕--ir

±26\4)±2”发散，所以£2〃的收敛域为(4'4，),故

y[34-(-1)"]^,」工

一〃”的收敛域为「彳’7).

知识点解析：暂无解析

12、求函数f(x)=ln(l—x—2x?)的基级数，并求出该累级数的收敛域.

标准答案：f(x)=ln(lx2x2)=ln(xI1)(12x)=ln(Hx)Iln(l2x),因为ln(l

y(一1尸W121

nnnn

+X)=・Tx(—1<x<l),ln(l—2x)=——>x(—2<x<2所以f(x)

=与L了卜，收敛域是「变丁).

知识点解析：暂无解析

£2〃+1

13、求累级数幺”x2n的和函数.

,2〃+1

标准答案：级数n!x2n的收敛半径为R=+g,收敛区间为(一8,4-00),令

y2n+lg2〃+1—V£1

S(x)=•=1n-x2n,则S(x)=・=in-x2n=2"->71-x2n+«-»n­=2x2

S^_S^—I=2X2SN-x2n

x（2n1）++E高―，

1（—co<x<+co）.

知识点解析：暂无解析

T-+1

y-

14、求基级数匕〃储+D的和函数.

voo

标准答案：显然该帚级数的收敛域为[-1,1],令S（x）=・“〃（〃+1）,则S(x)

88・一】、一一

_V

=W〃(〃+i)=衿-缶）*十匕〃+1

,而

8・”8

.£-=Z£_w

=—xln(l—x)(—l<x<1),“-I〃+1--in—x=—x—ln(l

—x)(—l<x<1),则S(x)=x+(1—x)ln(l—x)(—IgxVl).当x=l时，S(l)=

(1,+(1-1)ln(1-«r)14JTV1,

(〃+l)=],所以S(x)=h，N=l・

知识点解析；暂无解析

15、求累级数三”x11”的和函数.

■4-1

lim

标准答案：由…8%=0,得收敛半径R=+8,该基级数的收敛区间为（一00,

oo

M+18z1o02

+8),令S(£2。SAy—

n!xn,则S(x)=-o71-xn+--0n,xn=--Jw-Xn+ex=

QD3

sn(/I-1)+〃7i(〃-1)n〃(,~~1)

nnxnnnnx2nn

“一Ix+e=W-x+"*,-x+e=---xH-x

1OU1

(n-l)!\(nDxJWV(-2)!n-2xx

■,1+e=Wx+xe+eX2e、+xex+ex=(x2+x+1后(-8

<X<+00）

知识点解析：暂无解析

00

E(—1)"(wz—n+1)

16、求”=。的和.

oo

(一1尸(/一〃+1)

»-0FR-0°lt»0.

标准答案：£\2，3令s(x)

8~•68一

=w2=on(n—l)xn2,显然其收敛域为(-1,1),则Six)=X"on(n—l)x"2=-s-«n(n—

N,上■■■

DX02=(.t)”=(1一])”=(I-/)',于是

KJUr4V2I327・

知识点解析：暂无解析

设f(x)的一个原函数为F(x),且F(x)为方程xy，+y=e、的满足LOy(x)=l的解.

17、求F(x)关于x的幕级数；

/十工；匚f片专

标准答案：由xy，+y=e'得公x,解得y=(J工‘dx+C)

-fy专_c‘十CC—1xxz

e=.lim——十

x,因为L0y(x)=l,所以c=-1,于是F(x)=m=1+2!3!

+...+«+D!+...(-ooVx<+8且x，0).

知识点解析：暂无解析

oo

V―—

18、求£S+D!的和.

标准答案：…(〃+l)!=[F(x)rIx=l=L

知识点解析：暂无解析

1+工

19>将函数f(x)=arctan1一工展开成x的累级数.

8

7T1

标准答案：f(0)=4,f(x)=1-+-X2^(-l)nx2n(-l<x<l),由逐项可积性得

(-1)"工+7;

月+及户所以4£2〃+l/n+l

f(x)—f(0)=Jo「(x)dx=，-。221,f(x)=A(-l<x<

1).

知识点解析：暂无解析

oo

11

设f(x)=*=。〃k,且ao=l,an+i=anH-n(n=0,1,2,...).

20、求f(x)满足的微分方程；

寸a-V+(—-1)卞

标准答案：r(x)=J(LD/L(…)！xn-l=w-.(n-l)!xn-l+

V%y£1

x

W(n-2)!=,-o«!xn+x^»!=f(x)+xe.则f(x)满足的微分方程为F(x)—

r,,x*

f(x)=xex,f(x)=(Jxe'e'dx+C)e'=ex(2+C),因为ao=l,所以f(O)=l,

从而C=L于是f(x)=e*(2+1).

知识点解析：暂无解析

21、求…2〃;！

方上-

标准答案：…"！=f（l）=2.

知识点解析：暂无解析

V——

22、证明：S（x）=£（"）!满足微分方程丫⑷―y=o,并求和函数s（x）.

B.41

2-------

标准答案：显然级数的收敛域为（-8,+8）,S，(x)=・T(4/1-1)!,s"(x)=

co小184w

E=y

(4n-27!S，，，（X）=W（4L3）!）W(4〃)！=

■~1S（4）（x=W（4〃-4）!

S（x）,显然S（x）满足微分方程y（4）—y=0.y（4）-y=0的通解为y=CleX+c2e-x+

C3cosx+C4sinx,由S(0)=CS'(O)=S"(O)=S'''(O)=O得Ci=了，C2=不,Cs=

—11.....+....J-4।-—1

2,C4=0,故和函数为S(x)=42Cosx.

知识点解析：暂无解析

.1

In—

Jim-----//

23、设Un>0,且—lrw=q存在.证明：当q>l时级数…Un收敛，当qVl时级

oo

,z,、

数…Un发散.

0lim#

标准答案:当q>l时，取80=2>0,因为L81n〃=q,所以存在N>0,当

In—0—1In—.

—<>q+】-L

n>N时，IInn口,从而有Inn2=r（>l）,所以有OgUnV/,

00B8

而1.，所以也收敛，故线收敛.当qy时，取“=宁>。,

|||n_〃_2

因为二81n〃=q,所以存在N>0,当n>N时，In〃口,从而有

Inn2=r(<l),所以有赤>",而-1〃发散，所以―“发散，故

…5发散.

知识点解析：暂无解析

888

5}§V

24、设级数-T®]—an+l)收敛，且z】bn绝对收敛.证明：”=际也[)绝对收敛.

标准答案:令Sn=(a]—ao)+(a21a1)+…+(an—an-1),510Sn=an—ao.因为级数

8

4(an—an-i)收敛，所以।叫Sn存在，设!㈣Sn=S,则有J^an=S+a(),U|J-!^~an

QC

s

存在，于是存在M>0,对一切的自然数n有IanI0M.因为…由绝对收敛，所

oo

v2

以正项级数IIbnI收敛，又OWIanbnI<MIbnI,再由iMIbnI收敛，根

<M>8

据正项级数的比较审敛法得,7Ianbn|收敛，即级数ianbn绝对收敛.

知识点解析：暂无解析

■8

,7X2

25、设an=Jotannxdx,对任意的参数人，讨论级数々/的敛散性，并证明你的

结论.

仔_L_

0=02n

标准答案：由an+an+2=Jsec2xtan"xdx=〃+1,an+an-2secxtan-xdx=

i[]i电^___L

〃一1,得2（卸+1）962（〃一1）（吃2）,即an〜2〃（n—►«））,所以/2〃…

21R

yv匕

ZLJQ1+1//x

(n->oo).(1)当入>0时，因为级数・T2〃收敛，所以级数〃收敛；(2)当入W0

8.8

V-^―V2

时，因为级数2T+“发散，所以级数217发散.

知识点解析：暂无解析

J

设函数fo(x)在(-8,+动内连续，fn(x)=°fn-l(t)dt(n=1,2,...).