知识讲解 离散型随机变量的均值与方差

离散型随机变量的均值与方差

编稿：赵雷审稿：李霞

【学习目标】

1.理解取有限个值的离散型城机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值

或期望，并能解决一些实际问题；

2.理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方

差或标准差，并能解决一些实际问题；

【要点梳理】

要点一、离散型随机变量的期望

L定义：

一般地，若离散型随机变量J的概率分布为

••••••

p••••••

则称砧=用Pl+X2P2+―+ZP“+…为&的均值或数学期望，简称期望.

要点诠释：

（I）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.

（2）i般地，在有限取值离散型随机变量4的概率分布中，令P1=P2=〜=P〃，则有P1=〃2=-

=p=-,E^=（x+x+-+x„）x-所以4的数学期望又称为平均数、均值。

nni2nt

（3）随机变曷的均值与随机变量本身具有相同的单位.

2.性质：

①E（h）=E&+E人

②若〃=。自+力（a、b是常数），J是随机变量，则〃也是随机变量，有E（a〈+b）=aE&+b：

七（。4十份=々塔+6的推导过程如下：：

〃的分布列为

・・・

••••••

p••••••

于是+于

Er]={ax]P[+(OY2+b)p2+…+(axi+b)pi+•••

=a(x}p]+x2p2+―+xipi+…)+〃(〃]+a?+…+回+…)=aE^+b

・•・E(携+b)=aE&+b。

要点二：离散型随机变量的方差与标准差

1.一组数据的方差的概念：

已知一组数据修，羽，…，X”,它们的平均值为那么各数据与F的差的平方的平均数

222

s=-[U,-7）4-U2-7）+…+（5—If]叫做这组数据的方差。

n

2.离散型随机变量的方差：

一般地，若离散型随机变量J的概率分布为

••••••

P••••••

则称”=（X,-口）2..+（々-E抒.“2+•••+区-玷）2..+…称为随机变量g的方差，式中

的是随机变量J的期望.

D&的算术平方根J历叫做随机变量J的标准差，记作。&.

要点诠释：

⑴随机变量J的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量J的方差、标准差也是随机变量€的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、

集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）.

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。

3.期望和方差的关系：

4.方差的性质：

2

若77=aJ+〃（a、b是常数），J是随机变量，则〃也是随机变量，Df]=D（a^+b）=aD^

要点三：常见分布的期望与方差

1、二点分布：

若离散型随机变量J服从参数为p的二点分布，则

期望Eg=p

方差”=p（l-p）.

证明：・・・pe=o）=9,p化=i）=p,〃+夕=1

：・Eg=Oxq+lxp=p

2、二项分布：

若离散型随机变量4服从参数为〃，〃的一项分布，即J〜6(〃，?)，则

期望心=nP

方差=np(]-p)

期望公式证明：

•・・P«=k)=CT(1-p)f=C)kq，・k,

・•・他=OxC：pQqn+1xC：PZ"T+2xC；p2qn~2+...+"+…+jxC：p"q。,

又=y=k——--=----------〃•(”"-----=心,

"k\(n-k)\(Z:-1)![(/?-l)-(Xr-l)]!M-'

・・・Eg=np[C3P/+CLPZ〃・2+…+Bpi产Mg)+...+c；"-%。)

=np(p4-g)"T=np.

3、几何分布：

独立重复试验中，若事件A在每一次试验中发生的概率都为〃，事件4第一次发生时所做的试验次数

1是随机变量，且尸&=2)=("〃)1〃，A=0,1,2,3,…,〃，…，称离散型随机变量。服从几何分布，记

作：&~P(4=k)=g(k,P).

若离散型随机变量4服从几何分布，且J~P(4=A)=g(kP),则

期望=

P

方差D4=E

要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。

4、超几何分布：

若离散型随机变量4服从参数为N,M,〃的超几何分布，则

期望E(J)=皆

要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用

1、求离散型随机变量J的期望、方差、标准差的基本步骤：

①理解J的意义，写出J可能取的全部值;

€024

P

,则E（5；+4）等于（）

A.13B.11

【答案】A

由已知得:

【变式3】

200300400500

P

B.690元

C.754元D.720元

【答案】A

节日期间预售的量：

则期望的利润：

•*•

・••期望利润为706元.

【变式4】设离散型随机变量J的可能取值为1,2,3,4,且尸«=幻=〃％+/?（%=1,2,3,4）,E&=3,

则。+〃=；

【答案】0.1；

由分布列的概率和为1,有（〃+力+（2。+6）+（3。+力+（4。+〃）=1,

又E&=3,即1­（。+力+2・（2。+加+3-（3。+〃）+4・（4。+〃）=3,

解得«=0.1>Z?=0»故。+系=0.1。

例2.

（1）求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和数学期望：

（2）求这名同学总得分不为负分（即X20）的概率.

【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题，因此求各个情况的概率直接用公式即可。

（1）求X的可能取值，即求得分，答对0道题得一300分，答对1道题得100—200=-100分，答对2

道题得2X100—100=100分，答对3道题得300分；（2）总分不为负分包括100分和300分两种情况.

【解析】

11）X的可能取值为一300,-100,100,300.

3

P（X=-100）=cp

P（X=100）=C；2

所以X的概率分布为

X-300-100100300

P

(2)这名同学总得分不为负分的概率为

【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表.

举一反三：

【变式1】J的期望.

【答案】因为1)=0.7,a5=())=0.3,

所以=1X0.7+()x().3=0.7.

【变式2】一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不

再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.

【答案】

设取得正品之前已取出的次品数为显然J所有可能取的值为0,1,2,3

当自=()时，即第一次取得正品，试验停止，则

当自=1时，即第•次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

当&二2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

当＜=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则

・•・《分布列为

0123

F

3993

・•・E^=0x-+lx—+2x——3x-----

444220220To

【变式3】

某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出

4kn,则按每超出1km加收2元计费(超出不足1km的部分按1km计).从这个城市的民航机场到某

宾馆的路程为15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途

中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1km路程计费)，这个司机一次接

送旅客的行车路程€是一个随机变量.设他所收租车费为H.

(I)求租车费n关于行车路程€的关系式；

(II)若随机变量€的分布列为

g15161718

P0.10.50.30.1

求圻收租车费n的数学期望.

(III)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车

累计最多几分钟？

【答案】

(I)依题意得「2(，-4)十10,即n=2€+2；

(II)心=15x0.14-16x0.5+17x0.3+18x0.1=16.4

'：n=21+2

助=2EW+2

故所收租车费n

(HI)由38=2g+2,得€=18,5x(18-15)=15

所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟・・

例3.(2014辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了口销售量的频率分布直方图，如图

所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

(I)求在未来连续3天里，有连续2天的H销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率：

(□)用X表示在未来3天里H销售量小低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).

【答案】,

【解析】(I)设A,表示事件“日销售量不低于10()个〃,A2表示事件“日销售量低于50个〃

B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量都不低于100个且另I天的日销售量低于50个〃，

因比P(Ai

P(A2

(II)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为：

p(X=0)=^0-0.6)3=0.064,

p(X=l)=C；06(1—0.6)2=0.288,

p(X=2)=Q0.62(1-0.6)=0.432,

P(X=3)=C；°£=O-216,

随机变量X的分布列为

【总结升华】在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值.

举一反三；

【变式1】英语考试有100道选择题，每个题有4个选项，选对得1分，否则得0分，学生甲会其中的

20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验中得分的数学期望.

【答案】

AE(X)=80XX

故甲、乙的数学期望成绩分别为40分和85分.

I9

【变式2】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为一，乙每次击中目标的概率为一，记

23

甲击中目标的次数为X,乙击中目标的次数为Y,

(1)求X的概率分布：

(2)求X和Y的数学期望.

【答案】甲、乙击中目标的次数均服从二项分布.

1

=

(1)P(X=O)=C；8-

<iY3

p(x=i)=G-

8

<iV3

P(X=2)=C；-

8

p(X=3)=C；(g1

=—0

8

所以X的概率分布如下表:

X0123

P

1331

(2)由(1)知E(X)=()x-+lx-+2x-+3x-=1.5,

8888

，丫〜2,彳)。

或由题意X〜

・•.E(X)=3x；=1.5,E(r)=3x^=2o

【变式3】一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，K中有且仅有-•个选项是正

确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分・,

【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是短，7,则&〜8(20,0.9),

〃〜8(20,0.25),

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5J和5〃.所以，他们在测验中

的成绩的期望分别是：

类型二、离散型随机变量的方差

例4.设X是一个离散型随机变量，其概率分布如下表，试求E(X)和D(X).

X-101

2

Pl-2qq

【思路点拨】由概率分布的性质求出q的值后，再计算E(X),0(X).

【解析】由概率分布的性质，得：

1,

耳+(1-21)+才=1

,得q二l一变

0<l-2^r<l

2

0<^2<1

・•・E(X)=-lxl+0x(V2-l)+lx^|-V2^=l->/2,

D(X)=(-2+0)2x；+(-l+&)2x(0-l)+(0)2x|-0)=&-i。

【总结升华】求随机变量的方差，应先明确随机变量的概率分布。然后利用均值与方差的定义列式计算.

举一反三：

【变式1】设随机变量X的概率分布为

X12n

p•4•

求D(X)。

【答案】本题考查方差的求法.可由分布列先求出X的期望E(X),再利用方差的定义求之.也可直

接利用公式D(X)=E(X2)一[E(X)了来解.

解法一：

/?(/?+1)1〃+1

=---------x-=------,

2n2

・・.D(X)=h-四丫.四]工+一伉小丫」

k2Jn\2Jn卜2J/?

1八2c22、/.、八c\-1

=—(1+2~+•••+〃)一(〃+l)x(l+2+…+〃)+〃-------------------

n\_4J12

解法二：由解法一可求得E(X):巴里。

2

又E(X2)=12XJ_+22X!+...+〃2X，

nnn

n6

AD(X)=E(X2)-[E(X)]2=(n+1)(2n+1)5+1)2n2-\

64-12

【变式2】

1.已知随机变量W的分布列如下表:

€-101

P

⑴求E(g),D"),n；

（2）设n=28+3,求E（n）,D（n）.

【答案】（l）E（g）=X[P]+X»p,+刍〃3=（—1）X--bOx--1-1X-=--;

2363

2

。慎）=[X]-E（^）]-P|+[为-E/）F•〃2+区一&。）]2.〃3=|，G=40

7J

720

（2）E（7）=2^）+3=-,D（7）=4D«）=—.

例5.

（1）求一次投篮时，投中次数X的数学期望和方差；

（2）求重复5次投篮时，投中次数Y的数学期望和方差.

【思路点拨】（1）投篮一次可能中，也可能不中，投中次数X服从两点分布；（2）重复投篮5次的投中次

数Y服从二项分布.

【解析】（1）X服从两点分布，其分布列如下：

X01

P

所以E（Y）=np=5X

D（Y）=np（1-p）=5XX

【总结升华】对于两点分布、二项分布，可直接运用公式计算.

举一反三：

【变式1】4的期望和方差。

【答案】罚球三次可以看作3次独立重复试验，即罚球三次得分J~8（3,0.7）,

所以"=〃〃=3x0.7=2.1

耳=一〃）=3x（）.7x（1-0.7）=0.63.

【高清课堂：离散型随机变量的均值与方差408737例题1]

【变式2】有10件产品，其中3件是次品.从中任取2件,若抽到的次品数为X求1的分布列,期望和方差.

【答案】

类型三、离散型随机变量的期望和方差的应用

例6.甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为兄和X2,它们的概率分布分别为

X.012X2012

PaPb

（1）求a,b的值；

（2）计算力和刈的数学期望和方差，并以此分析甲、乙两射手的技术状况.

【思路点拨】

本题考查分布列的性质、期望与方差的求法及对期望与方差的理解.（1）可直接由分布列的性质列式

求辞.（2）利用定义求期望与方差.

【解析】(1)由分布列的性质知，

(2)E(X.)=0XXX

E(X，)=OXXX

D(X(2X2X2X

222

D(X2XXX

由上述计算的结果可知，乙的平均水平较甲好一点，但乙的稳定性不如甲.

【总结升华】离散型随机变量的期望与方差分别反映了随机变量的取值的平均水平和波动大小(或离散

程度).

举一反三：

【变式l】A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时。，出次品的概率如下表所示：

问哪一台机床加工质量较好.

A机床B机床

次品数加0123次品数a0123

概率P概率F

【答案】ECi=OX+lXXX

E42=0X0.8+1XXX

它们的期望相同，再比较它们的方差.

DCi=(0-2X+(1-2X(2-X(3-0..44)2X

D&产(0-2X0.8+(1-2X(2-2X(3-2X

ADC)<I)€2故A机床加工较稳定、质量较好.

【变式2】有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息:

甲单位不同职位月工资X/元1200140016001800

获得相应职位的概率P.

乙单位不同职位月工资先/元1000140018002200

获得相应职位的概率P2

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

【答案】根据月工资的分布列，利用计算器可算得

E(Xt

D(Xi)=(l200-1400)2222

E(X2

2222

D(X2)=(1000-1400)

因为E(X])=E(XJ,D(X.)<D(XJ,所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，

乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你

希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.

【高清课堂：离散型随机变量的均值与方差408737例题3】

【变式3】某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一

年内发生此种事故的每辆汽车，单.位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)，设这三辆车在一

年内发生此种事故的概率分别为1,且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险

91011

中：

(I)获赔的概率；(2)获赔金额才的分布列与期望.

【答案】设4表示第4辆车在一年内发生此种事故，Z=1,2,3.