小学数学人教版六年级上册 8 数学广角-数与形

小学数学人教版六年级上册8数学广角——数与形小学数学六年级上册《数与形》知识全景清单一、核心思想：数形结合——数学思维的基石【核心素养】【重要思想】（一）什么是数形结合思想？【基础概念】在数学的发展与学习过程中，“数”与“形”是两大基本研究对象。数形结合思想，就是指将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化解题路径的一种重要数学思想方法。我国著名数学家华罗庚先生曾精辟地阐述：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”【非常重要】这句话精准地点明了数与形之间相辅相成、不可分割的辩证关系。（二）数形结合在本单元的表现形式本单元作为小学数学阶段对数形结合思想的专门探讨，主要呈现两种形式：1、以形助数：利用图形的直观性来解释数的规律、揭示算式的内涵。例如，通过正方形的点阵图来理解从1开始的连续奇数之和与平方数之间的关系；通过线段图或圆形图来直观感受无穷级数的极限思想。【高频考点】2、以数解形：用数的精确性和运算规律来描述图形的属性。例如，用数列的规律来描述图形的递增过程，通过计算来解决图形中的计数问题。【高频考点】二、核心知识块一：形中有数——从图形中探寻数的规律【探究范例】（一）正方形数（平方数）的图形揭示1、问题呈现：观察一下，下面的图形（由小正方形组成的大正方形，边长依次为1、2、3、4）和下面的算式有什么关系？2、图形观察与算式推导：【基础】（1）第一个大正方形由1个小正方形组成。算式：1=1²（2）第二个大正方形由1个（深色）加3个（浅色）小正方形组成。算式：1+3=4=2²（3）第三个大正方形由1+3+5个小正方形组成。算式：1+3+5=9=3²（4）第四个大正方形由1+3+5+7个小正方形组成。算式：1+3+5+7=16=4²3、核心规律：【高频考点】【★★★★★必考】（1）规律表述：从1开始的n个连续奇数相加的和，就等于n的平方。（2）数学表达式：1+3+5+7+…+(2n1)=n²。（3）关键解读：“n”在这里既代表奇数的个数，也代表大正方形每边小正方形的个数。形，直观地验证了数的运算规律。（二）变式应用与考点透析【重点】【难点】1、直接应用规律求和：【基础】（1）例：1+3+5+7+9+11=（）²。分析：从1开始，连续6个奇数相加，结果为6²=36。（2）例：1+3+5+7+9+11+13+15=（8）²=64。2、求奇数的个数：【中等】（1）例：1+3+5+……+（）=121。分析：因为121=11²，所以加数的个数n=11，最后一个奇数为2×111=21。3、规律拓展（非从1开始的奇数求和）：【难点】【高频考点】（1）计算：5+7+9+11+13。解题步骤：（2）方法一：看成从1开始的连续奇数求和减去多余的奇数。原式=(1+3+5+7+9+11+13)(1+3)=7²2²=494=45。（3）方法二：确定项数。5、7、9、11、13，共5项，首项为5。原式=5×项数+2×(0+1+2+3+4)?此方法复杂，易错。更通用方法：平均数法(5+13)×5÷2=45。或用数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2。但最能体现数形结合思想的是第一种补形法。4、计算：11+13+15+17+19+21=？【高频考点】（1）解析：观察发现，这是从11开始的连续奇数求和。可以先算出从1到21的奇数总和，再减去从1到9的奇数总和。（2）从1到21的奇数个数：(21+1)÷2=11（个），和为11²=121。（3）从1到9的奇数个数：(9+1)÷2=5（个），和为5²=25。（4）原式=12125=96。5、计算：2+4+6+8+……+20。【知识延伸】【常见题型】（1）解析：虽然本单元重点研究奇数，但偶数求和同样是数形结合的良好载体。可以把每个偶数看成两个奇数，但更简单的方法是借助长方形点阵图理解。（2）规律：从2开始的n个连续偶数相加的和=n×(n+1)。（即偶数的个数乘比个数大1的数）（3）项数：20÷2=10（项）。原式=10×11=110。6、数表中的数与形：【难点】【综合运用】（1）例：观察下列数表，第10行所有数的和是多少？第一行1第二行23第三行456第四行78910……（2）解析：此题将数的排列与三角形图形结合。首先需要确定第10行的第一个数和最后一个数。第n行的第一个数是前n1行数字总个数加1。前n1行总个数为1+2+3+……+(n1)=n(n1)/2。（3）计算：第10行第一个数为10×9÷2+1=45+1=46。第10行最后一个数为46+(101)=55。第10行所有数的和为(46+55)×10÷2=101×5=505。三、核心知识块二：数中有形——用图形解决数的计算【探究范例】（一）问题呈现：计算½+¼+⅛+1/16+1/32+1/64+……【极限思想】【拓展】1、常规思路：尝试通分计算，但随着项数增加，分母会变得巨大，计算繁琐且无法穷尽。（二）以形助数：借助图形直观理解【重点】【★★★重要思想方法】1、图形构建：用一个圆或一条线段表示“1”。2、操作过程：（1）第一次，取圆的½，涂色表示。（2）第二次，取剩下½中的½，即¼，再涂色。累计涂色部分为½+¼=¾。（3）第三次，取剩下¼中的½，即⅛，再涂色。累计涂色部分为½+¼+⅛=⅞。（4）第四次，取剩下⅛中的½，即1/16，再涂色。累计涂色部分为½+¼+⅛+1/16=15/16。3、规律发现：【非常重要】（1）每加一次，涂色部分占整个圆的比例越来越接近1，剩余空白部分越来越少。（2）加数项数越多，和越接近1。如果无限地加下去，和就等于1。（3）算式表达：½+¼+⅛+1/16+1/32+1/64+……=1。（三）考点透析与解题方法【高频考点】1、直接应用规律求和：（1）例：计算½+¼+⅛+1/16。答：结果为15/16。（2）例：计算1/3+1/9+1/27+1/81。思路：此题虽不是½的幂次，但可以用类似思想，画一个正方形或长方形，每次取剩下部分的1/3。通过画图可以发现，和无限趋近于½，但如果只计算有限项，结果为(11/81)/2=40/81。【中等】2、寻找隐藏的“1”：（1）例：一根绳子，第一次剪去它的½，第二次剪去剩下的½，第三次剪去剩下的½，……，如此剪下去，剪了5次后，剩下的绳子是原长的几分之几？（2）解题步骤：【基础】（3）图形辅助：画一条线段表示绳子。（4）推理：每次剪去剩下的½，那么每次剩下的就是上次剩下的½。剪第一次后剩下½，剪第二次后剩下½×½=¼，剪第三次后剩下¼×½=⅛，……，剪5次后剩下(½)^5=1/32。3、复杂分数求和中的数形结合：（1）例：计算1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42。（2）解析：单纯通分计算量较大。观察分母：2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6,42=6×7。每个分数都可以拆分成“单位分数”的差：1/2=11/2；1/6=1/21/3；1/12=1/31/4；……【难点】（3）图形解释：可以构造一个边长为1的正方形，将其分割成1×2,2×3,3×4……的长方形条块，每个小长方形代表一个分数单位，通过拼图可以发现，求和过程就是抵消的过程。（4）计算：原式=(11/2)+(1/21/3)+(1/31/4)+(1/41/5)+(1/51/6)+(1/61/7)=11/7=6/7。四、综合运用与方法论【学科核心素养】（一）建立数学模型，解决图形规律问题【高频考点】1、题型特征：给定一组图形（如点阵、拼图、搭积木），图形序号n增加，图形的某个数量（如小棒根数、小正方形个数、三角形个数）也随之变化，要求找出通项公式或计算指定序号下的数量。2、解题三步法：【重要】【解题步骤】（1）第一步：数出前几个图形的数量。列出对应关系：...：1234......：abcd...（2）第二步：寻找数量变化规律。分析相邻两项的差（差是否恒定）、积、商，或者观察图形结构与序号的关系。常见规律：（3）等差数列：后一个比前一个增加一个固定值d。通项公式：S=a₁+(n1)d。（4）平方规律：图形呈正方形排列，数量与n²有关。（5）乘积规律：图形呈长方形排列，数量与n×(n+1)等有关。（6）第三步：验证并应用。将n=1,2,3代入所得公式，验证是否与第一步列出的数据相符。再用公式求解指定n的值。3、典例分析：（1）题目：下图是用火柴棒摆成的正方形，摆第1个用4根，摆第2个用7根，摆第3个用10根，按此规律，摆第n个用多少根火柴棒？摆第20个呢？【★★★☆☆】（2）分析：图形序号：1→4根2→7根（比第1个多3）3→10根（比第2个多3）（3）规律：这是一个等差数列，首项a₁=4，公差d=3。（4）解答：第n个图形需要火柴棒根数：4+(n1)×3=3n+1。当n=20时，3×20+1=61（根）。（二）借助图形，化抽象为直观【解题策略】1、例：小明从1楼走到3楼用了40秒，照这样计算，他从1楼走到6楼需要多少秒？【基础】【易错题】（1）常见错误：40÷3≈13.3，13.3×6≈80（秒）。错误原因在于对“楼层”与“段数”的关系理解不清。（2）以形助数：画一栋楼的侧面简图。从1楼到3楼，实际上需要走2段楼梯。从1楼到6楼，需要走5段楼梯。（3）正确解答：走每段楼梯用时：40÷(31)=20（秒）。从1楼到6楼需要时间：20×(61)=100（秒）。2、例：一根木料锯成4段需要9分钟，那么锯成7段需要多少分钟？【基础】【易错点】（1）以形助数：画一根木条，锯一次得一段。锯成4段，需要锯(41)=3次。锯成7段，需要锯(71)=6次。（2）正确解答：锯一次用时：9÷3=3（分钟）。锯成7段需要：3×6=18（分钟）。（三）数形结合解较复杂的问题【难点】【拉分题】1、杨辉三角中的数与形：（1）认识杨辉三角：它是一个无限对称的数字三角形，每行两端都是1，中间每个数等于它上方两数之和。111121133114641……【拓展视野】（2）考点：第n行所有数的和是多少？第n行数字的个数是多少？（3）规律：第n行（n≥1）有n个数，这些数的和是2^(n1)。2、分数与图形面积的结合：（1）题目：如下图所示（描述一个正方形，被分成多个部分，各部分标有分数），求阴影部分面积占整个正方形面积的几分之几？（2）解题步骤：【中等】（3）方法：利用割补法、等积变换，将阴影部分转化成一个或几个规则图形。（4）原理：将图形中已知分数部分的面积关系找出来，通过加减运算得到阴影部分面积。例如，若正方形被纵横各平均分成3份，阴影部分占了几个小格，就是几分之几。五、考点、考向与易错点全析【备考指南】（一）高频考点与题型分布1、必考点一：利用“从1开始连续奇数之和等于个数平方”的规律进行计算和简算。【★★★★★】通常以填空题、计算题形式出现，考查对公式的直接应用和简单变式。2、必考点二：图形规律探索题。【★★★★★】通常以选择题、填空题、操作题形式出现，给出一组图形，要求学生写出第n个图形的数量或小棒根数，或根据规律画出下一个图形。3、常考点三：用图形直观解释或计算无穷级数求和（如½+¼+⅛+……）。【★★★☆☆】多以填空题、选择题形式出现，考查对极限思想的初步感知。4、常考点四：植树问题、锯木问题、爬楼问题等生活情境中的数形结合。【★★★☆☆】考查学生能否将生活情境转化为线段图，并正确计算段数与点数的关系。5、拓展考点：杨辉三角的认识与应用，复杂分数的裂项相消与图形解释。【★★☆☆☆】通常在拓展题或附加题中出现。（二）解题步骤规范（以图形规律题为例）【重要】1、观察：仔细观察图形的变化，特别是图形增加的部分。数出前几个图形（至少3个）所对应的数量。2、列表：将序号n和对应数量S写成两行，便于观察。n:1234...S:abcd...3、找差：计算相邻数量的差，即ba,cb,dc。如果差值相等，则为等差数列。4、推导：根据等差数列公式推导第n个图形的数量。若差值不等，则考虑平方关系（如n²,n²+1）、乘积关系（如n(n+1)）、倍数关系等。5、验证：将n=1,2,3代入推导出的公式，看结果是否与观察到的数据一致。6、作答：根据题目要求，计算指定n下的值，或写出表达式。（三）常见易错点与避坑指南【易错点剖析】1、审题不清，规律理解错误：看到图形数字题，不仔细分析变化规律，凭主观臆断就下笔。例如，