考研数学（数学三）模拟试卷442

考研数学(数学三)模拟试卷442

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

]

1、曲线y=N(z+D+ln(l+的的渐近线的条数为().

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：D

知识点解析：当％=0,1=-1时.，函数无定义,

r11

且Him7、+ln(l+e*)=8,

ILN(工十1)_

lim--：,+ln(1+ex)=8，

十I)J所以％=0,1=1分别为该曲线的垂直渐

近线.由

r1

.fe,7(1+1)+,n(1+eO=+8，工%[^15+1*1+/).=

0.所以沿％一00方向曲线有水平渐近线丫=

0.

由于。=礴且=时匕』+皿坟].㈣1坟=】

L+8NL+OOL力(Z十1)X」—+8JC

=limIn1¥=0

+ln(l+e*)—工

r-*+oo「•+8

所以沿X-+8方向有斜渐近线y=%.因沿为一8方向有水平渐近线，故没有斜渐

近线，所以共有4条渐近线.故应诜D.

lim9

2、设f(%)在％=加的某领域内存在二阶导数，且—"X°=a>0,则存在点

(%0,f(XO))的左、右侧邻域U一与U+,使得().

A、曲线y=f(»在U-内是凹的，在U+内是凸的

B、曲线y=f(%)在U-4是凸的，在U+内是凹的

C、曲线y=f(x)在U-与U+内都是凹的

D、曲线y=f（»在U—与U+内都是凸的

标准答案：B

]・fS

lim~

知识点解析：由极限的保号性，因为々=a＞0,知存在加的去心邻域

r（x）

OO4......O

U（XO）,使当工时，”一工＞＞0,于是，当衣“为0）且为＜油时，f"（X）V。，

o

曲线y=f（»是凸的•当炉3次）且公＞%0时，f〃（乃＞0,曲线y=©）是凹的•故

应选B.

3、设％=rcosO,y=rsin0,则极坐标系（r,0）中的累次积分

f（rcosO,rsinO）dr可化为直角坐标系（无，y）中的累次积分（）.

f(.jc,y)dy

1-X

q］一/

1-X

B、

J1—』

f(x9y)dy

C、X

JoJx+—

D、

标准答案：B

知识点解析：由题意知

s仇厂sinO'）dr=JJ/（rcos0^rsin0）drd6=^/（x»＞）jJ+''d.，

其中积分区域D在极坐标系下的不等式形式为D=

1

।2'cos6+sin0

1在直角坐标系下的形式为（如图3—1

D=(Cz,y)|O&xCl,1-,

则卜^^dy.

所示)：®土1故应选

B.

4、设P(X)，q(x),f(%)均是K的连续函数，yi(%)，y2(x)，y3(x)是y〃+p(x)y'+q(x)y

=f(»的3个线性无关的解，Ci与C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐

次方程的通解是().

A、C)yi+(C2+Ci)y2+(1—C2)y3

B、(Ci-C2)yi+(C2-l)y2+(l-Ci)y3

C、(C]+C2)yi+(Ci—C2)y2+(l—C])y3

D、Ciyi+C2y2+(1—C[—Cz)y3

标准答案：B

知识点解析：根据题意及线性微分方程解的性质与结构，只要判定选项A、B、

C、D中的组合系数即可.若组合系数中有两个任意常数，且组合系数之和为零的

表示式即为对应的齐次方程的通解，选项B即满足这两条，是对应的齐次方程的

通解.故应选B.

5、设n维列向量川，a2,(13线性无关，向量01可由四，(12，013线性表示，向量

尼不可由⑴，口2,。3线性表示，则对任意常数k,必有().

A、ci],C12，(X3，kp[+02线性无关

B、(XI，ct2，。3，印|+02线性相关

C、ai,a?,a?,Bi+k|b线性无关

D、a]，a2，03,仇+印2线性相关

标准答案：A

知识点解析：设有一组数字Q,12，入3，M，满足入iai+入2a2+入3a3+M(kPi+例)

=0,若M=o,则有条件入1=九2=入3=0，从而推出a],a2，013，k0]+p2线性无

关.若）4翔，则用1+02可由。1，。2，。3线性表示，而P1可由以，012，013线性表

示，故的也可由四，a2，013线性表示，矛盾，所以，心=0,从而A正确.对于

其余三个选项，也可用排除法.当k=0时、可排除B、C；当k=l时，可排除

D.故应选A.

21100

121与010

D、1121002)

标准答案：B

11100

222020

知识点解析：因为相似矩阵的秩相等，由1333的秩为1,而000,的秩

为2,故A中的矩阵不能相似.因为相似矩阵的行列式的值相等，由丁

211200

121020

112=4,而002=8,故C中的矩阵不相似.因为相似矩阵的特征

211

121

值相同，所以它们的迹相等.由于1112J的对角线元素之和为6,而

100

010

10°2J的对角线元素之和为九故D中的矩阵不相似.因此只能选B.事实

100111100

120和021020

123<003都与对角矩阵903相似，因而

100111

120与021

113003,相似.故应选B.

_1_L

7、设A,B为随机事件，已知P(A)=4,P(B|A)=2,p(AIB)=3,则

P(AUB)=().

1

A、8

1

B、4

3

C.I

1

D、2

标准答案：D

1v11P(AB)1

知识点解析：P(AB)=P(A)P(BIA)=428由P(A|B)=P(B)3,可得

_31

P(B)=8.则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=2.故应选D.

8、设X1，X2,...»Xn，…为独立同分布序列，且Xi服从参数为2的指数分布，

1方X,

则当n充分大时，Zn=W—'近似服从.

A、N(2,4)

_4

B、N(2,n)

±1

C、N(-2*4n)

D、N(2n,4n)

标准答案：B

n

ii2

知识点解析：E(Xi)=a=2,D(Xi)=A=4,则当n充分大时，31Xi近似服从

■

2A

N(2n,4n),或者—Xi近似服从N(2,n).故应选B.

二、填空题(本题共6题，每题分，共6分。)

lim"(平1正

9、设f(x)在％=0处连续，且L8ar-s\nx=2,则曲线y=f(%)在(0,f(0))处

的切线方程为.

1

3

标准答案：z-i

•—2।Q\x)9lin)

知识点解析：由极限和无穷小的关系知z-sm工其中Loa(»

=0

[2+Q(Z)](N—sinz)

解得/(x)1,

[2+a(rr)[(N~~sinz)10】.x-sinx..l-cosx1,

则lim/(z)=lim1=2hm---;----l=2c1lim-z------1=—1；

ZJ*u-0Lx

lin)

又f(%)在X=o处连续，所以f(0)=If(x)=-1.于是P(0)=

.7(x)—/(0)f(工)+1[2+a(z)](z—sinz).x-sinx八，11

htm1-----5---=lvim▲------=limL-------七-------=2nlim---;—=2X-=—.

i1一0izixi«r63

aa1

则曲线过(0,f(0))点的切线方程为y+l=3(%=0),即y=3%—1.故应填y=3]

-1.

10,呵口+sin(双讦才才

标准答案：e

知识点解析：根据si”的周期性知

sin(n，1+4〃2)=sin(nMl+4"-2〃久)=sin---匹亍----»

，1+4"+2'

从而蚓(冗4T可)了=呵(1+山7r占+2J

=lime”1nom不E)=酬如(1+所不、),

而]+sin—===——)=limn•sin,「尸—=lim厂」上---=手.

-8\，1+47+2〃，L-/1+4“2+2〃"'\/1t4/i2t2n4

所以则口+sin(K/I+W)]"=€".

故应填若.

11、设函数z=f(%,y)(zyr0)满足f(xy,z)=/(£-1)，则dz=.

标准答案：(2%—y)dL%dy

2L也出

知识点解析：令xy=p，X=V,则/=0,y2=|jv,于是有f(N，V)=|1V(V—1)

=|?一卜IV所以，f(x»y)=x2-xy-故dz=(2%—y)d为一芥iy.故应填(2%—y)d%—

%dy.

a

12、设f(u)为连续函数，且八砥2%—1)出=2皿1+疥，f(l)=l,贝iUjf(%)d%=

且

标准答案：4

知识点解析：令2%—t=u,则Jc/tfQ%—t)dt一员'(2%—u)f(u)du=J/(2%—u)f(u)du=

1

24产f(u)du—J产uf(u)du.原方程化为2/J产f(u)du=JjZuf(u)du=21n(1+£).两边

zJL

对X求导得2『Xf(u)du—%f(%)=l+/,令K=l，得2『f(u)du—f(l)=2,而f(D

J.3,

=1,所以JJf(u)du=4.故应填4.

13、设A为3阶方阵，如果A”的特征值是1,2,3,则IAI的代数余子式A”

+A22+A33=-

标准答案：1

知识点解析：因为A”的特征值为1,2,3,所以|AI"=lx2x3=6,从而IAI

=6.又因为AA*=IAIE=6E,所以A*=6A".故A*的特征值为

1,1,1l，l+±

632所以AU+A22+A33=632=1.故应填1.

14、设A和B独立，P(A)=O.5,P(B)=O.6,则P(AIJB|AUB)=.

标准答案：2

P(AUB|AUB)=1-P(AB|AUB)=1-^4TTTTP^

r\/\Ub)

/_____P(AB)

P(A)+P(B)-P(AB)

=1_______P(A)P(B)=_5

知识点解析：-P(A)+P(B)-P(A)P(B)-8-故应

填瓦

三、解答题(本题共9题，每题L0分，共9分。)

15、求一L(1+N)*eJ

标准答案：

「V*x1-----------

M(l+xr「」一』里e

令(1+力一十一-e*-九(i+Q—L

lim==lim

tt-a't

1—^-ln(l+O

11.—111.

=lim,=lim

ei,tet

一告一1「1_1

1Lln(l+t)1].

-vlim■1-,=lim-2t-2ej!?币―茨•

ete

知识点解析：暂无解析

16、设股)在［0,1］上连续，且满足f(0)=l,f(X)=«X)+ax-a,求取)，并求a的

值，使曲线y=f(%)与尸0,y%0,%=1所用平面图形绕x轴旋转一周届得体积最

小.

标准答案：方程f(x)=f(%)+a%-a可以改写为？(x)-f(%)=a%—a.则f(%)=e"览卜一

a)d>+C］=eRex(a/—a)d%+C］=ex(—a/ez4-C)=Cez—a%.由f(0)=l得

x1z212zz

C=l,所以f(x)=e—ax.旋转体的体积为Vz(a)=irfo(e—a/)dx=jrfo(e—2a/e

112

+a2x2)dX=M3a2-2a^2(e2-1)］.¥^=71(3a-2)=0,解得驻点a=3.又V"

2n

z(3)=3>0,知当a=3时，V%取得最小值.即a=3时，所求旋转体体积最小，

此时f(x)=ez—3x-

知识点解析：暂无解析

17、已知函数取)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)—0,f(l)=l.证明:

(I)存在年(0,1),使得熊)=1一。(口)存在两个不同的点中上(0，1)，使得

W(O=1.

标准答案：(I)令g(X)=fa)+£-l,则g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=一]V0,

g(l)=l>0,由零点定理知，存在废(0,1),使得g&)=0,即f(Q+，-1=0,从

而有解)=1一或(11)因故)在［0,可，&1］上连续，在(0,9,&1)上可导,

fCc)在［0,可和也，1］上均满足拉格朗日中值定理的条件，应用拉格朗日中值定理可

知，存在】1€(0,9,埼&1),使得

外力=也匕位2=小

'卬£一0£'

_/⑴一/电―1一(1一日=E山.上

1—9―一

知识点解析：暂无解析

18、设2=敏,y)在点(1,2)处存在连续的一阶偏导数，且f(l,2)=2,fx(l,2)=

3,fy(l,2)=4,(p(X)=f(X»f(%，27)).求*

标准答案：因为"=3(p2(x)(pk),而◊'(%)=｛取，f(《，2加｝』口(力,f",

2x))+f2(%，f(X»2x)).[f(x»取,2%))+f2(X»敢，2x)).[fi(%,2%)+

2F2d2加.则0(1)=%(Lf(L2))+f2(l,f(i,2)).[fi(l,2)+2f2(l,2)]=

fi(l,2)+?2(l，2)x[f1(l,2)+2?2(l，2)]=3+4X(3+2X4)=47.所以，

亚炉(7)]

dxm=3(p2(i)d(i)=3[f(l,f(l,2))]2x47=141x[f(l,2)产=141x4=

564.

知识点解析：暂无解析

19、设政)在[0,1]上连续，证明：Jo%f(si")政=兀J。f(sin%)d%,并由此计算

xsinxdr.

Jo1+cos2x

标准答案:fonxf(sinx)dx———―—p)f(sinp)(—dp)=hAn—g)f(sinj.i)dp=

To叮(si”)d%-Jo"%f(sin%)dx，即210msi啮改=疝)叼(而%)如从而

jzf(sinx)dz=/(sinj)dz=/(sinx)dz+^/(sinx)dr,

r*x=K-t•o2

而i/(sinx)dr—z/(sinOdr=/(sin力dr=/(sinx)dLr»

2oo

故x/(sinx)dr=^•2/(sinx)dr=/(sinx)dz.

06JOJo0

j-sinx

利用上述积分等式，由于l+cos?]12-sir?],具有上述竹⑶耿)的形式.故

xsinx」'sinxi"—l^dcosx

73------or=nTH----厂"=_7r

Jo1+COSX.o1+cos.01+cosX

=­rearctan(cosx)

有

知识点解析：暂无解析

20、已知A=(ai，(X2,口3，04),非齐次线性方程组八%=6的通解为(1,1,1,1)丁

TT

+ki(l,0,2,l)+k2(2,1,1,-1).(1)令8=(⑷，。2，a3),求By=b的通

解；(n殓C=(ai，012，8,04，b),求C%=F^J通解.

标准答案：(I)先求B%=0的基础解系，为此，首先要找出矩阵B的秩.由题目

的已知信息可知：A%=0的基础解系中含有两个向量，故4—R(A)=2,即R(A)=

2,而由(1,0,2,1)1是A%=0的解，可得aiI2a3I«4=0,故c(4=-a「

2a3.可知04能由ai，。2，。3线性表示,故R(ai，g,as，04)=R(ai，CQ,as)=

R(B),即R(B)=2.因此，B%=0的基础解系中仅含一个向量，求出B%=0的任一

非零解即为其基础解系.由于(1，0,2,1)T,(2,I,1,-1)T均为A%=0的解，

故它们的和(3,1,3,0)T也为A%=0的解，可知3ai+a2+3a3=O,因此(3,1,

3)T为B%=0的解，也即(3,1,3尸为B%=0的基础解系.最后，再求Bx=b的任

何一个特解即可.只需使得A1=b的通解中⑴的系数为0即可.为此，令(1,1,

TTT

1,l)+ki(l,0,2,li+k2(2,1,1,—1产中k]=0,k2=l,得(3,2,2,0)

是A%=b的一个解，故[3,2,2)1是B%=b的一个解.可知取=1)的通解为(3,

2,2)T4-k(3,1,3)T,kGR.(II)与(I)类似，先求C%=0的基础解系.由于C即

为线性方程组A1=b的增广矩阵，故R(C)=R(A)=2,可知C%=0的基础解系中含

有5—2=3个线性无关的解向量，为此，需要找出C%=0的三个线性无关的

解.由于(1,0,2,1)T,(2,1,1,一1)T均为A%=0的解，可知(1,0,2,1,

0)T,(2,1,1-1,0)丁均为C%=0的解.而(1,1,1,1产为A%=b的解，可知ai

+012+(x3+04=6,也即ai+a2+a3+«4—b=0,故(1,1,1,1,—1),也为C%=0

的解.这样，我们就找到了C%=0的三个解：(1,0,2,1,0)T,(2,1,1,-

1,0)T,(1,1,1,1,-1)T,容易验证它们是线性无关的，故它们即为C%=0的

基础解系.最后，易知(0,0,0,0,1)1为Cy=b的解，故C%=M的通解为(0,

TTT

0,0.0,l)+ki(l,0,2,I,0)+k2(2,1,I,-1,0)4-k3(l,1,1.1,

1)T,kiGR,i=l,2,3.

知识点解析：暂无解析

2001001

A=0010-10

21、设矩阵1010J10-62试判断A和B是否相似，若相

似，求出可逆矩阵X,使得X"AX=B.

入一200

0-1

标准答案：由IXE-AI=0=(X-2)a-l)a+l),得A的特征

2

值为2,1,-1.因此A相似于-1进而求得对应于2,1,—1的特征

fll00

4=0，m=1

1J

向量分别为0j1-1J令p=(ni，吟中)，则有P"AP=

2

1

一1又因为B是下三角矩阵，所以特征值为2,1,-1.B也相似于

2

1.

—1J进而求得对应2,1,-1的特征向置分别为

2

令Q=(。，42,43)，则Q/BQ=l

因

此P"AP=Q/BQ,所以B=QP"APQ/=(PQ")"A(PQ/),☆X=PQ/=

0-21

110

1—1X即为所求.

知识点解析：暂无解析

22、设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

-101

-1a00.2

00.1b0.2

100.1c

其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=-O.2,P{Y<0IX<0}=0.5,记

Z=X+Y.求：(I)a,b,c的值；(K)Z的概率分布；(n)P{X=Z).

标准答案：(I)由概率分布的性质知a+0.2+0.l+b+0.2+0.l+c=l,即a

+b+c=O.4(*)由(X,Y)的概率分布可写出X的边缘概率分布为

X-