四年级数学上册期末拓展教案：两、三位数除以两位数的深度应用与思维进阶

四年级数学上册期末拓展教案：两、三位数除以两位数的深度应用与思维进阶

一、设计理念与理论依据

本教案立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，聚焦于“数的运算”这一核心内容领域。我们认识到，对于小学四年级学生而言，“两、三位数除以两位数”不仅是整数除法运算技能的收官与集大成者，更是学生从具体算术思维迈向抽象代数思维的关键桥梁。本设计超越传统复习课对计算熟练度的单一追求，致力于构建一个“理解算理、掌握算法、发展思维、渗透思想、联系实际”的五维深度教学框架。

我们以建构主义学习理论为基础，强调学生在已有知识经验（如表内除法、除数是一位数的除法、两位数乘两位数）上的主动建构。通过创设富有挑战性和现实意义的任务情境，引导学生经历“发现问题、提出猜想、验证优化、概括提炼、迁移应用”的完整数学探究过程。同时，融入项目式学习（PBL）的要素，设计跨学科的整合性任务，培养学生的数学建模能力和解决复杂现实问题的综合素养。教案设计遵循“最近发展区”理论，通过精心设计的思维阶梯，将学生的数学思考从程序性操作推向策略性思考与概念性理解的高阶水平。

二、教学目标

1.知识与技能目标：

1.2.学生能熟练掌握两、三位数除以两位数的笔算方法，包括试商、调商的过程（“四舍”法试商、“五入”法试商、初商偏大需调小、初商偏小需调大），并能准确、熟练地进行计算，形成稳定的计算技能。

2.3.学生能理解并灵活运用商不变的规律，对除数和被除数进行变形，实现简便运算。

3.4.学生能综合运用除法知识，解决生活中的复杂实际问题，如最优方案选择、周期问题、行程问题中的数量关系分析等。

5.过程与方法目标：

1.6.学生经历对除法计算策略的归纳、对比与优化过程，发展归纳概括和类比迁移的能力。

2.7.通过解决开放式、结构不良的数学问题，学生提升发现问题、分析问题、建立模型、求解验证的数学问题解决能力。

3.8.在小组合作探究中，学生学会清晰表达自己的算理和策略，倾听并批判性思考同伴的观点，培养协作交流能力。

9.情感、态度与价值观目标：

1.10.在克服调商难点、解决复杂问题的过程中，培养学生不畏困难、严谨细致、持之以恒的科学态度和意志品质。

2.11.通过感受除法在生活、科技、经济等领域的广泛应用，体会数学的工具价值和理性之美，增强学习数学的内在动力和应用意识。

3.12.培养初步的优化思想和策略意识，认识到解决问题方法的多样性与最优选择的存在。

三、教学重难点

1.教学重点：

1.2.两、三位数除以两位数笔算方法的系统性梳理与算理的深度理解。

2.3.商不变规律的灵活、创造性应用。

3.4.将实际问题抽象为除法数学模型，并选择合理策略进行求解。

5.教学难点：

1.6.针对不同数字特点，灵活、快速地选择并调整试商策略，实现算法优化。

2.7.在复杂情境中，识别数量关系，排除干扰信息，正确构建除法算式。

3.8.理解并运用除法运算中的规律进行推理和预测，发展数感与推理能力。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含动态演示试商调商过程、问题情境动画、思维导图模板）；实物投影仪；设计并打印“挑战任务卡”、“思维进阶工作纸”；准备小组合作评价量表。

2.学生准备：四年级上册数学课本；练习本；直尺；彩色笔；预习并整理第二单元知识要点。

五、教学时间

共计3课时（每课时40分钟，建议连排，便于探究活动深入展开）。

六、教学对象分析

本课程面向小学四年级上学期学生。经过前期学习，学生已经掌握了除数是一位数的除法和两位数乘两位数的计算方法，具备了基本的试商经验。然而，在面临除数是非整十数的两位数除法时，部分学生存在试商速度慢、调商不熟练、算理理解模糊等问题。学生形象思维活跃，开始向抽象逻辑思维过渡，喜欢有挑战性的任务，但持久力和深入思考的习惯有待加强。因此，教学设计需兼顾趣味性与思维性，提供具象支撑的同时，设计层层递进的问题链，驱动思维向纵深发展。

七、教学过程实施

第一课时：算理重构与算法融通

（一）课前预热，激活旧知（5分钟）

1.教师活动：课件快速闪现一组口算题：60÷20，150÷30，88÷22（估算），120÷28（估算）。提问：“看到‘除以两位数’，你首先想到了哪些关键词？”

2.学生活动：快速口算或估算，并说出想到的关键词，如“试商”、“调商”、“四舍五入”、“看被除数前两位”等。

3.设计意图：通过快速反应题，激活学生关于除数是整十数除法及估算的已有认知，为后续非整十数除法的深入学习做好心理和知识准备。关键词收集有助于了解学生的前概念。

（二）核心探究：打通试商调商的“任督二脉”（25分钟）

1.任务一：分类与比较

1.2.教师活动：出示一组算式：192÷32，185÷37，256÷48，223÷44。不计算，请学生观察除数特征并进行分类。

2.3.学生活动：独立思考后小组讨论。预期分类标准：除数个位是2、8（接近整十）；个位是7、3（接近整十）；或按“四舍”与“五入”试商分类。

3.4.教师活动：引导学生聚焦主流分类（按“四舍法”试商：32、44；按“五入法”试商：37、48）。追问：“选择这种试商方法后，计算过程一定会一帆风顺吗？可能会遇到什么情况？”

4.5.学生活动：基于已有经验回答：初商可能偏大或偏小，需要调整。

6.任务二：建模与优化

1.7.教师活动：以192÷32为例，请两名学生板演，一名用“四舍”法试商（把32看作30），另一名尝试直接想法。组织全班观察、评议。

2.8.学生活动：板演、观察、讨论。发现把32看作30试商6，32乘6正好等于192，一次成功。教师引导总结：“四舍”法试商，初商可能偏大（因为看小了除数）。

3.9.教师活动：再以185÷37为例，同样请学生板演。把37看作40试商4，37乘4等于148，余数37等于除数，说明商4小了，改商5。

4.10.学生活动：经历完整的“五入法试商-初商偏小-调大”过程。引导总结：“五入”法试商，初商可能偏小（因为看大了除数）。

5.11.教师活动：动态课件演示“试商-乘-减-比-调”的完整思维流程，并提炼出“试商策略选择图”：除数个位是1、2、3，多用“四舍”法，警惕商偏大；个位是7、8、9，多用“五入”法，警惕商偏小；个位是4、5、6，需灵活，可尝试“四舍”或“五入”，或“中数试商法”（如45看作50或40，根据被除数前两位灵活决定）。

6.12.学生活动：在教师引导下，共同完成“试商策略选择图”的思维导图，理解其背后的算理依据（除数近似误差对商的影响）。

13.任务三：巩固与内化

1.14.教师活动：发放“挑战任务卡（一）”，包含一组有代表性的计算题，如：272÷68（“五入”商偏小），210÷42（个位是2，但用“四舍”法商可能偏大？引导学生计算验证：42接近40，试商5，正好），324÷65（需灵活处理）。

2.15.学生活动：独立计算，完成后小组内互查、讲解算理。重点讨论“特殊”情况，如210÷42，深化对“试商是策略而非固定程序”的理解。

3.16.设计意图：本环节是算理深化的核心。通过分类观察、对比板演、动态建模、绘制策略图，将碎片化的试商调商经验上升为结构化的策略性知识，培养学生根据数据特征主动选择、预判和调整的元认知能力。

（三）课堂小结与延伸思考（10分钟）

1.教师活动：引导学生回顾本课构建的“试商策略选择图”。提出延伸问题：“如果除数是25、75这样的数，除了‘四舍五入’，还有什么巧算妙招吗？”

2.学生活动：思考、讨论，可能联想到25乘4等于100，75乘4等于300，或许可以用凑整思想。

3.教师活动：肯定学生的想法，并预告下节课将探索“商不变的规律”这一强大工具。布置课后思考题：计算200÷25，300÷75，450÷15，尝试发现规律。

4.设计意图：总结提升，将课堂探究成果结构化。以延伸问题制造认知冲突，激发学生后续学习兴趣，实现课内到课外的自然延伸。

第二课时：规律的威力与生活的数学

（一）导入：从巧算引出规律（8分钟）

1.教师活动：检查上节课思考题。请学生分享200÷25、300÷75的算法。学生可能会用竖式计算，也可能有学生想到200÷25=(200×4)÷(25×4)=800÷100=8。追问：“这样做的依据是什么？”

2.学生活动：阐述自己的算法，尝试解释“被除数和除数同时乘4，商不变”。

3.教师活动：揭示课题“商不变的规律”，并引导学生用规范数学语言表述规律。强调“同时”、“乘或除以”、“相同的数”、“0除外”等关键词。

4.设计意图：从具体的巧算需求自然引出对商不变规律的再认识，让学生感受到规律的应用价值，激发主动探究规律的动机。

（二）探究：商不变规律的深度理解与多元应用（22分钟）

1.任务一：规律的本质与变形

1.2.教师活动：提问：“商不变规律只能用于使除数变成整十整百数吗？它还能帮助我们解决哪些计算难题？”出示：840÷50，6000÷125。

2.3.学生活动：尝试解决。840÷50可转化为84÷5再添0，但余数问题值得讨论（840÷50=16……40，84÷5=16……4，引导学生发现余数的变化）。6000÷125可利用125×8=1000，转化为(6000×8)÷(125×8)=48000÷1000=48。

3.4.教师活动：组织讨论余数问题，明确利用商不变规律进行简便计算时，要特别注意余数代表的实际大小。总结规律应用的两种主要方向：使计算简便；解决特殊除数（如25、125、15等）的除法。

5.任务二：规律在生活中的建模

1.6.教师活动：创设“采购经理”情境：学校后勤处要用1000元购买同一种纪念笔记本奖励学生。甲商店：每本25元；乙商店：每本32元，买4送1；丙商店：每本30元，满100元减15元。请问在哪家商店买到的笔记本最多？总价能控制在1000元以内吗？

2.7.学生活动：小组合作探究。

1.3.8.甲商店建模：1000÷25。直接应用商不变规律：=(1000×4)÷(25×4)=4000÷100=40（本）。

2.4.9.乙商店建模：理解“买4送1”即每5本为一组，只需付4本的钱。先算1000元能买多少组：1000÷(32×4)=1000÷128。计算128接近130，试商7，128×7=896，余104，可再买3本单本（104÷32=3……8），所以总共可得：7组×5本+3本=38本，还剩8元。

3.5.10.丙商店建模：理解“满100减15”即每满100元，实际支付85元。需要先估算。假设买x本，总价30x元。优惠后支付金额应尽量接近但不超1000元。可采用迭代尝试：30×33=990，990元里有9个100元，可减9×15=135元，实际支付990-135=855元，余额145元还能再买吗？30×4=120，不足100元无优惠。145元最多买4本（120元）。所以最多可买33+4=37本，实际支付855+120=975元。

6.11.教师活动：巡视指导，引导学生清晰表达每一步的思考过程和数量关系。各组汇报后，重点对比不同模型的差异，强调除法在解决“最优方案”类问题中的核心作用，以及综合运用估算、精算、尝试调整的策略。

12.设计意图：将商不变规律从纯计算技巧提升为解决问题的思维工具。通过复杂的真实生活情境，培养学生信息提取、模型构建、多步计算和方案比较的综合能力，深刻体会数学的实用性。

（三）课堂练习与反馈（10分钟）

1.教师活动：出示“思维进阶工作纸（一）”，包含两个层次问题：基础层（利用规律简便计算）；应用层（一个简化的购物优惠问题）。

2.学生活动：独立完成，教师当堂巡视，选取典型解法进行投影点评。

3.设计意图：巩固规律应用，检测学生建模能力，及时反馈纠正。

第三课时：思维进阶与跨学科融合

（一）导入：数学中的模式与周期（7分钟）

1.教师活动：播放一段循环节拍的音乐或展示一个简单的图形序列（如△○□△○□……）。提问：“生活中还有哪些周期现象？数学中有周期吗？”引出：在除法中，余数就有可能出现周期性变化。

2.学生活动：举例生活中的周期（星期、季节等）。思考除法与周期的联系。

3.教师活动：出示：1÷7，2÷7，3÷7……它们的余数有什么规律？这和我们今天要探索的除法奥秘有关。

4.设计意图：从跨学科视角（音乐、自然）引入周期概念，与除法中的余数规律建立联系，激发探究兴趣。

（二）探究：除法的深层次规律与综合实践（23分钟）

1.任务一：余数的周期性与推理

1.2.教师活动：提出探究问题：“有一串数：2，2，4，8，2，8，6，8，4，2，8，6，8，4，…它是从2开始，每一个数都是前一个数乘2后的个位数字。请问第100个数字是几？”

2.3.学生活动：小组合作。尝试列出前几个：2,4,8,16（个位6）,32（个位2）,64（个位4）,128（个位8）…发现个位数字序列：2,4,8,6,2,4,8,6…从第2个开始，每4个数“4,8,6,2”为一个周期。第100个数字：去掉第一个2，从第2个算起是第99个：99÷4=24（组）……3（个），余数3对应周期内第3个数是6。

3.4.教师活动：引导学生将“求第N个是什么”转化为“除法中的周期定位问题”，关键在确定周期长度和起始点。深化理解：许多规律性问题，其本质是除法运算。

5.任务二：跨学科项目实践——“设计校园绿化方案”

1.6.教师活动：发布项目任务：学校有一块长96米、宽64米的长方形空地，计划种植草坪和花圃。要求：

1.2.7.划出最大的正方形区域做草坪，且边长是整米数。问正方形草坪边长最大是多少？能划出几个这样的最大正方形？

2.3.8.在剩余空地上，设计用同一种正方形花砖铺路（花砖边长是整分米数，且大于1分米），要求路面宽度均匀，且不切割花砖。请你设计一个可行的花砖边长和铺法。

4.9.学生活动：小组合作探究。

1.5.10.对于问题1，学生需要理解“最大正方形”意味着边长是96和64的公约数，“最大”即最大公约数。通过短除法或列举法求出(96,64)=32。计算个数：96÷32=3（列），64÷32=2（行），总数3×2=6个。这综合运用了除法和乘法的意义。

2.6.11.对于问题2，剩余空地尺寸取决于草坪规划。以最大正方形方案为例，剩余地可能是不规则图形。此问题更具开放性。学生需要测量（想象）剩余空地的有效宽度和长度，选择合适的花砖边长（必须是剩余空地宽度和长度的公约数），并计算所需花砖数量。这涉及对实际问题的几何化抽象和除法运算的创造性应用。

7.12.教师活动：扮演项目顾问角色，巡回指导，鼓励学生使用图形辅助思考，验证方案的可行性。引导关注“整除”、“公约数”等核心概念在解决实际问题中的作用。

13.设计意图：本环节是思维发展的顶峰。任务一将除法与数学内在规律（周期）深度结合，提升逻辑推理能力。任务二是一个微型的STEAM项目，融合了数学（数论、几何、运算）、测量、设计等元素，让学生在解决真实、复杂、开放的问题中，实现知识的高度整合与创造性应用，深刻体验数学作为基础学科的工具价值和思想魅力。

（三）总结反思与评价（10分钟）

1.教师活动：引导学生以思维导图形式，从“计算方法”、“运算规律”、“实际应用”、“数学思想”（如优化、模型、归纳、推理）等维度，总结本单元期末拓展的收获。出示小组合作评价量表，组织组内自评与互评。

2.学生活动：绘制个人或小组的收获思维导图，进行分享交流。依据量表开展评价。

3.教师活动：总结陈词，强调除法不仅是计算，更是探索规律、解决问题、认识世界的强大思维方式。鼓励学生将这种探究精神延伸到未来的学习中。

4.设计意图：通过结构性反思，将零散的知识点、技能和体验整合成系统的认知网络。通过多元评价，关注过程与发展。以激励性语言结束，升华学习意义。

八、作业设计

1.基础性作业（必做）：

1.2.完成练习册上关于两、三位数除以两位数的典型计算题20道，要求标注试商策略。

2.3.用商不变规律简便计算：420÷35，2800÷25，3600÷48。

3.4.解决一个关于“书本装盒”（每盒装的数量相同，求需要几个盒子）的实际问题。

5.探究性作业（选做，鼓励完成）：

1.6.数学小论文：以“试商策略的‘三十六计’”或“商不变规律的妙用”为题，结合例子，撰写一篇300字左右的数学短文。

2.7.调查与实践：调查家中或超市中两种不同的商品优惠方式（如打折、满减、买赠），用本单元所学知识，计算并比较哪种方式对消费者更划算，形成简要报告。

3.8.挑战题：一个三位数除以45，商是a，余数是b。已知a+b=22，求这个三位数最大是多少？最小是多少？

九、板书设计（纲要）

（左侧主板书区）

期末拓展：除法的深度与广度

一、算法核心：试商与调商

策略选择图：（图示：除数个位1,2,3->四舍法->防商偏大；个位7,8,9->五入法->防商偏小；个位4,5,6->灵活处理）

流程：观察除数->选择策略->试商->乘减比->判断调商

二、规律核心：商不变

文字表述：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。

应用：简便