考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷58

考研数学二(解答题)高频考点模拟试

卷58

一、解答题(本题共乃题，每题1.0分，共15分。)

1-jsin-

.________，_y

1、设f(x,y)=1+^yarctanx,x>0,y>0,求⑴

g(.r)=limlim#(/)

V・i;(2)r“o

弁("=_1一上*1

标准答案：(1)karctaru.(2)h

知识点解析：暂无解析

limlim

x

2、设f(»在[0，+s)连续，*—♦«f(x)=A>0,求证：M-♦-fof(t)dt=+oo.

lim/(#)=4>4q

标准答案：因、一2,由极限的不等式性质可知，^x,当为,X

A_

时f(%)>2,则％>X时有

f/(/)dz=f/(：)dz+[/⑴出N//⑴也+*(—X),Hm

‘°)。)xJo2因此一“

Jo'f(t)dt=+8.

知识点解析：暂无解析

3、设函数f(x)在(・oo,+x>)内满足f(x)=f(x・7t)+sinx,且f(x)=x,xG[0,兀)，求

J』f(x)dx.

标准答案：【『fWdxJJlKx-TO+sinxJdxajRx-TOdx-

=卜2兀f⑴出=胪叱)出+仇2兀樊)出40，出+/7123f(i.兀)+sint]dl=®・2+小叶(I-兀)出-

2+fo7Iflu)du=n--2.

知识点解析：暂无解析

计算隔0±驷吗2二也更;

4、usinx

标准答案：此题为用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的

(2+tan—2、+21°一(2—sin"”

zsinx

=lim.所产产-21。+小纱一(2—-

定义式.zsin*zsmz

=(x,°)h=2+(x1°)lx=2=2x1OX29=1OX210.

知识点解析：暂无解析

5、证明：当OVxVl时，(l+x)ln2(l+x)Vx2

标准答案：令f(x)=x2-(l+x)ln2(l+x),f(O)=O；f(x)=2x-ln2(l+x)-21n(l+x),f(O)=O；

由口—VD,得八A。，。。。)，

C、一°\得/(z)>O(O<X<1),

再由

/(x)>0(0<x<1),故当ovxVl时,

(l+x)ln2(l+x)<x2

知识点解析：暂无解析

6、求证：当x>0时，(X2-l)lnx2(x—

标准答案：设f(x)=(x2—l)lnx—(x-19.所以f(l)=O.又因为F(x尸2xlnx・x+2

110="之二2

-x,f(l)=O,且俨(xAZlnx+l+d5,f(l)=2>0,所以当x21

时，r(x)>o,知r(x)单调递增，则r(x)对(i)=o,从而f(x)单调递增，故

f(x)>f(l)=o.原式成立.当OVxVl时,f,,(x)<0,知F(x)单调递减，则

f'(x)>f(l)=2>0,从而r(x)单调递增,故r(x)VF(D=O,所以f(x)单调递减，知

f(x)>f(l)=O.原式成立.

知识点解析：暂无解析

-斗

7、求曲线y=V2K的上凸区间.

标准答案：

/_(z-3)

"1-<£^2,(z—3)2_(1—3)2—1

y------e2H-----=-^-------7=e

，27VJ2Kx/2；r

——e

由y〃V。得(%—3)2—1<0,解得2V%V4,故曲线y=/^的上凸区间

为(2,4).

知识点解析•：暂无解析

*

,dz.

8、求不定积分J

1+f

标准答案：令±=〃2虫一1,有2dx=tdt,于是

"=J*dz=*—Idr=(z—l)ez+C=(，2彳-1—l)e'/27：T-f-C.

知识点解析：暂无解析

9、求双纽线(x2+y52=a2(x2-y2)所围成的面积.

1=rco3，

(*=rsi一则双纽

a,cos20(0莒,第一卦限的面积为

A1=r2dd=5「cos2dd。=^-sin2^j4=­

线的极坐标形式为/二

所求面积为A=4Ai=a2.

知识点解析：暂无解析

10、计算1(x+y)2dxdy,其中D：ay<x2+y2<2ay(a>0).

。(]+?)2业*=0(/+2xy+y)dLrdy=.(x2-Fy)cLrdy.

|x=rcosO

令AI(0(穴,asiM&2asW),则

\y=rsiw

原式=J闻:=^a4£sinW

将潜衰々=竽afsk弼=殍，X八=剔X曰X}X妥=等

标f隹合案：/JoLL42232

知识点解析：暂无解析

II、求微分方程y2dx+(2xy+y2)dy=0的通解.

、、或

标准答案:由y2dx+(2xy+y2)dy=0得匕"2^+7

令“=+则爸娉一竽解得人+”=净所以原方程的通解为

y2(y+3x)=C

知识点解析：暂无解析

12、已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak=O.试证明：矩阵E—A可

逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵).

标准答案：E=E-Ak=Ek-Ak=(E-A)(E+A+...+Ak!),所以E-A可逆，且

(E—A),=E+A+...+Ak

知识点解析：暂无解析

13设？=(/+')»*求名,

标准答案：

由Z=(X2+，尸小山■得Z=](出必/廿》,

则华二el'"""八'>"sec^jr+jOtana+yHiKx2+y)+^7^^secz(jr+y)].

12缸2(彳+y)tan(1+yHnCr2+，)+p?『sec2(i+y)].

知识点解析：暂无解析

5-1-11

A3a-1可逆m

设矩阵4-261为A*对应的特征向量.

14、求a,b及a对应的A*的特征值：

标准答案：显然a也是矩阵A的特征向量，令Aa=Aia,则有

3-Ai5-1-1

2Fa-Ai1•所以A・31-1

2+6=AIh14-21IAI=12,设A的另外两个特征值为12,

=tr(A)=7