考研数学（数学二）模拟试卷408

考研数学(数学二)模拟试卷408

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

0Cg(x)=

1、&f(x)=(l+x2)x—1，，则z->0时f(x)是g(x)的().

A、高阶无穷小

B、低价无穷小

C、同阶的非等价无穷小

D、等价无穷小

标准答案：B

.liin/(x)

知识点解析：归结为求极限，L0g(“).用等价无穷小代换和洛必达法则求之.解

,?

lim普(l+x)-1

X-0g(x)iOMT

sinrdz

eZln(l+r>—]2

rxln(l+R2)

limfl-roax吗

x—0I7?2^-------

sin/dzL°Josin/drin22dz

因

分母为x的(2+l)x2=6阶无穷小量，而分子为x的4阶无穷小量,因而f(x)是g(x)

的低阶无穷小.解二

limflcan^sin(l-cosxVsinx

10sinfdt

「4.

1^0sin(l-cosjrp盘(1—cosx)2

hm书“hm粤1=8,

x.o(x2/2)2一。x4故f(x)为g(x)的

低阶无穷小.解三f(x)〜x4(x-0),g(x)为(2+l)x2=6阶无穷小量(x-0).显然,

f(x)为g(x)的低阶无穷小.

2、曲线r=aeb°(a>0,b>0),从。=0到8邛(Q>0)的一段弧长为

(A)s=Jaew八+—dG(B)s=j,+(必

(C)s=J：，1+")2d8(D)5=，必*Jl+(必g2招

A、

B、

C,

D、

标准答案：A

知识点解析：利用弧长的计算公式计算.解一

5=P，产+.加=「«过涔+(碗")2d夕=「碇酎，rmdG.,,/

JoJo解二令

lx=rcos^=acMcosd,

\y=rs\n0=aeusinO,则其弧长公式为

s=J工"(8)+y"(6)dj

Jo

=[y(aAewcos5-aewsin0)2+(^ewsin^-Fae^cos^)2

=Jaeu-1+6da

3、设f(x),g(x)在点x=0的某邻域内连续.当f(x)具有一阶连续导数，满足

lim皿■±8(力)=2,/(x)=-21n(l+z2)+z「g(”)df

A、x=0为f(x)的极小值点

B、x=0为f(x)的极大值点

C、(0,f(0))为曲线y=f(x)的拐点

D、x=0不是f(x)的极值点,(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点

标准答案：C

知识点解析：由题设易知打0尸0.为判断x=0的性质，只好考察x=0的附近F(x)

是否改变符号，如改变符号，(0,f(0))为拐点.解由

/^(x)==-21n(l4-x2)+xg(xt)dt

Jo

1/»yfaAh

1-21n(l+j-2)+g(〃)d〃，/*(x)=--y+g(x).

J。有1+?"于

..f(z)i・一4z.g(x)1.।gCr)

------=lim-vri~+-----=-4+hme-----

LONX-H>Lx(I-t-x)xJx-*Ox

=―4+1/限+&31=—4+2=—2・

是l。i可见在x=O的左、右

两侧F(x)变号.因此(0,f(O))为曲线产f(x)的拐点.

4、设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则().

A、当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数

B、当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数

C、当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数

D、当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数

标准答案：A

知识点解析：利用f(x)的所有原函数的性质判别.f(x)的所有原函数可写为

F(x)=/市/(力市+。(c为任意常数).

它有下述常用的性质:

「/⑺市

(1)若f(x)是奇函数，则J/必为偶函数；(2)若f(x)为偶函数，则只有当c=0

「/⑺出

时，J-才为奇函数；(3)若f(x)为周期函数，则存在常数T,使得对任意

x,有f(x+T)=f(x),而

F(N+T)=J/(力市=jf(r)dz+j/(z)dr=F(x)+即

fTf(Ock=0

只有J。'时，F(x)才是周期函数；(4)若f(x)为单调增函数，对任意X1,

X2，不妨设X[〈X2，有f(X])Vf(X2)，而

FGt2)-F(巧)=r7(z)dr=「)(£)出.

J。J。Jxi要想F(x)是单调增函

pf(t)dt>0

数，则应有，而由X],X2的任意性，且设X]VX2时，必须有f(x)

…，-初"FOO=1/(力由=fTf(t)dt+c(c为任意常数)...

>0才行.解一设J-J。若

f(x)为奇函数,则f(一x尸一f(x),

F(—x)=[/(Odz=———f/(—u)du+c=/(u)du+c=F(z)

J0j00

/(x)=x2,F(x)=4-^+1

故F(x)为偶函数.解二令,3,则可排除(B)；令

F(x)=­x2

f(x)=l,F(x)=x,则可排除(C)；令f(x尸x,2,则可排除(D)；

F(x)=——f/(z)dr,JlimF(x)^

5、设x-aj/,其中f(t)是连续函数，则一。等于().

A、a2

B、a2f(a)

C、0

D、不存在

标准答案：A

知识点解析：先求出F(x)中因子x2的极限，再用洛必达法则去掉积分号，求出极

限.也可用洛必达法则直接求之.解一

limF(x)=lim-------/(/)dr=limr2-lim----------

L。LaX—ajaL。10X-Cl

/⑺力0

二(6)=足!则(外=°Ys).解二

三「/(。市

o\「r"

limF(x)=lim----2---万---)--=-lim2x/(Odz

=lim(2xf(Dck)+limr2/(x)=04-a2f(a)=a2f(a).

L/(jr)H-f(J)Jsinj-dx=4

6、设J。，f(0)=l,则f(兀)=().

A、一3

B、0

C、2

D、3

标准答案：D

知识点解析：注意到被积函数含有导函数，应先利用分部积分法求出定积分.有

/(x)sinzdx

人可能认为。算不出来，但不要急，在计算过程中也可能产生

-1。"”)以皿业这一项，因而它会自动消失.解

[/(jr)+f(x)]siiu*dx=J/(x)sinxdx+^/r(x)sinxdx

/(x)sinxdx4-sirurdf(x)

=£Jo

1-j/7(x)cosxdx

/(x)sinxdx+sinx/\x)

o

=1/(x)sinxdx-Jcosjrd/(x)

=/(x)sinxdx-F/(x)cosx:+J/(x)sinxdx^

=/(0)cosO—/(K)COSK=/(0)+/(K)—4.即人兀)=4一

f(0)=4—1=3.

1or

A=028

7、设0是矩阵LI9的特征值，则a=().

A、0

B、1

C、2

D、37

标准答案：D

知识点解析：由题设知，|A|=0,由此确定a.解因0是A的特征值，则|A|=0,

而|A|=2a+0+0—2—72—0=2a一74.故2a—74=0,所以a=37.

8、设A,B均为n阶方阵，且A为可逆矩阵，B为不可逆矩阵，A*,B*分别为

A,B的伴随矩阵，则().

A、A*+B*必为可逆矩阵

B、A*+B*必为不可逆矩阵

C、A*B"必为可逆矩阵

D、A*B"必为不可逆矩阵

标准答案：D

知识点解析：可利用A"的秩与A的秩的关系判别.当A为满秩矩阵(或为列满秩

矩阵)时，还可利用秩(AB尸秩(B),简易判别.解一因A为可逆矩阵，故秩

(A)=n,因而秩(A")=n,而B为不可逆矩阵，故秩(B)Wn—1,从而秩(B*)W1.于是

秩(A-B)一秩(B>R,故A'B“必为不可逆矩阵.解二用反证法证之.如A’B‘可

逆，由题设又知A可逆，则A"=|A|A/可逆.(A*)“存在，则(A*)/(A*B*)为两个可

逆矩阵的乘积，故也可逆，即(A*)/A*B=[(A*)/A*]B*=B*可逆，进而B可逆.这

与题设矛盾，故A*B*不可逆.解三用排错法确定选项.设

B=

1

-00」则A可逆，B不可逆,易求得

roO'ri0・

B'=A*+B・=°」不可逆，且

Lo1.则Lo

「。o-

A*=

Lo一1」也不可逆.因而(A)、(C)都不对.如令

-101-10'-10-「0o-

A=，则A・=,如令5=，则B'=

-0X—-01.-00-Lo1-1因

故A*+B"可逆，(B)也不对.

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

..eA,-1+61ncosx_«

hm----------------二­］

9、己矢口’・°sin2H+-1,则a=.

标准答案：一2

知识点解析：高阶无穷小在求极限的过程中可去掉，而且不影响所求极限的

61ncosx=61n［1+(cosx-1)j〜6(cosx-1)〜—yx2,一1〜az

值.解因

原式==lim宇=得=一］

分子、分母去掉高阶无穷小，得到A0SH12ZLO2Z2故a=一

2.

_•,(z-1)(才-2)

10、曲线'arctan(m—3)(/一4)的渐近线方程是.

it

标准答案：4

知识点解析：按照水平渐近线的定义求之.解

1.^-4.(］一l)(z-2)_i—〃n

二'睦an(］一3)(1—4)-Cretan一了，曲线的水平渐近线为,一了而

-X.(X—1)(J—2)ni--4(x~l)(x—2)

hrme7arctan7----------.V,l,me?arctan7-----------7T=e

-3+(X—3)(J—4)21-(%—3)(1—4).T

故当x-3时，函数y不趋向无穷大，同法可得当x-4时，y也不趋向无穷人.y

v=2L

无铅直渐近线，也无斜渐近线，y的水平渐近线为y4

/(■r)

11、设函数f(x)在X=1处连续，且‘7-2,则f(l)=

标准答案：1/2

知识点解析：用导数定义求之.解一因

lim—-=2,lim(，x+3-2)=0limf(r)=0

-右+3-2LI故1’.又函数在x=l处

..f(z)..r/(x)~/(i)X—1'

hm/=hm-----\•一;——,

-1%/z+3-2LIL1】/r-3—2.

=礴&)，(】)•lim—■—---

J-1X-11

=/(1)1淅叁-1)(勺耳+2)

LlZ-1

=/(l)lim(V/^FJ+2)=4，(1)=2,

连续，故f(l)=0,于是

故？(1)=1/2.解二

“f^^/借封

=2■1帚㈤？-2)(乏巧+2)=2.Hm_1_

z(彳一】)《^^干3+2)Ix/m+2=2(l/4)=1/

2.

标准答案：e

知识点解析：先用洛必达法则去掉分子、分母的积分号，再按基指函数求其极限的

原式传卜Hm(l±sin£)±cosj=Hm(l+sj?土匚

\0/nsinxx-o1

=lim(l+sinx)初=lime皿,,nz=e*=e.

方法求之.解―。L0或

原式=lim(l+sinz)氏=e(重要极限e的定义)

x-*0

dydx+*dyFdr=.

-g—~

标准答案：82,

知识点解析：先画出积分区域，如下图阴影部分所示.然后调换积分次序(先对y

后对x)计算.这是因为被积函数为e7直接对x积分是无法求出结果的.解交换积

分次序(先对y后对x)计算，得到：

14、设A为三阶方阵，B为四阶方阵，且A的三个特征值分别为1,2,3,

W+EO~

B2=0,则矩阵1o6」的非零特征值为.

标准答案：5,7,13

知识点解析：幕零矩阵(Ak=0)(kN2)的特征值全为0,关键是由A的特征值求出

-2A*+EO'

2A*+E的特征值，从而求出LO3」的非零特征值.解矩阵

-2A*+EO-

-O6」的特征值由2A*+E与B的特征值组成.由B2=O知，B的特征值

为0.而2A*+E的特征值为Ai,其中Mi=i,2,3)为A的特征值，故

队|=均入2入3=6.于是2A*+E的三个特征值为

2・最+1=5,2・9+1=7,2-4+1=13

321又因B的特征值全为0,

-2A9+EO-

故LO8」的非零特征值为5,7,13.

三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)

9；

15、设函数f(x)处处连续，并满足关系式!史-e.求

I吧(1+0^)；及/(0).

标准答案：利用基指函数极限的简便求法求之，也可利用重要极限求之.解一因

1而（1+工+幺^）'=lime("'件)=eM"的+

x-0

1”

=e"0•竿）=e•e”号=e3,2

故x-0I

注意到蚓武】+年］〜修，有

imz(-)=lirni,nr1+z(£)>limln1+

r-*0Xx-*0XLZ」x-oL

2

=lnlim1+，=2

LOL所以

/（N）

lim1+Vr•=2lim/(x)=0.

lim,2

由L。7得到L。又f(X)连续，故

/(O)=lim/(x)=0.lim(l+z)+=e

Jff0解二利用重要极限L。求之.因

/.1

/(J)xg-b/(x)

lim(1+/+)'=融[(14/⑺

L0\X

=e^£4^2=e\

故

明白/2=3,即剪写=2.于是

.(1+忠广=.「(1+必产

竽=e2.

工—0VJC/jr—0L\J*/由

limfl+x+^^r=e3

x-*0X/'得到

"O)+=e§,]hn|n(l+z+/(z)Ar)

=3.

上-*。x-*0于是

则1+1+号)=3­。⑴，1+"年…⑴

故

lim/1+z+A型）=】，即触号=。，

；lim/（x）=O

0因此L。.而f连

lim/(x)=/(0)=0,即/(0)=0.

续，故x-*O

知识点解析：暂无解析

6求!喏n尸?

,其中b>a>0.

标准答案：极限日可化为n项的积和式，因而可用定积分的定义求之.解一

原式=lim）〃"i）

_L_limLz£Vln(a+^')=

b-aibnM\n

]■：_R7^]

xlrtz

b-aL

=7-^•—(61n6—alna-6+a).

0—Q解二

原式=lim:与]n(Q+)

=4lim—£>(.+匕9)=；「％(a+N)dz

0-a•-«n\n/b-ajQ

=61Jln(a+/)dG+a)

=-C(x-f-a)ln(x+a)-f(x+a)―；—dr]

0-al.oJox4-aJ

=7—^—(61n6—alna-6-Fa).

o-a

知识点解析•：暂无解析

17、设函数f（x）在区间［0,1］上连续，在（0,1）内可导，且

/（0）=/（1>=0,）-1,试证：（I）存在西（彳，1）,使f（n尸中（n）对

任意实数入,必存在汩0,任使得F©一4篦）一哥=1.

标准答案：（I）只需作出辅助函数（p（x尸f（x）—x,利用介值定理证之；（II）对于中

值等式一油9=0,常作辅助函数F（x）—f（x）e-M证之.将待证等式右边的1看

成仁则待证等式可化为?化）一｝一入［f（◎一目=［依）一胃一4篦）一哥.于是易想

到作辅助函数F（x）=e-"［f（x）—x］,利用罗尔定理证之.证（I）令（p（x尸监）一

0（1）=-1<0,

x.则（p（x）在［0,1］上连续，又\2I2故由介值定理

知，存在“6（2”），使得（p（n）—f（n）一联0，即f（n）=n.（口股改尸3

Xx（p（x）=e-Xx［f（x）-x］,则F（x）在［0,川上连续，在（0，1］）内可导，且F（0）=0,

F（n）=eXn（p（n）=o,即F（x）在［0,山上满足罗尔定理的条件，故存在年（0,。，使得

F'（9=0,即e-乓｛式9一对解）一目—1）=0,从而一入［优）一9=1.

知识点解析：暂无解析

*1+44

18.(I)证明e—〈了(广+广+广+广)(n)设f(x)是⑶b]上

分《ckrdy》(b—a)?,

的正值连续函数，证明{/其中D={(x,y)|a$x0b,

a<y<b}.

标准答案：(I)注意到f(x)=ex的图形是凹的，可试用下述定义证之.设f(x)在(a,

f!为十工2\v/(Xl)-1-/(x2)

b)内连续，对任意x”X2G(a,b),都有\2I2'则称f(x)

在(a,b)内的图形是凹的(或凹弧).(口)注意到积分区域D为正方形，有轮换对称

性，利用此性质及f2(x)+g2(x巨2f(x)g(x)可证待证不等式.证(I)令f(x)=ex,则

f(x)=r(x)=ex>0.因而y=f(x)的图形是凹的，由其定义得到

2二t二幺_r/x\+x2+/3+箝\〃(为+乃)/2+(才3)/2

4=f\-------4-------尸/(2

4[件)+/修)]

<y|y[/(^i)+/(x2)]+y[/(xj)4-/(x4)]|

=7[/(x.)+八4)+/GG+/GG1

(口)因积

分区域D为正方形：a&gb,a<y<b,关于x与y具有轮换对称性,所以

』揩L"=^怎公曲从而

3储"dy=怒"dy+J篇dzdy]

=即储+%>”

|jd/dy

D

dxdy=(6-a)

知识点解析：暂无解析

1p

/(I)=V］/("di.

19、设函数f(x)在闭区间［0,1］上可微，且满足AJoXe(0,1)

为常数.求证：在(0,1)内至少存在一点。使？(。=一熊)/。

标准答案:利用积分中值定理，存在勺€(0,X),使f(l)=&if(3).如果令

F(x)=xf(x),则F(l)=f(l)=&f(4)=F©),即F(x)在K=1,x=。两点处函数值相等,

故可对F(x)在(&,1)内使用罗尔定理.证令F(x)=xf(x),显然F(x)在［0,1］上可

微.应用积分中值定理得

1p

F(1)=/(1)=Vx/(x)dx=0<<A.

AJo又F©尸。哨i),则

F(。尸F(l).于是对F(x)在因，1］上应用罗尔定理知，至少存在

/(W)=—

£€(6tl)C(0,1),使得FK尸m&)+f(9=0，即W

知识点解析：暂无解析

20、设f(x)在［a,b］上可导，在(a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0,f(a)f(b)>0.试

证:(I)存在乐(a,b),使优)=0；(II)存在t］W(a,b),使F(n尸f(n).

标准答案：利用极限的保号性及介值定理易证(I).对(口)可先作辅助函数

叭x)=eX1(x).令其导数等丁0,可产生P［「(x)+f(x)］=0,即「(x)十f(x)=0.再作辅助

函数F(x)=eX［f(x)+?(x)］证之.证(I)由f(a)f(b)>0知I,f(a)与F(b)同号，不妨设

(x)(q)

/(a)=lim/£/=lim4^>0.

f(a)>0,f(b)>0,则aJz—°l/”一0又由极限的保

号性知,存在x1£(a,a+8i),使得f(xi)>0；同理存在X26(b—62,b),使得f(X2)

<0.由连续函数的介值定理(零点定理)如，存在E6(不，Nz)U(a.6),使得

f@=0.(II)令叭x)=eXf(x),则叭a尸嗔&)=w(b).由罗尔定理知，存在&W(a,0,

使联(&)=［eXRx)HxW=0,即熊1)+陶尸0,同理，存在b),使

U&)=e±2［熊2)"々)］=0,即熊2)1「化2)=0・再令F(x)=e-x(f(x)iF(x)),则

F©尸F&)=0.对F(x)在因,及］上应用罗尔定理知,存在】S3，&)U(a"),

xxx

使得F(x)k=n={—e-［f(x)+f(x)］+e-［f(x)+r(x)］)x=n=e-［r(x)-f(x)］|x=n=0,即

F'(n)=eF［『(n)—f(n)］=o，亦即r(n)=f(n).

知识点解析：暂无解析

21、证明：若f(x),g(xj都是可微函数,且一a时,|f(x)|<gXx),则当xNa时,

|f(x)—f(a)|<g(x)—g(a).

标准答案：为证g(x)—g(a)>f(x)-f(a),即证g(x)-f(x)>g(a)—f(a).需作辅助函

数(p(x尸g(x)—f(x),对(p(x)在［a,x］上使用拉格朗日中值定理.为证一［g(x)—

g(a)］<f(x)—f(a),即证f(x)+g(x)>f(a)+g(a).需作辅助函数v(x)=f(x)+g(x),对嗔x)

在［a,x］上使用拉格朗日中值定理.证令(p(x)=g(x)—f(x),由拉格朗日中值定理

得(p(x)一(p(a)=06)(x—a),aV&Vx.当xNa时，由于|f(x)Hg〈x),则一

gXx)<f(x)<gXx),于是“《尸g'C)一？《闫)・所以当X2a时，(P(x)-(p(a)>0,即

g(x)—f(x)—Ig(a)—f(a)]>0,则g(x)-g(a)>f(x)—f(a)(x>a).①又令

V(x)=g(x)+f(x),由拉格朗日中值定理得v(x)—v(a)=U(9(x—a),a<^<x.当

x2a时，由于|F(x)lSg，(x),则F(x)+g<x)K),于是联《巨故当归a时，嗔x)一

v|/(a)>0,即g(x)+f(x)-[g(a)+f(a)]>0.所以，当xNa时，g(x)—g(a)>—(f(x)-

f(a)],即f(x)—f(a)N-[g(x)—g(a)].②综合式①、式②得|f(x)—f(a)|gg(x)一

g(a).

知识点解析：暂无解析

22、已知向量组（I）能由向量组（口）线性表出，且秩（1）二秩（II）,证明向量组（I）与

向量组（H）等价.

标准答案：设秩（I尸秩（n）=r,且设组（I）和组（n）的极大线性无关组分别为ai,

a2，...ar：Pi，P2，…，Pr»归结证明山，。2，…，与巾，「2，…，0r等价.可

用两种方法证之.一种方法是作向量组（皿）：ai，C12，…，ar»pi，的，…，生证

明a],012，…，Olr与01，命，…，Pr均为组（HI）的极大线性无关组，从而ai，

012，…，ar与Pl，P2»...»0r等价.另一种方法是用矩阵表示法，令（。1，

a2，…，ar）=（pb。2，…，Pr）A,其中A为r阶矩阵.因ai，012，…，肉与力，

p2»...»0r都线性无关，故A可逆，从而（p],。2，…，Pr）=（ap（X2，…，ar）A*

L丁是Pl，P2，…，Pr可由（X],（工2,…’（Ir线性表出.当然，⑴，（12，…,5也

可由。1，02'…,•线性表示，所以a】，a2，...»ar与伙，例，…,生等价，故

组（I）与组（口）等价.证一设秩（I尸秩（n）=r,且ai，a2，…,即与0],如…，

侨分别为组（I）和组（H）的极大线性无关组.作向量组（HI）：ai，a2,...»ar,pi，

彷，…，Pr.下证a],0（2，…，叫.与佻，的，…，%均