二元一次不等式与简单的线性规划问题

二元一次不等式与简单的线性规划问题

>典型例题一

—x+y—2W0,

例1画出不等式组,x+y-4<0,表示的平面区域.

x-3y+3<0.

分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共局部,

解：把x=0,y=0代入一x+y-2中得一0+0—2<0

:.不等式一x+y-2W0表示直线一x+y—2=0下方的区域(包括边界)，

即位于原点的一侧，同理可画出其他两局部，不等式组所表示的区域如下图.

说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法.

>典型例题二

例2画出2x—3vyW3表示的区域，并求所有的正整数解(x,y).

分析：原不等式等价于'而求正整数解那么意味着％,y还有限制条件，即求

",W3.

x>0,y>0,

x(=z,y(=z,

y>2x-3,

J«3.

解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知2x-3<)，W3表示的区域如以下图:

x>0,y>0,

XGZ.?VGZ,

对于2x—3<)，W3的正整数解，先画出不等式组..所表示的平面区域，如下图.

y>2x-3,

y<3.

容易求得,在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3).

说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找

出符合题设要求的整数点来.

>典型例题三

V>lx+11-1

例3求不等式组41,,1所表示的平面区域的面积.

卜叶|-1

分析•：此题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积.而要

将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？

需对绝对值加以讨论.

解：不等式y>|x+l|-l可化为y>x(x>-1)或y2-x-2(x<-l)；

不等式y<+1可化为yW-x+l(x20)或yWx+l(x<0).

在平面直角坐标系内作出四条射线

AB：y=x(x>-l),AC：y=-x-2(x<-\)

DE：y=-x+l(x>0),DFzy=x+l(x<0)

那么不等式组所表示的平面区域如图

由于48与AC、与。产互相垂直，所以平面区域是一个矩形.

根据两条平行线之间的距离公式两平行直线距离公式d=|C1-C2|/根号(AA2+B")可得矩形的两条

边的长度分别为必和还.所以其面积为3.

222

＞典型例题四

2x+^-12<0,

例4假设工、y满足条件・3x—2），+1020,求z=x+2y的最大值和最小值.

A：-4y+10<0.

1117

作直线/:x+2y=z,即y=一4工+上2,它表示斜率为一上，纵截距为三的平行直线系，当

'2222

它在可行域内滑动时，由图可知，直线/过点时，z取得最大值，当/过点B时，z取得最小值.

zmax=2+2x8=18Zmin=-2+2x2=2

说明：解决线性规划何题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值.

＞典型例题五

例5用不等式表示以A(l,4),8(-3,0),C(—2,—2)为顶点的三角形内部的平面区域.

分析：首先耍将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应

怎样表示。

4-0

解：直线A8的斜率为：『-----=1,其方程为），=x+3.

1-（-3）

可求得直线8C的方程为y=-2x-6.直线AC的方程为y=2x+2.

△A8C的内部在不等式x—y+3>0所表示平面区域内，同时在不等式2x+y+6>0所表示

的平面区域内，同时又在不等式21一），+2Vo所表示的平面区域内（如图）.

说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线.

>典型例题六

例6_¥+），-520,x+y-10<0.求/+），的最大、最小值.

分析：令z=/+）/,目标函数是非线性的.而z=产+）尸=.2+口）可看做区域内的点到原

点距离的平方.问题转化为点到直线的距离问题.

解:由卜+,一~0,得可行域（如下图）为Z=/+）,2=口寸+y2J,而（0,0）到工+y-5=0,

x+y-10<0,'7

510

x+），—10=0的距离分别为和

7T7T

所以Z的最大、最小值分别是50和土.

2

说明：题目中的目标函数是非线性的.解决的方法类似于线性规划问题.

可做出图，利用图进行直观的分析.

>典型例题七

4x+3y-20<0,

例7设z=7x+5)，式中的变量x、y满足以下条件《工一3/一2«0,求z的最大值.

xGN*,ywN*.

分析：先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的x、yeN"故只是可行域内的整

数点，然后作出与直线7x+5)，=0平等的直线再进行观察.

解：作出直线/「4丸+3)，-20=()和直线仁工一3)，-2二0,得可行域如下图.

解方程组代:【言°得交点衅》

又作直线/：7x+5y=0,平等移动过点A时，7x+5y取最大值，然而点A不是整数点,

4

故对应的z值不是最优解，此时过点A的直线为7/+5y=34—，应考虑可行域中距离直线

4

7x+5y=34—最近的整点，即8(2,4),有z⑻=7x2+5x4=34,应注意不是找距点A最

近的整点，如点C(4,1)为可行域中距A最近的整点，但z©=7x4+5x1=33,它小于z⑻，

故z的最大值为34.

说明：解决这类题的关键是在可行域内找准整点.假设将线性目标函数改为非线性目标函数

呢？

>典型例题八

x-4y<-3,

例8设z=/+）,2,式中的变量x、）,满足卜工+5），工25,试求2的最大值、最小值.

x>1.

分析：作出不等式组所表示的平面区域，此题的关键是目标函数Z=X2+y2应理解为可行域中的点

与坐标原点的距离佗平方.

解：作出直线4：x—4y+3=0,/2：3x+5y-25=0,/3：x=1得到如下图的可行域.

由卜_4y+3=0

得A(5,2)

3x+5y-25=0

x-4y+3=0

rh得C(l,l)

x=\

3x+5y-25=022

由<"得/").

由图可知：当（x,y）为点C（l,l）时，z取最小值为2；当（X,），）为点A（5,2）B寸，z取最大值

29.

Y

说明：假设将该题中的目标函数改为2=土，如何来求2的最大值、最小值呢？请自己探求.（将

y

目标函数理解为点（x,），）与点（0,0）边线的斜率）

>典型例题九

例9设戈之0,y>0,z>0；〃=-3x+y+2z,q=x-2y+4z,x+y+z=l,用图表示出

点（p,q）的范围.

分析：题目中的〃，q与x,y,z是线性关系.口J借助于“，》，z的范围确定（p,g）的范围.

x=：(8+q_6〃)，

3x-y-2z=-p,

由得

解：由《x-2y+4z=q,得<y=±(14-5q+3p),x>0,^>0,z>0

x+y+z=\.

z=­(5+4p+3^),

6p-^-8<0,

43/?-5^+14>0,

3P+41+520,

做出不等式所示平面区域如下图.

说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x,），，z的取值范围.借助于三元一次方程组分

别求出x,y,z,从而求出〃，9所满足的不等式组找出（〃，，/）的范围.

>典型例题十

例1（）某糖果厂生产4、8两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，8种糖果每箱获利润50元，

其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间〔单

位:分钟）

混合烹调包装

A153

B241

每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机

器小时，包装的设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润.

分析：找约束条件，建立目标函数.

解：设生产A种糖果x箱，B种穗果y箱，可获得利润2元，那么此问题的数学模式在约束条件

x+2y<120

5x+4y<1800

<3^+j<900下，求目标函数z=40x+50y的最大值，作出可行域，其边界

x>0

y>（）

OA:y=0A8:3x+y-900=0BC:5x+4y-1800=0

CO:x+2y—720=0DO:x=0

4z4

由2=40工+50），得》=一一x+—，它表示斜率为一一，截距为三的

5505D50

平行直线系，三越大，z越大，从而可知过。点时截距最大,z取得了最

50

0

大值.

x+2y=72()/、

解方程组4=C(120300)

l5x+4y=18007

2max=40x120+50x300=19800即生产A种糖果12。箱，生产B种糖果300箱，可得最大

利润19800元.

说明：由于生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为

120+2X300=720（分），烹调时间5X120+4X300=1800（分），包装时间3X120+300=660（分），

这说明该方案已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未

加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松驰”局部，有待于改良研究.

>典型例题1

例11甲、乙、丙三种食物的维生素A、8含最及本钱如下表:

甲乙丙

维生素A（单位/千克）600700400

维生素B（单位/千克）800400500

本钱（元/千克）1194

某食物营养研究所想用无千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克

的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素A和63000单位维生素8.（1）用X、y

表示混合物本钱C.（2）确定X、y、z的值，使本钱最低.

分析：找到线性约束条件及目标函数，川平行线移动法求最优解.

解：(1)依题意：/、y、z满足x+y+z=H)O=>z=H)()-x-y

・,・本钱C=Ux+9)，+4z=7x+5y+400(元)

“「.600x+700y+400z>56000

(2)依题意《

800x+400)，+500z>63000

2x+3)，N16()

*/z=100-x-y/.3x-y>130

x>0,y>0

作出不等式组所对应的可行域，如下图.

3x-y=130

联立

2x+3y=160n交y^4(50,20)

作直线7x+5y+400=C那么易知该直线截距越小，C越小，所以该直线过A（5（）,2O）时，直

线在y轴截距最小，从而C最小，此时7X50+5K20+400—C-850元

・・・x=50千克，z=30千克时本钱最低.

>典型例题十二

例12某工厂有甲、乙两种产品，按方案每天各生产不少于15/，生产甲产品11需煤9/,电力4左W,

劳力3个（按工作日计算）；生产乙产品1/需煤4f,电力5kW,劳力10个；甲产品每吨

价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤最不得超过300吨，电力不得超过200AW,

劳力只有300个.问每天各生产甲、乙两种产品多少/,才能既保定完成生产任务，又能为

国家创造最多的财富.

分析：先设每天生产甲、乙两种产品的产量分别为H和山，建立约束条件和目标函数后，再利用

图形直观解题.

解:设每天生产甲产品xf,乙产品W，总产值依题意约束条件为，

x>15,

y>15,

,9x+4y<300,

4x+5y<200,

3A:+1Oy<300.

目标函数为S=7x+12y.

约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边线上的点（如图阴影局部）.

现在就要在可行域上找出使S=7式+12），取最大值的点（X,），）.作直线S=7x+12y,随着

q

S取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为士，可以看出，当直线的纵截距越大，S值也

12

越大.

从图中可以看出，当直线S=7x+12y经过点4时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值.

4工+5)，-200=(),

解方程组<

3x+lOy-300=0,

得A(20,24).故当x=20,y=24时,

S及大值=7x20+12x24=428（万元）.

答：第天生产甲产品201,乙产品24乙这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富428

万元.

说明：解决简单线性规划应用题的关键是：（1）找出线性约束条件和目标函数；（2）准确画出可行

S'

域；（3）利用5的几何意义，求出最优解.如本例中，言是目标函数S=7x+12y的纵

截距.

，典型例题十三

/'J13有一批钢管，长度都是4000〃〃"，要截成500〃?加和600〃"〃两种毛坯，且这两种毛坯数量

比大于，配套，怎样截最合理？

3

分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再按求最优解是整数解的方法去求.

解：设截5（）（）〃7〃7的X根，600/77/77的y根，根据题意，得

5x+6y<40,

y<3x，

旦x,y£z.

JV>0,,

y>0.

作出可行域，如以下图中阴影同部.

目标函数为z=x+y,作一-组平行直线x+)，=f,经过可行域内的点且和原点距离最远的

直线为过8(0,8)的直线，这时x+y=8.

由x,y为正整数，知(0,8)不是最优解.

在可行域内找整点，使x+)，=7

可知点(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)均为最优解.

答：每根钢管截500mm的2根,6(X)mm的5根,或截500nun的3根,600mm的4根或截5(X)mm

的4根，600nun的3根或截500mm的5根,600mm的2根或截500mm的6根,6(K)mm

的1根最合理.

说明：此题易出现如下错解：设截500〃"〃的x根，600"!切的y根，那么

500x+600y«4000,

5x+6y<40,

x1

y<3x,

<y3明

x>0,

x>0,

y>0.

y>0.

其中x、y均为整数.作出可行域，如以下图所示口阴影局部.目标函数为z=x+y,作一

组平行直线/+)，=/,经过可行域内的点且和原点相距最远的直线为过A点的直线.允求4点的

坐标,

40

x=一

上二4°得23

解

120

y=—

-23

故A二40,士P0,即x+y=7,调整为x=2,y=5.

2323

经检验满足条件，所以每根截500〃〃〃的2根，600团团的5根最合理.

此题解法错误主要是在作一组平行直线x+y=，时没能准确作出，而得到经过可行域内的点且

和原点距离最远的直线为过A点的直线.

此错误可检验如下：

如果直线x+y=，通过A点，它是经过可行域内的点且到原点距离最远的直线，那么

—+—=r,即x+y=7.由于x,y为整数，所以点A（l?,5上）不是最优解但在可行域内

23232323

除A点外，不可能再有其他点满足x+y=7,只能在可行域内找满足x+y=6的点.如果还没有整

数点，那么只能在可行域内找满足x+y=5的整数点.但我们知道元=2,），=5满足题意，这样，

就出现了矛盾，从而判断解法错误，即x+），=f通过A点的直线并不是通过可行域内的点且和原点

距离最远的直线.

＞典型例题十四

例14某工厂生产A、B两种产品，生产A产品Mg要用煤9,电力46V,3个工作日：生产B

产品l%g要用煤41,电力5AW,10个工作日.又知生产出A产品1&g可获利7万元，生

产出3产品1必可获利12万元，现在工厂只有煤3601,电力200ZW,300个工作日，在

这种情况下生产A,8产品各多少千克能获得最大经济效益.

分析：在题目条件比拟更杂时，可将题目中的条件列表.

产品工作日煤/电力kW利润/万元

A产品3947

B产品104512

解：设这个工厂应分别生产A,B产区xkg,ykg,可获利z万元.根据上表中的条件，列出

3x十10”300,

9A+4^<360,

线性约束条件为4目标函数为z=7x+12y（万元）.

4i+5y<200,

x>0,y>0,

画出如下图的可行域，做直线/'：7x+12），=0,做一组直线7x+12y=/与/平行，当/过点A

时］最大.

3x+10y=30（）,

由《/得A点坐标为（20,24）.把A点坐标代入/的方程，得7=428（万元）.

4x+5y=200,

答：应生产A产品20f,B产品241,能获最大利润428万元.

说明：把实际问题转化为线性规划问题的难点在于找出题目中的所有线性约束条件.同时此题的可

行域形状较复杂，要注意分析目标函数的斜率和各边界斜率的关系：从而确定在何处取得最

优解.解应用题时还应注意设出未知量和做答这两个必要步骤.

＞典型例题十五

例15某公司每天至少要运送1801货物.公司有8辆载重为61的A型卡车和4辆载重为101的B型

卡车，A型卡车每天可往返4次，B型卡车可往返3次，A型卡车每天花费320元，B型

卡车每天花费504元，问如何调配车辆才能使公司每天花费最少.

分析：设A型卡车x辆，8型卡车y辆.问题转化为线性规划问题.同时应注意到题中的x,y只

能取整数.

0<x<8,0<x<8,

0<y<4,0<y<4,

解：设A型卡车x辆,8型卡车），辆，那么，即4

x+y<10,x+y<10,

24^+30y>180,4x+5y>30,

目标函数z=320.v+504y.做如下图的可行域,

做直线/：320x+5（M），=0.

在可行域中打上网格,找出（8,0）,（8,1）,（8,2）,（7,1）,（7,2）,（7,3）,…等整数

点.

做/：320工+504），=，与/'平行，可见当/过（8,0）时f最小，即ZmM=8x320=2560（元）.

说明：整数解的线性规划问题.如果取最小值时不是整数点，那么考虑此点附近的整数点.

＞典型例题十六

例16某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品4、B、C,每消耗一吨燃料与产品A、B、。有

以下关系：

产品A产品B产品c

燃料甲10（吨）7（吨）5（吨）

燃料乙5（吨）9（吨）13（吨）

现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为2:3,现需要三种产品A、B、。各50吨、63

吨、65吨.问如何使用两种燃料，才能使该厂本钱最低？

分析：由于该厂本钱与两种燃料使用量有关，而产品A、B、C又与这两种燃料有关，且这三种

产品的产量也有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题