考研数学（数学一）模拟试卷495

考研数学（数学一）模拟试卷495

一、选择题（本题共8题，每题1.0分，共8分。）

1、设f（x）在（-8,+8）内连续且严格单调增加，f（0）=0,常数n为正奇数.并设

上「

F（x）=NJ。则正确的是

A、巩乂）在（—oo,0）内严格单调增,在（0,+8）内也严格单调增.

B、F（x）在（一8,0）内严格单调增,在（0,+8）内严格单调减.

C、F（x）在（一oo,0）内严格单调减,在（0,+8）内严格单调增.

D、F（x）在（一oo,0）内严格单调减,在（0,+8）内也严格单调减.

标准答案：C

2

知识点解析：x'undefined

F（工）=」[一1/（1）一1・£了（0]=上]«（工）一$”/（©[,

x工undefined

x•x"/（x）—|JJ/*/（x）dz—J

xx

pCy/（x）-f/a）］dz<o

undefined**0

2、设an>0（n=l,2,…），下述命题正确的是

OO

"vi,则

A、设存在N>0,当n>N时，°””=1必收敛.

它册况VI.

B、设—i收敛，则必存在N>0,当n>N时，4

皿》1，则

C、设存在N>0,当n>N时％n1必发散.

OO

ZX况》1.

D、设I发散，则必存在N>0,当n>N时an

标准答案：C

知识点解析：I0undefinedundefined

%=—=#]<i，但Sx

〃"**undefined

生=h1^1r况2]

*=iundefined%

3、设P(x,y,z),Q(x,y,z)与R(x,y,z)在空间区域。内连续并且有连续的一

dP+展+华三0

阶偏导数，则“当(x,y,z)WC时djCC9Z”是“对于Q内的任意

・张逐片光滑的封闭曲面S,s(x,y,z)dydz+Q(K,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdy

=0”的

A、充分条件而非必要条件.

B、必要条件而非充分条件.

C、充分必要条件.

D、既北充分又非必要条件.

标准答案：B

挛+事+半法。学+苧+芈＞o,

知识点解析：dx办dzundefineddjc女undefinedfl.

些十四+丞>o:

undefined3分Hzundefined心。CU^undefined

勺Pdydz+QdzcLr+Rdrdy=]J（累+符+普）du>0,

%佝undefined

勺Pdydz+QdzcLr+Rdrdy=0

sundefined

“北㈣遮

三0,（1,y,z）6O”

Oydzundefined

（f+/+3产2'5口》'7）=（P-F/-Fz2）3,2，R（X，y，2）=（f+/+之2）32

三十F+^-三0，（工，y，z）sa

undefined°x"z1undefined

!(i.jsz)If+y+z2-1)undefinedSU/l^undefined

勺Pdydz+Qdzdr+Raxdy

d»dz+ydzdr+-jdrdy

y(f+y+w(/+，+/产2(，+y+公尸

=^xdjdz4-jdzdr-Fzdrd^

高斯公式(]T，口八

^—―jg3OJdv=4次w0.

jd»J'e=-Vdr+(dy]Je"-y2cLz=

4、

(A)^-(e2-l).(B)f(e2+l).

oo

(Of(e2-l).◎智+D.

4

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

drfy—>2dy.

>J6一'dyJL

知识点解析：J。J。iundefined'0undefined4

//一夕矽=f£e^dr=f(e2-l)

undefined

5、设A4x4X=b是4元非齐次线性方程组.0,3小是其二个不同的解，则

A、若&,々，名线性无关.则小一42，及一&3是Ax=0的基础解系.

B、若r(A)=2,则4,3,白线性相关.

C、若金,及，名线性无关，贝h(A)=l.

D、若白,及，名线性相关，则r(A)W3.

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

6、设A,B均是n(n>0)阶方阵，方程Ax=。和Bx=0有相同的基础解系制，电,

&,则下列方程组中也以&,⑶以为基础解系的是

A、(A+B)x=0.

A..卜々刀丁'mmrn…中,广,

知n以n点解析：---------------------------------------------undefined

L（X|，…，N”/）=J&k,i=1,2,…，〃）・

‘+'undefined

^37^=-17^~?<°，又4271，4》工2,…决》二㈡左》max{©「・・，/},

o?々十1

undefined=3乂{为，・・・，/）

二、填空题（本题共6题，每题1.0分，共6分。）

，wdr

o2+tan2x

标准答案:（一介

p"=?dr+「dr

知识点解析：°2+tan2>rJo2+tar?工」十2+tar?”对等号右边第

二个积分作积分变量代换，令X=7C—3有

[业=业_]一力=?仔dr=2尸]__1_

Jo24-tan2xJo2+tan2xJf2+tan2r-Jo2+tan2x-Jo2+1?.1+/d

=可「（4一岛?）d〃=29rctan"。一新闻制。）

=（T）

10、设u=u（x,y,z）具有二阶连续偏导数，且满足

d^u.<^u।（^u

=J2+，+,

a?5?.又设S为曲面x2+y2+x2=2ax（a>0）的外侧，则

f窦d*k+f^dzdr+^dzdy

325

标准答案：15

知识点解析：由高斯公式，以。表示S所围的球域，有

©韶城+即出+如山=]j（奈+,+弱&=0（/+，+/团

snn

=JI城曲厂p，sin也=淑$

z「2'Q、且f(i)=o/⑴3°则

Hm/(sinn+cos«r)tan3z

(e'一l)sinx

3

标准答案：工

知识点解析：

/(si/z+cos/)tan31(,)/(sin?z+cosz)・31

(e，-Dsinx

3lim

x-*0

/'(sin%+cos7)一/⑴

=3lim

x-*0sin~x+cosz-1

(1)a

=31y⑴•(一+)]=y/=-2式中(*)处

表示等价无穷小替换.

12、设cXsi/x为某n阶常系数齐次线性微分方程的一个解，则该方程的阶数n至

少是，该方程为.

标准答案：3；y'''—3y"+7y'—5y=0

知识点解析：e'sin2x=e'—e'cos2x,所以方程至少有3个特征根：1,l+2i,1—

2i?特征方程为"-l)[r-(l+2i)][r—(1—2i)]=0,即尸―3/+715=0,微分方

程为y'''-3y"+7寸-5y=0.

BC,其中

1o-r

01-1

知识点解析：Lo0。」=1知，故B可逆，则由AB=B2—BC=B(BY),得A

=B(B—C)BI于是A5=B(B—C)B^(B—C)B1...B(B—C)Bl=B(B—C)5B

-10

010

」故

.00o

100,■1-1o-

010oi-1

J)00.JO0

14、设A与B是两随机事件，P（A）=0.6且P（B|A）=0.5.则P（次B）=

标准答案：0.2

IA)==_POB)_

知识点解析：由F(B।下而l-P(A)=0.5,且P(A)=0.6,得P(AB)

0.2.

P(AB)=1—P(AUB)=1—[P(A>+P(B)—P(AB)]=1一[P(A)+P(AB)]

=0.2.

三、解答题（本题共76题，每题7.0分，共76分。）

［卜=依一］2一，

15、设空间曲线】/+,=&，其中常数R>0,从Z轴正向朝z轴负向

$V2dr+z2dV-Fx2dz

看去，L为逆时针转的，求空间第二型曲线积分

标准答案：法一参数法：由曲线L的第二个式子有

/_&+（¥）+'=（y），即（］_专）+/=（y）・

1NZ取参数

式，令叵1，得y=，如图所示，由于L为逆时针转，所以［从。到2兀.代入L

的第一个式子，得L的参数式为代入曲线积分表达式中，有法二用斯托克斯公式

化成第一型曲面积分.取以L为边界的一个光滑曲面，就取组成L的曲面，S的法

向量由斯托克斯公式，并写成第一型曲面积分形式，有由于S的法向量指向外

侧，故从而【=再将上述第一型曲面积分化成二重积分，并注意到z=,S在平面

xOy上的投影区域为于是

知识点解析：暂无解析

/(x)=arctan(1——1

函数'工L

16、将f(x)展开成X-1的幕级数,并求此幕级数的收敛域；

/,2\

标准答案：将函数f(x)=\x<展开成X—1的某级数，为使式子简单

起见，令U=X-1,即x=u+l.则

/(x)—arctan(1-=arctan(1-丁：，)=arctan/不;<p(u

将

“一1

=arctan中

__K

展开成u的塞级数.由w（0）=arctan（-1）=4,

，,、1“+1—（W—1）_2击=身(一“2尸=£(一1户小

（（“）=][二于（“+D2-2（^+1）

【十u1t・oH-0

8

（一1）“*

<p（.u）=w（0）+（—idd/T+X

所以・02〃+1—ivuv

1.显然，在u=±l处上式右边的辕级数收敛，所以该塞级数的收敛域为一号吆1,

_4十予=122(］_i)2+

4T乙2〃41

即X—1的塞级数Q*。6干的收敛域为0<x<2.

知识点解析：暂无解析

17、在此收敛域上，该哥级数是否都收敛于f(x)?如果在某处收敛而不收敛于f(x)在

该处的值，那么收敛干什么?均要求说明理由.

标准答案：在x=0处造尸111rs(1一菅)无定义，所以谈不上它与该基级数相

等，那么该事级数在x=0处收敛于什么呢?由于该事级数在x=0处是收敛的，由

同济大学《高等数学(下册)》(第七版)P279性质1,和函数

-尹£崎…

=匕［—宁—尸］

=liin/(工)

J-

一工+£；11(彳-1产，=limarctan(1—^*)=—

4±2”+1是连续的，所以，“'1'2即

_2L卜£(-1)%—I)211rH.

4£2”+1在x=0处收敛于彳.至于该某级数的和函数在x=2

-尹金音2—皿

「_五十>(zdZ

L4M2”卜尸(J1产

=lim/(x)=/(2)—arctan0=0,

处，由于f(x)在.x=2处连续，所以i-即

“工+:02：

4£2〃+1=0,在x=2处收敛于f(x)在x=2处的值，所以

arctan(1—~.0〈/42.

_JLJ-V(二必(1_1)2*1

422n+l'

—JLx=0.

2

知识点解析：暂无解析

设微分方程xy'+2y=2(ex-1).

18、求上述微分方程的通解，并求“*0)存在的那个解(将该解记为yo(x)),以及

极限值回加"

72=2①一1)

标准答案：当X#)时，原方程化为'丁,—-x一由一阶线性微分方程的

通解公式，得通解y=

J

5住出口2(e^l)ej2dfdr_hCJ==J_^2x(e-l)dr-FC]=/(2词-2--/+0

limy(z)

其中C为任意常数.由上述表达式可知，并不是对于任何常数C,I都存

1加(2]音-2F—x2+C)

在，存在的必要条件是I=0,即C=2.当C=2时，

21cz-26r-x2+2

对应的y(x)记为yo(x)=/

,x1.21一一21一/+2洛必达法则山口一2z一12-1_0

limvo(x)=hm---------5---------^_==hm----z-lim.

J—u.

LOLVJC"l。乙工-*°【

知识点解析：暂无解析

19、补充定义使yo(x)在x=0处连续，求y'o(x),并请证明无论x#)还是x=0,

y'o(x)均连续，并请写出y'o(x)的表达式.

,nW0,

ya(JT)=«

Mr=0.

7o(O)=lim^J)-°=lim2VT+2

J>x-0I)

洛必达法则一2z=],2(——D=Z_

标准答案：令"3/3/3,而当

x#)时，

)，(工)=2J>2♦-4/丁-I-4cz-4

limy'。⑺=lim%+4〜4一洛必佳线则一lim君=/

r*oL。JTD6JT3k7

所以

limy'。(工)=y(O)

oy，o(x)在x=0处连续.又显然，y'o(x)在存0处也连续，

2x2—4x6^4-4^—4,

-------------p--------------,0,n

y'o("=<

-«x=0

故无论xrO还是x=0,3均连续.

知识点解析：暂无解析

(1-4-r)x(1+上)V4

20、设x>0,证明：\工)、，且仅在x=l处等号成立.

(1+JT)+(1H—--)V4

标准答案：先证明当OVxVl时，V工).令

F(x)=小1(1++)++山(1+/一2足2,有尸6=0.

FQ)=山(1+十)一壬]一土山(1+/)+又士/尸⑴=0,

尸Cr)=知水1+/一会注V1

Cr+1)2」记

ln(l+z)一学空转，有60)=0,/(x)=7(-^Jryr■

嗔x)=Cr+l)zrr(x+lY有嗔o)=o,V

zCr-1)

(x)=tr+l)3所以当ovxVl时,中，(x)V0.从而知，当OVxVl时,(p(x)<

O,即有F"(x)VO.囚F'(1)=0,所以当0Vxy时，F'(x)>0.又因F(D=

0,所以当F(x)<0,从而知当

(l+x)-(14--),<4.1

上式中令u=X故知当1VuV+8时,

(1+9)"(1+U)i<4(1+幻+(1+十y

'又当x=l时,=4,所以当0

x

(1+JT)(1H---)

VxV+8时，有ST，1当且仅当X=1时等号才成立.

知识点解析：暂无解析

三+4+M=1

21、设点M《,n，G)是椭球Gia?//上第一卦限中的点，s是该椭

球面在点M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧.求点c，n，，)使曲面

I=dydz+ydzdr+zdxdy

积分s为最小，并求此最小值.

标准答案：曲面杼/=1上点M《，”，,)处的法向量为n=口，切平面方

程是化简即得=1.该切平面被三个坐标面截得的三角形在.xOy平面上的投影区

域为从而所以I=,0<&Va,0<n<6,OVgVc.求I的最小值等价于求W=

勺，OR

知识点解析：暂无解析

回答下列问题

22、设A,B均是n阶方阵，A的主对角元素之和称为A的迹，记成lr(A).证明

AB和BA有相同的迹；

.■■

故tr(fiA)=2如许1+X坛乐2++》风(1口

尸1>=i>-1

=:即%+*42%4--------卜/血=S£aQv~S七%九

j,l『11!•!1I，=1

(**)

对换，(**)：f对换).

i-it-1j-1

得证tr(AB)—tr(BA).

知识点解析：暂无解析

23、设A,X均是2阶方阵，E是2阶单位阵，证明矩阵方程人乂一乂人=£无

解.

标准答案：法一利用(I)的结论，因lr(AX—XA)=tr(AX)—lr(XA)=O#r(E)=

A=『ia2],x=「n4]

2.故AX—XA=E无解.法二设一L6&」'L%3占」则AX—XA

。211+。4工2一

~a\X\+。213Q]工2+。2心a\X\+a3x2

_。3工1+4Z3。3%2+。474H£11X3+。34。2口+。4力-

M/3-*]=「R=E

*。312一。2工3」L01_从而

/02彳3-外仙=1，

1。3及一=1，两式相加得0=2是矛盾方程.故原方程组无解.

知识点解析：暂无解析

回答下列问题

24、设f(X|,X2,X3)=*+2忌+6忌一2为乃+2©73-6死23,用可逆

线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换.并说明二次型的对应矩阵

A是正定矩阵；

标准答案：将f(xi，X2,X3)用配方法化为标准形，得

2

,彳2,13)=宕+2#+6xf-21工2+2xiX3—6x2X3=(©—x?4-X3)4-xf+5JS_

2

=(xi—xz4-X3)(x224)2I

11-12+g=»，i=y+x+g，

令《x2—2T3=义，即<工2=»+2g»

4="，I=>3，

得f的标准形为/(为'”2U3)=乂+/+工,所作的可逆线性变换为x=Cy,

•11r

012

其中C=Lo01」A对应的二次型的规范形为Y+y+/，正惯性指数P=3

=r(A),故知A是正定矩阵(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明A

是正定矩阵).

知识点解析：暂无解析

-1-11-

-12-3

25、设A=L1-36-求可逆矩阵D,使人=足口.

ri-iin

~12-3

标准答案：法一由(I)知，A=L1-36」是以1，X2,X3)的对应矩阵,即

-1ir

012

f(xi，X2>X3)=XTAX.♦x=Cy,其中C=.0°L,f=xTAx=yTcTACy=

yTEy,故cTAC=E,A=(C1)TC-1=DTD,其中D=C“.由(C|E)=