考研数学一（高等数学）模拟试卷268

考研数学一（高等数学）模拟试卷268

一、选择题（本题共7题，每题7.0分，共7分。）

Jim----------------------=A#0

一(1+工)_(1+工)

1、极限'工)'工)的充要条件是()

A、a>l

B、a#l

C、a>0

D、与a无关

标准答案：B

知识点解析：令

—=£,则

x

lim.一1=u

lb0+工y_(1+JL)舌(1+力[(1+f)i_]]

i.sint1,,i、

=hm7-----=——-(aW1).

t-o(a—\)ta-1

,/、1smKX

J<x)=门-_।---r

2、㈠""DI无界的一个区间是()

A、(—co,—1)

B、(-1,0)

C、(0,1)

D、(1,+oo)

标准答案：C

知识点解析：

lime+=+8,lim映-早=穴.lim"--=-1.所以limf(x)=-8,

…c+…O*"I10+Z—1-Q+

因此f(x)在区间(0,1)内无界.其他三个区间内f(x)都是有界的.

3、在区间［0,8］内，对函数八1）二病

'罗尔定理（）

A、不成立

B、成立，并且f(2尸0

C、成立，并且f(4)=0

D、成立，并且r(8)=0

标准答案：C

知识点解析：因为f(x)在［0,8］上连续，在(0,8)内可导,且f(0)=f(8),故f(x)在

c”、8-2工八

f(X)=-3—=0,

［0,8］上满足罗尔定理条件.令3y(8x-x2)2得「(4尸0,即定

理中的自可以取为4.

』m.)二普=-1,

4、若f(x)在xo点至少二阶可导，且l/包一4)则函数f(x)在x=xo

处()

A、取得极大值

B、取得极小值

C、无极值

D、不一定有极值

标准答案：A

知识点解析：由于则存在3>0,当0<|工-

f(1)—/(%)〈°,

2

xolvb时，(X-ar0)'由于(x-xo)2>O,于是f(x)-f(xo)VO,所以

f(x0)>f(x),X］为极大值点.故选A.

5、设f(x)连续，f(0)=l,f(0)=2.下列曲线与曲线产f(x)必有公共切线的是()

A、y=foxf(t)dt

y=l+foxf(t)dt

C、y=fo2xf(t)dt

D、y=l+fo2xf(t)dt

标准答案：D

知识点解析:曲线y=f(x)在横坐标x=0对应的点(0,1)处切线为y=l+2x.选项(D)

中函数记为产F(x).由F(0)=l,FX0)=2f(0)=2,知曲线y=F(x)在横坐标x=0对应点

处切线方程也为y=l+2x.故应选D.

6、设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，L为D内由

线，则曲线积分kPdx+Qdy与路径无关的充要条件为()

J(翁得晒=0

A、Pdx+Qdy是某一函数的全微分

B、JcPdx+Qdy=O,其中C：x2+y2=l在D内

J(.一1)也的=0

c、

0(患一*)业dy=0

D、D

标准答案：A

dP_HQ

知识点解析：在单连通域D中，a?-ax<=>^Lpdx+Qdy在D内与路径无关

<=>^cPdx+Qdy=0,其中C为D内任意闭曲线<=>Pdx+Qdy为某一函数的全微

分.故选A.

7、。是由x2+y2=z2与z=a(a>0)所围成的区域，则三重积分。(x2+y2)dv在柱面坐

标系下累次积分的形式为()

A、10，丽0，制『「2dz

B、Jo2，ld9foardrJoar2dz

C>foHdOfoardrfoar2dz

27ta2

D、fod0rdrfrrdz

标准答案：D

知识点解析：被积函数中出现x2+y2.积分区域的边界曲面方程中含有x?+y2.一

般说来利用柱面坐标系计算三重积分较为简便，这是因为柱面坐标变换中有

X2+y2=r2.C在xOy面上的投影域Dxy={(x,丫)*+/％2)用极坐标可表示为

Dre={(r,0)I0<r<a,0<0<2TI).C的上、下边界曲面方程为z=a,z=r,故

(x2+)2)九=JTr2•rdrcWdz

型=仔兀耐(Add*2dz.

二、填空题(本题共70题，每题1.0分，共10分。)

8、设f(x)是连续函数，且吩3-1他)&=乂,则f(7)=.

1

标准答案：丫=兀］()兀($1"+1)2(1*=12

知识点解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导.等式两边对x

11

y(7)=­.

求导得f(xX-l).3x2=l,f(x3-1)=3丁令x=2,即得12,

「典分别为火力与工

9、设y(c),J个原

•[失=-1,且、(0)=1,并设limy(x)=0.

y(z)dr

Jl2

函数，又设则

y(x)=.

标准答案：e-

\y(x)dx・f-^-rdr=-1,有「-^dx=------------.

JJ心)J心)L(x)dx

知识点解析：由J两边

对x求导，得所以y2(x)=[fy(x)dx]2,y(x)=±Jy(x)dx,

d]"limy(x)=0,

5=±y(x).所以y二Ce士x.由题设y(O)=l,知C=l.又因为广+。

故，，土，，取“一，，.所以丫二4*.

10、过三点A(l,1,-1),B(-2,-2,2)和C(l,-1,2)的平面方程是

标准答案：X—3y—2z=0

知识点解析：所求平面法向量可取为产虎X衣=(-3,-3,3)x(0,-2,

3)=(-3,9,6),或取n=(l,—3,~2).又平面过点(1,I,一1),从而所求平面

方程为(X—1)—3(y—1)—2(z+l)=0,即x—3y_2z=O.

(a^b)=3则lim-+H匕山

11、设a,b是非零向量，且IbI=1及4l。工

标准答案：2

知识点解析：

a+#|一|a|_(|a♦rb|-|a|)(ia+H|+|a|)

xz(Ia+H|+|aI)

_(a+♦力)・(a+u-)一|a

x(|a+_r6|+|a|)

_2m・b+/|-12

x(|a+H|4-|a|)'

所以]im=lim,支出I；="二cos7=c。宁=螟

LOx»oIaxb14-1a\21al42

—sin(x2V)»xv

/(x,y)=工V

12、设°，到=°，则f/(0,1)=

标准答案：1

知识点解析：

,-.、—sin[(Ax)2]

/：(0,1)=lim八°十51)一八°」1=lim------=1.

J2-0日工A-ozlr

§

13、设Z是球面x?+y2+z2=a2(a>0)的外侧，则工

xy2dydz+yz2dzdx+zx2dxdy=.

言/

标准答案：5

知识点解析•：设Q为球面X?+y2+z2=a2所围闭区域，由高斯公式得

LZJ2dydz+yz2dzdj+zx2(Lcdy=JJ(JT2+yH-z2)dv=Jj'r2•r2sin(f)drd(pdd

1n

=心心in/dr=

14、设a为正常数,的敛散性为

标准答案：发散

001小反收敛,若笆色对收

22_发散,sinan

知识点解析：因3

敛，所以原级数发散.

f(x)=­

15、函数z展开成的x—l的事级数为

标准答案：§(-Dn(x-ir,0<x<2

知识点解析：因

UO

1X(一<T<I.故工=12(-D"(工一1尸,

1+工*=04…。

-Kx-Kl即0<x<2.

16、微分方程3extanydx+(I-ex)sec2ydy=O的通解是.

标准答案：tany=C(eX—l)3,其中C为任意常数

2dL-1r

知识点解析：方程分离变量得tanjeJ-1积分得intanIyI=31nIex-

1I+lnCi.所以方程的通解为tany=C(eX—1)3,其中C为任意常数.

17、以y=cos2x+sin2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是_____.

标准答菱：y"+4y=0

知识点解析：由特解y=cos2x+sin2x知特征根为口.2二±21,故特征方程是

r2+4=0,其对应方程即尸+4y=0.

三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)

18、设函数f(x)在［a,b］上连续，xi，X2，…，Xn，…是［a,b上一个点列，求

lim/-

标准答案：本题考虑使用夹逼准则.由f(x)在［a,b］上连续，知/X)在但，b］上非负

连续，且0<m"f(x&M,其中M,m分别为e*x)在［a,b］上的最大值和最小值，于

o<771<—&M,

是.〃K故

行&加.

由lim沟=lim沟=1，根据夹逼准则，得lim上£>/口=1.

内-8Hi8■—8N"A.I

知识点解析：暂无解析

x3sin-,x01

叭工)=《n

19、设⑹”=°，又函数f(x)可导，求F(x尸f［(p(x)］的导数.

［/("sin'),“工0,

标准答案：匕(°)，彳=0,当x翔时，用复合函

F(z)=ff(x3sin-W3x2sin——xcos-)；

数求导法则求导得'N八1才,当X=0时

，⑹=Hm史立二叁=0.

(分段点)，(p(0)=0,a。工又f(x)在x=0处可导，于

是根据复合函数的求导法则，有F，(o)=r(o).俏(0尸o.所以

,J3sin-)(3/sin十一xcos5)，^0,

10,1=0・

知识点解析：暂无解析

20、设函数f(x)在［-2,2］上二阶可导，且If(x)I<1,又［(0)十［「(0)产=4.试

证：在(一2,2)内至少存在一点。使得熊)+『‘©=0.

标准答案：由拉格朗日中值定理有f(0)—f(—2)=2「&),-2<4i<0,f(2)一

Wx)=2F&),0V%V2.由If(x)I<1知

I八Gl=IfW-卢划<b|八&)I=■⑵—!<1.

L4

令(p(x)=F(x)+［f(x)］2,则有(p《］)W2,(p(42)<2.因为(p(x)在［&,及］上连续，且

<p(0)=4,设(p(x)在因,如上的大值在乐&,女)U(—2,2)处取到,则(pC)N4，且

(p(x)在因,如卜可导，由费马定理有：(p，©=0.即2优)f(2+2?©f熊)=0.因

为lf(x)|$L且诞巨4,所以「«)翔，于是有熊)+『@=0,眄-2,2).

知识点解析：暂无解析

21、已知f(x)二阶可导，且f(x)>0,f(x)fXx)-[f(x)]2>0(xeR).⑴证明f(xi)一

,2作+22)

f(X2)>\2/(X],X2GR)；(2)若f(0)=l,证明f(x)Nef(o)x(xER).

标准答案：(1)记g(x)=lnf(x),则

fix')『(X)—[/(j)J2

[7^7》0,故

g(©)+g(M)/X)+亚\

~2-

即/(为)/(川2/2(耳1卫).

,乙1(2)

g⑺一⑹+/(。丘+增/2="。)+儒--)/；*二口初1)八())“

即f(x)>ef(o)x.

知识点解析：暂无解析

22、求心形线r=a(l+cosO)的全长,其中a>0是常数.

标准答案：r’(。尸一asin。，

ds=JX+(r')2d£=a>/(.1+cosO')24-(—sinS'>2A9=2acos-dO.

s=2[2acos名曲=8asin1=8a.

由对称性得J。22Io

知识点解析：暂无解析

2

23、求(2x+1)+1

标准答案：设x=tanu,则dxuse/udu,

________d〃cosudu

原式=

cosu•(2tan2u+1)J2sin2u+cos2u14-sin2u

=arctan(sin〃)+C=arctan|,+C.

\V1-Fx

知识点解析：暂无解析

24、设函数y(x)(x20)二价可导且y，(x)>0,y(O)=l.过曲线y=y(x)上任意一点

P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积

记为Si，区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为

1,求此曲线y=y(x)的方程.

标准答案：曲线y=y(x)上点P(x,y)处的切线方程为Y—y=yl(X—x).它与x轴的

]一当0).

交点为39由于y'(x)>0,y(0)=l,从而y(x)>0,于是

1

S]=丸.

2y①x

2y又S2=foy(t)dt,由条件2S1—S2=1知

4—y(，)df=1.(*)

y

Jo两边对X求导

yp=z>2»

并化简得yy''=(y')2.☆p=y1则上述方程可化为dy从而

?=织解得P=Gy,即半=Gy

pydi于是yfC|X+C2.注意到y(o)=i,并由

(*)式得y'(0)=l.由此可得Ci=l,C2=0,故所求曲线的方程是y二ex.

知识点解析：暂无解析

25、某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销

售收入R(万元)与电台广告费X](万元)及报纸广告费用X2(万元)之间的关系有如下

经验公式：R=15+14xi+322x2-8xiX2-2xi2—10x22.(1)在广告费用不限的情况

下，求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策

略.

标准答案：（1）利润函数为Z=f（X],X2）=15+14X2+32X2—8X2X2—2x12-10X22—

（X2+X2）=15+13x]+31X2-8x]X2-2x]2—

=13-8X-4xi=0,

Hz12X\=0.75»

令《解得

=1.25.

-T--=31-8为-20X2=0,

10X22.,0X2函数Z=f(X|：X2)

在点（0.75,1.25）的二阶导数为

A=学=­4,B=3包品-=-8,C=驾=-20.

5如也常由于B2—AC=64—

80=-16<0,A=-4<0,所以函数x=f（xi，X2）在（0.75,1.25）处达到极大值，

也即最大值.所以投入电台广告费0.75万元，报纸广告费1.25万元时，利润最

大.（2）若广告费用为片5万元，则需求利润函数z=f（x”X2）在X1+X2=1.5时的

条件极值.构造拉格朗日函数.F（xi，X2，1）=15+13XI+31X2—8x]X2—2x]2—

(HF

4q—8q+13十久—0,

=—8a?|-20JT2-I-31+A=0,

jj+电—1・5=0,

10X22+X(XI+X-1.5),由方程组［以

2解得

x2=0,x2=l.5,即将广告费1.5万元全部用于报斑广告，可使利润最大.

知识点解析：暂无解析

26>设L为圆周x?+y2=4正向一周，求I=0Ly3(jx+I3y—x2Idy.

标准答案:iHIi=^ty3dx,I2=^LI3y—x2Idy.对于h直接用格林公式.记

D={(x,y)Ix2+y2<4},有h=0Ly3dx=吆=~3f()27rd0f()2r3sin20dr=-12TI.然

x-工.5-

后求3参数式.ADB!x=2cost,y=2sim,I从ER'比A（同前所述，[从

出到学（如图1.6-11）.

6o

[2=fz^(3y-/)打+匚(jr—3y)dy

JADBJHCA

Un

=(6sint—4cos2/)♦2costdt+(4cos21—6sint)•2coszdz

2(12sintcost—8cos3/)dr=0.

所以I=I］+12=-127r.

知识点解析•：暂无解析

r/________

A2

P（x9y）=—r,Q（工,y）=—，其中厂=+y>

27、设函数》y若曲线积

分'Pdx+Qdy在区域D=｛（x,y）Iy>0｝上与路径无关，求参数人.

标准答案：区域D为单连通区域，P（x,y）,Q（x,y）在D内有连续的偏导数，故

kPdx+Qdy在D上与路径无关<=>

翁=春（3）£D.

M=-络―•丁：，=-络」事/T,

〃yy&2+_2y2y2

望=­JyrA4"-ArA-1•-=-—rA4-x^rx~2

力yyqf+丁丁

又%=挛，即一与〃_当厂I=_丢〃+如I.

Hzdyyzy2y2

简化得xrqxy%L2十x%L2=o,J+y2底x2入=0,又/="+力,得［=一1・

得x=-1.

知识点解析：暂无解析

28、（1）求函数项级数6*+2/2乂+…+慎一般+…收敛时x的取值范围；（2）当上述级

数收敛时，求其和函数S（X）,