近世代数期末考试试卷及答案1

抽代试题2

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个

备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、

多选或未选均无分。

1、设G有.6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c）是子群。

A.B.C.D.

2.下面的代数系统（G*）中，（D）不是群

A.G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法

C.G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法

3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（B）

A.a*b=a-bB.a*b=nax{a,b}C.a*b=a+2bD.a*b二|a-b|

4、设、、是二个置换，具中=(12)(23)(13),=(24)(14),=

(1324),则=(B)

A.B.C.D.

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（A）。

A.不可能是群B、不一定是群

C.一定是群D.是交换群

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正

确答案。错填、不填均无分。

1.凯莱定理说：任一个子群都同一个--变换群------同构。

2.一个有单位元的无零因子-交换环一.称为整环。

3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于一一25-0

4.a的阶若是一个有限整数n,那么G与一模n剩余类加群--同构。

5.A={1.2.3}B={2.5.6}那么AnB=—{2}-。

6.若映射既是单射又是满射，则称为一一双射------------o

7、叫做域的一个代数元，如果存在的——使得。

8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为一-右单位元------o

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足

对于乘法封闭；结合律成立、——消去律成立一一。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是一交换环--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1.设集合A={1,2,3}G是A上的置换群,H是G的子群,H={I,（12）},写出H狗所

有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则"”是E中的运算，（E,）是一

个代数系统，问（E,）是不是群，为什么？

3.a=493,b=391,求（a,b）,[a,b]和p,qo

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、若＜G,*＞是群，则对于任意的a、b^G必有惟一的x£G使得a*x=b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a~b当且仅当mIa

-bo

近世代数模拟试题三

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个

备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、

多选或未选均无分。

1.6阶有限群的任何子群一定不是（）。

A.2阶B.3阶C.4阶D.6阶

2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。

A.4个B.5个C.6个D.7个

3.有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A.偶数B.奇数C.4的倍数D.2的正整数次幕

4.下列哪个偏序集构成有界格()

A.(N,)B、(Z,)

C.({2,3,4,6,12),|(整除关系))D.(P(A),)

5,设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么，在S3

中可以与(123)交换的所有元素有()

A.(1),(123),(132)B.12),(13),(23)

C.（1）,（123）D.S3中的所有元素

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空

格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1.群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果是与间的----映射，是的一个元，则

3、区间［1,2］上的运算的单位元是------o

4.可换群G中|a|二6,|x|二8,则|ax|二------------------

5.环Z8的零因子有---------------------。

6.一个子群H的右、左陪集的个数--------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的--------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的

9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1.用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项

链？

2、S1,S2是A的子环，则S1GS2也是子环。S1+S2也是子环吗？

3.设有置换，。

1.求和；

2.确定置换和的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共

25分）

1.一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-l的充分必要条件是aba=a和ab2a=eo

近世代数模拟试题一参考答案

一、单项选择题。

1.C；2.D；3.B；4.C；5.D；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1.:2.单位元；3.交换环；4.整数环；5.变换群；6.同构;7、零、-a；8、S二I

或S二R；9、域;

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：

CF=(1653)(247)(8)r=(123)(48)(57)(6)

可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：

o-=(13)(15)(16)(24)(27)r=(13)(12)(48)(57)

2.解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。

若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对

称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0,即：，，所以，表示

法唯一。

3.答：(，)不是群，因为中有两个不同的单位元素0和小

四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)

1、对于G中仟意元x,y,由于，所以(对每个x,从可得)o

2.证明在F里

ab1=b，=—(a,bGR,bw0)

b

有意义，作F的子集

°显然是R的一个商域证毕。

近世代数模拟试题二参考答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。

1.C；2.D；3.B；4.B；5.A；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1.变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、

不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

1.解:H的3个右陪集为：{I,(12)},{(123),(13)},{(132),(23)}

H的3个左陪集为：{T,(12)},{(123),(23)},{(132),(13))

2.答：(E,)不是群，因为(E,)中无单位元。

3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：

a=b+102

b=3X102+85

102=1X85+17

由此得到(a,b)=17,[a,b]=aXb/17=11339<)

然后同代：17=102-85=102-(b-3X102)=4X102-b=4X(a-b)-b=4a-5b.

所以p=4,q=-5.

四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)

1.证明设e是群〈G,*>的幺元。令x=a—l*b,则a*x=a*(a—l*b)=(a*a—

l)*b=e*b=b。所以，x=a—l*b是a*x=b的解。

若x(£G也是a*x=b的解，贝Ux(=e*x(=(a—l*a)*x(=a—1*(a*x()=a—l*b

=x。所以，x=a—l*b是a*x=b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记

为Zin,每个整数a所在的等价类记为［a］=｛x£Z；m|x-a｝或者也可记为，称

之为模m剩余类。若mIa-b也记为a三b（m）。

当ni=2时，Z2仅含2人元：［0］与［1］。

近世代数模拟试题三参考答案

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个

备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、

多选或未选均无分。

1.C；2.C；3.D；4.D；5.A；

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正

确答案。错填、不填均无分。

1.唯一、唯一；2.；3.2；4.24；5.；6.相等；7、商群；8、特征；9、；

二、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用

黑白两种珠子，分类进行计算：例如，