近世代数练习题(附答案)

《近世代数》练习题(附答案)

一.选择题

L设是实数集.则对任意的.代数运算)

(A)适合结合律但不适合交换律(B)适合交换律但不适合结合律

(0不适合结合律和交换律(D)适合结合律和交换律

2.在群中，,的阶为12.则的阶

(A)12(B)3(04(D)6

3.在7次对称群中和，则等于(A)

(A)(1376524)(B)(137)(6524)(C)(65)(24137)(D)(1746253)

4.在一个无零因子环中,,对加法来说，有(C)

(A)。的阶的阶(B)。的阶〉〃’的阶

(C)。的阶=/的阶(D)/的阶〉/的阶

5.设为整环中素元,则下列正确的是(D)

(A)〃为零元(B)〃为单位(C)〃有真因子(D)〃仅有平凡因子

6.假定是与间的一一映射，.则和分别)

(A)a(B)无意义，a(0无意义，无意义(D)a,无意义

7.在群中..则方程和分别有唯一解)

(A)haa~]b(B)a~]h,ba~'(C)b~'a,a~xh(D)a~]b,ab~}

8,设是正整数集.则对任意的.下面“。”是代数运算的是・・・.)

(A)ab=—(B)ab=ah(C)ab=a+b-2(D)ab=ab-2

9,设是实数集.代数运算是普通加法，下列映射是的自同构的是・・・.)

(A)Xf(B)%—>sinx(C)x—>|x|(D)x——5x

10.在偶数阶群中阶等于2的元数)

(A)奇数(B)偶数(C)1(D)不可确定

在5次对称群中元和的乘积是(D)

(A)(14)(25)(B)(124)(C)(152)(D)(142)

12.若群的阶为48,的真子群的阶不可能为C)

(A)12(B)16(C)18(D)24

13.群中元的阶为24中，那么的循环子群的阶为(C)

(A)3(B)4(08(D)9

14.在一个环里如果有一个消去律成立，那么下面不正确的是(B)

(A)另一个消去律也成立(B)R中非零元都有逆元

(C)R是无零因子环(D)R中非零元对加法的阶都一样

15.假定是一个域，则一元多项式环一定是(A)

(A)欧式环(B)除环(0域(D)无法确定

16.设为唯一分解环中单位,是中任意元,则下列正确的是(B)

(A)马十邑也是单位(B)4,邑互为相伴元

(0G，&都是。的真因子(D)a有唯一分解

17.一个30个元的域的特征可能是(A)

(A)5(B)6(010(D)15

18.假定域与同态，则是(C)

(A)域(B)整环(0环(D)除环

19.若是一个唯一分解环,且和(其中都为素元)，则下列说法正确的是

D)

(A)(B)

Pi与5互为相伴元PT与/互为相伴元和p2与%互为相伴元

(C)与%互为相伴元(D)Pi与q,互为相伴元或p、与%互为相伴元

20.假定和是整环的两个主理想，若，则(A)

(A)〃是。的相伴元(B)〃与。互素(C)〃是。的真因子(D)b\a

21.｛所有整数｝，令：，当是偶数；，当是奇数.则为(B)

(A)单射变换(B)满射变换(C)——变换(D)不是变换

22.若，且的阶为有限整数，则下列说法正确的是(A)

(A)G与模〃的剩余类加群同构(B)G的阶可能无限

(0元。一2“尸,。。,"「..,优-2中没有相同元⑴)G与整数加群同构

23.若是一个特征为有限整数的无零因子环，且，则(D)

(A)(B),其中为素数

(0存在R中元c的阶为无限整数(D)R对乘法成立两个消去律

24.设是有理数集.则对任意的，下列“。”是代数运算的是.・・.)

(A)。b=b^i+lb2(B)〃b=；(C)ab=a2-ab-^-b2(D)ab=[0(,4h

25.在群中..则方程的唯一解.....)

(A)abca{b1(B)bca力lb1(C)a'bla'be(D)axbcaxbA

26.在6次对称群中的阶是(A)

(A)5(B)24(012(D)6

27.除环有理想(C)

(A)4个⑻1个(02个(D)无穷个

28.假定是一个域，则一元多项式环一定是(B)

(A)除环(B)欧式环(0域(D)无法确定

29.若是一个域，不正确的是(B)

(A)。是交换除环(B)。对乘法作成群

(0。无零因子(D)。中不等于零的元都有逆元

(A)30.若是主理想环，是中素元，且则(C)

(B)主理想(p)不是/的最大理想(B)。没有唯一分解

(C)若〃I而，有〃I。或pIb(D)〃[p)不是域

31.设是实数集.则对任意的.代数运算.・・・.)

(A)适合结合律但不适合交换律(B)适合交换律但不适合结合律

(0不适合结合律和交换律(D)适合结合律和交换律

32.设是有理数集.则对任意的，下列是代数运算的是)

(A)ab=a+b2(B)«b=—(C)ab=b>[a(D)ab=\0a

a

33.在群中..则方程的唯一解....)

(A)cibax(B)a-时(C)b/b"(D)a"

34.在5次对称群中的阶是(B)

(A)2(B)3(C)4(D)5

35.除环有理想(C)

(A)4个(B)1个(C)2个(D)无穷个

36.假定是一个整环，则一元多项式环一定是(A)

(A)整环(B)除环(0域(D)无法确定

37.在16阶循环群..循环子群的阶.......

(A)6(B)3(C)4(D)8

38.一个有8个元的域的特征是(A)

(A)2(B)4(C)6(D)8

39.设为整环中素元，则下列正确的是(D)

(A)〃为零元(B)〃为单位(C)〃有真因子⑴)〃仅有平凡因子

40.若群的阶为48,的子群的阶为16,则在中的指数为(C)

(A)1(B)2(03(D)4

41.设是实数集.则对任意的.代数运算.・・・,)

(A)适合结合律但不适合交换律(B)适合交换律但不适合结合律

(0不适合结合律和交换律(D)适合结合律和交换律

42.设是有理数集.则对任意的，下列“。”是代数运算的是・・・.)

(A)ab=b\/a(B)ab=—(C)ah=a+b2(D)a〃=10“

a

43.在群中..则方程的唯一解....)

(A)aba-1(B)(C)小(D)baxb-x

44.在5次对称群中的阶是(B)

(A)2(B)3(04(D)5

45.除环有理想(C)

(A)4个(B)1个(C)2个(D)无穷个

46.假定是一个整环，则一元多项式环一定是(A)

(A)整环(B)除环(C)域(D)无法确定

47.在16阶循环群,.循环子群的阶....

(A)6(B)3(C)4(D)8

48.一个有8个元的域的特征是()

(A)2(B)4(C)6(D)8

49.设为整环中素元，则下列正确的是(D)

(A)〃为零元(B)〃为单位(C)〃有真因子(D)〃仅有平凡因子

50.若群的阶为48,的子群的阶为16,则在中的指数为(C)

(A)1(B)2(03(D)4

二.填空题

1.设-是集合4的元间的一个等价关系，那么-满足反射律、对称律、推移

律.

2.若G为群，a,0,cwG,则(〃兀-2。-%尸=C』C方'.

3.循环群的阶是50,则它的子群的阶是10.

4.群的中心是的一..・・不・・・・子群.

5.〃次对称群S”的阶为近_________.

6.假定那么ACI3二A_,A\JB=B_.

7.假定和同态.和同态.则和・・也同.......

8.在群中..则方程有唯一解..........

9.设集合的兀数为3,那么共有子集8个，的兀间的关系共有512

个.

10.若G为群，方程x~]ax=bx的唯一解为ba7.

11.一个有限非可换群至少含有..个元..

12.设~是集合A的元间的一个等价关系,那么〜满足自反律、对称律、推移律.

13.若G为群，a,。,cwG,则尸=讹2bl

14.5次对称群a的阶为120

15.若是环与的同态满射，则同态核中元都是中单位元的逆

象，且同态核是的一个理想

16.设是有单位元的交换环的一个最大理想，那么剩余类环是一个

域

17.在整数环中，理想等于主理想(1)

18.设为模9的剩余类环，那么的负元为，逆元为

[2]

19.设是17阶群，则的生成元有16个.

20.除环的最大理想是零理想.

21.设是模7的剩余类环，在多项式环中

22.设为模10的剩余类环，那么的负元为，逆元为

23.在整数环中，主理想当且仅当是的相伴元

24.设A={aJ\c},R={aRa,aRc,cRa,cRc}.那么由R决定的A的分类为

{a,c},矽}•

25.设是一个唯一分解环，那么多项式环是唯一分解

环.

26.设为模9的剩余类环，那么的负元为，逆元为

*

27.设是一个唯一分解环，那么的元的两个最大公因子和相差一个相伴

元.

28.若群的元的阶是15,的阶是&且，则和的阶分别是15和

120

29.在一个特征为p的无零因子的交换环R中，有〃为素数，且（〃+与，=

ap+bp.

30.若群的阶为60.的子群的阶为15,则在中的指数........

31.若是环与的同态满射，则对，它们的象分别为，则元的象

32.设是环的一个最大理想，那么包含的的理想仅有和.

33.在整数环中，理想等于主理想（7）

34.在唯一分解环中，若素元能整除，则必能整除中一个

元.

35.若是由集合的全体一一变换所作成.则是一..变....・群.

36.若R是有单位元的交换环，则R的主理想（〃）中的元有形式为IR.

37.Ko是畲单位元的交换环，x是扁的子环A上的未定元，则仅当

/=卬=L=%=0________________________

时,才有+%x+…+成立.

38.是一个有单位元的环.且，则在中必有一个元没有逆元.它......必有两个

元有逆元,它们..1和-.........

39.唯一分解环中的元和的两个最大公因子和只能差一个相伴

元.

40.设，.那么{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}.

41.若群G和集合G同态,则G是群,并且有G中元e和。-的象为G中元三和

a^.

42.在无零因子环中，如果对有.那么必..或....

43.群的元的阶是，若是整数和的最大公因子，则的阶是

44.在一个域Q中，若有，，三£0涉W0,八0,则:+三=_ad+bc_______.

bababa

45.设。是环R与户的同态满射，则。的核是环R的一个理想.

46.在整环中必有一个元没有逆元,它是0;必有两个元有逆元,它们是1

和-1.

47.整环/的元。是/[n的多项式/(工)的根，当且仅当能被—整除.

三.判断题

1.设，则能找到到的一一映射.・・•.)

2.无限群中的元的阶都无限.....)

3.除环的最大理想是单位理想....)

4.整环中的素元只能有有限个数的因子・・・,)

5.任何欧式环一定是主理想环，也一定是唯一分解环……)

6.为不等于零的实数的全体,那么普通除法适合结合律.・・・.)

7.有限群中存在某个元的阶无限....)

8.假定域与同态.则也是域.....)

9.整环中的单位同素元的乘积还是一个素元.....)

10.除环除了零理想和单位理想还有其它理想....)

1.四.解答题

2.用循环置换的方法写出三次对称群S,的全体元.说明集合N={⑴，(23)}是邑的子

群,并且写出N的所有左陪集.

解：S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},(2^)因为N是有限集合，由(1)⑴=(1),

⑴(23)=(23),(23)⑴=(23),(23)(23)=⑴知N是封闭的，所以N是邑的子群.4分)

N的全体左陪集为小分人

⑴N=(23)N={(1),(23)),(12)N=(132)7V={(12),(132)),(13)7V=(123)7V={(13),(123)).

3.求模6的剩余类环产的所有子环.

解：因为剩余类环是循环加群，

所有子环为主理想：..........

3.设是整数集，规定中元间的关系如下：

aRb<=>a=Z?(6)

说明R是A中元间的等价关系,并且写出模6的所有剩余类.

解：因为对任意的整数有

(1)反射律：与模5同余；(2分)

(2)对称律：若与模6同余，那么必有与模6同余；(2分)

(3)推移律：若与模6同余，与模6同余，那么必有与模6同余，

所以R是4中元间的等价关系.(2分)

模6的全体剩余类为6分)：

(0]={­..,-12,-6,0,6,12,...},=1,7,13,…},

[2]={••.,-10,-4,2,8,14,…},[3]={•••,-9,-3,3,9,15,…},

(4]={•.•,-8,-2,4,10,16,…},F5]={...,-7,-l,5,11,17,…}.

4.求出阶是32的循环群⑷的所有子群.这些子群是否都是不变子群.

解：因为(。)为循环群，所以(。)为交换群，

又因为32的所有正整数因子为：1,2,4,8,16,36.............(2分)

所以循环群的所有子群为循环子群：

,,,,...(8分)

并且这些子群都是不变子群.(10分)

5.设是整数环，请把的理想和的元列出来.

解：是整数环，理想和如下：

⑶0(4)={…,-9,-6,-3,0,3,6,9,・・}。{-,一12,-8,工0,4,8,12,・・}(2分)

={，-24,72,0.12,24,}（4分）

=（12）（6分）

(3,4)=(1)=Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3,}(10分)

6.设是模8的剩余类环，在一元多项式环中把计算出来，并求的导数.

解：R是模8的剩余类环

(1)([2]X34-[7]^-[3])([5]X2-X+[2])

332

川2][5江一⑵f+r21[2]x+r71f51x-f7U乙人)

,(J

+[7][2]X-[3][5]X2+[3]X-[3][2]

2

二[2卜’一⑵/+[4*+[3"_[7k2+[6]X-[7]X+[3]X-[6](3分)

=[2]X5-[2]X4+[7*-⑹/+x-f6](5分)

(2)多项式/(x)=X4-[4]X3+[5]X2-[2]x+[7]的导数为

/'3)=4[1]X3-3[4]X24-2[5]X-[2](2分)

7.找出对称群邑的所有子群.

解:因为，它的子群的阶只可能为：1,2,3,6.

所以它的所有子群为：

1阶子群d=Hl)}；(1分)

2阶子群，，；(4分)

3阶子群心虫⑴，(123),(132)}；(5分)

6阶子群S3={⑴,(12),(13),(23),(123),(132)}。(6分)

8.设是模9的剩余类环，在一元多项式环中计算，并求的导数.

解：R是模9的剩余类环

(1)([5]X+[2])(X2-[3]X+[4])

=[5]X3-[5][3]X2+[5][4U+[2]X2-[2][3]^+[2][4](1分)

=[5]^3-[6]x2+[2]尤+[2]/一伊卜+[8](2分)

=[5]X3-[4]X2-[4]X+[8](3分)

(2)多项式/W=[3]X4+[8]X3-[4]X2-[2JX+[6]的导数为

f\x)=4[3]X3+318]X2-2[4]X-[2](5分)

................(6分)

9.取对称群的元和，计算，・

解：，，，(或)(3分)

,]23456、

乃「万2=(15)(24)(165)=(24)(56),(或；巧二)(6分)

10.验证剩余类环的子集是它的一个子环，并指出的单位元是?

解：用加法运算表和乘法通算表验证即可

+roi⑵F41X⑵⑷

[0]10][2][4][0J10]10]10]

（2分）（2分）

⑵[2114][0]⑵[0][4|⑵

[4][4][0]⑵[4][0][2][4]

可.[4.是S的单位元

12.求剩余类加群Z18的所有生成元和所有子群.

解：因为剩余类加群是循环加群，

所以它的所有生成元为：；(3分)

所有子群为：............(6分)

13.设是整数环，则、是的怎样一个

理想？是的理想吗？为什么？

解：因为整数环是主理想环，所以

(2分)

(4,6)=(2)(3分)

同时，不是的理想,(4分)

因为如果有是的理想，那么

;;，矛盾......(6分)

14.验证对称群Sj的子集g={⑴,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}是它的一个子环.

解：用乘法表验证即可

(1)(12)(34)(13)(24)(14)(23)

(1)(1)(12)(34)(13)(24)(14)(23)

(12)(34)(12)(34)⑴(14)(23)(13)(24)(6分)

(13)(24)(13)(24)(14)(23)(1)(12)(34)

(14)(23)(14)(23)(13)(24)(12)(34)(1)

15.设是有理数域，假如是中不可约多项式的根，试把写成的多项式.

解：因为是中不可约多项式的根，所以

,(1分)

l-7a+2a2=2(a2-5a+7)+3a-13=3a-13(2分)

\+a-a2=-(a2-5a+7)-4a+8=-4a+8(3分)

1-7。+2a2(3a-13)(a-3)79

---------------------------=-a—(6分)

\-\-a-a~一4(。-2)(a-3)42

16.用循环置换的方法写出5次对称群的元和，并计算，，.

解：，(2分)

,(4分)

「12345、

乃匹=(53)(24),(或乃西2=)(6分)

4523,

(12345、

乃「％,2=(35)(24)(135)=(13)(24),(或巧一加」=)(8分)

'(34125)

.(或......(10分)

17.求出模48的剩余类加群Z,8的所有子群.这些子群是否是不变子群？

解：因为Z4s为循环群，所以Z,8为交换群，

又因为48的所有正整数因子为：1,2,3,4,6,8,12,16,24,48..(2分)

所以模48的剩余类加群的所有子群为循环子群：

([1]).(⑵)，(⑶)，([4]).(⑹).(⑻).([12]).([16]).([24]).([0]).(8分)

并且这些子群都是不变子群....................(10分)

18.设是模9的剩余类环，在一元多项式环中

(1)计算([3]x3+[5]x-[4])([4]X2-X+[3])

（2）求（7分）

=[3U5-[3]X4+[21A-3-[5]X24-[6]A-[7]X2+[4]X-[3]（3分）

=[3]x5-[3].t4+[2]x3-[3]x2+x-[3]（5分）

（2）多项式/（x）=[2]f-[3②+[7]f-%+[5]的导数为

........................（2分）

1.五.证明题

设群中元的阶为，试证：当且仅当.

证明：必要性：

设机=矽+厂，其中为整数，0<r<n,（1分）

rl,rr

那么有d=a"^=（a"）a=a=ef（3分）

由的阶为知，即.......（5分.

充分性：

由〃|相可设其中g为整数，（6分）

那么有（8分）

2,证明：设H是群G的指数为2的子群，那么“一定是不变子群.

证明：由题意知，的两个不同的左陪集为

的两个不同的右陪集为......（2分）

显然，ciH=Hb（4分）

若对任意的C£“，有cH=H=He;

若对任意的。兰H,有cH=aH=Hb=Hc,

3.所以是不变子群..........（8分）

4.证明：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环.

证明：设R是一个没有零因子的有限环且至少有两个元，由除环定义知仅需证明

*=R\{0}是一个乘群。

事实上R对乘法满足：（2分）

⑴R♦对乘法是封闭的，这是因为对任意有。。。力工0,所以

ab^O,abwR*;

（2）因为A对乘法满足结合律，所以*对乘法也满足结合律；

⑶因为是一个无零因子环，所以对乘法成立两个消去律，对乘法也满足消去

律.（8分）

由有限群定义知是一个乘群，所以是一个除环..

4.假定，是集合的两个代数运算，并且适合结合律.对适合两个分配律.证

明.

（《区仇）㊉（q㊉&住仇）㊉（生③区）

=（q区仇）㊉（生区々）㊉（《③/）㊉（生区优）

证明：左边=[6的也㊉4）]㊉[%位（4㊉优）]=（4〶骰）③（4©bQ（4分）

右边=[（〃]㊉生）g4]㊉[（%㊉。2）③“2]=（。1㊉%）③（/?]®b2）（4分）

所以左边二右边.

5.证明.一个循环置换的阶是.

证明:设尸=（i/，…/）为一』一循环置换,则在P=（，"，…,中经过上次置换

乘法有：

i|->i2f---》ikT♦，，2f”3f---->乙ff，2，…，（f%f>h-\fz\•

所以，同时可知当时，，即循环置换的阶是.

6•假定和是环的两个理想.证明：也是的理想.

证明：⑴对任意的。,〃€”1口“2，必有。,武”|和；再由坦和H2是环R

的理想知。-H]和”2，所以。-（5分）

⑵对任意的，必有且，再由和是环的理想可知对任意的，有和，

所以.（5分）

n

综上可知储H2也是R的理想.

7,证明.由所有复数（，是整数）作成的集合对于普通加法和乘法来说是一个环.

证明：（1）R对加法满足6分大

①R对加法是闭的，这是因为对R中任意的元q+仇，和/+"总、有

（%+/?1）+（a2+b2i）=

（q+。2）+（4+&）0并且（%+的）和（4+仇）还是整数;

②R有零兀0,这是因为对R中任意的兀a十人总有

0+（。+bi）=（0+。）+（0+b）i=（a+bi）;

③对R中任意的元a+bi，总有R中元-a-bi使得

（a+bi）+（-a-bi）=（a-a）+（b-b）i=0,因止匕一a-bi即为a+bi的负元.

（2）R对乘法是闭的，这是因为对R中任意的元q+Zy.和生+”»总有

（4+b1i）（a2+b2i）=（aia2-bxb2）+（atb2+a2b}）i,

并且（。］。2-2力2）和（。也+。2々）还是整数.（2分）

再因为复数对加法满足结合律，交换律；复数对乘法满足结合律；复数的乘法对

加法满足两个分配律，所以R对加法满足结合律，交换律；R对乘法满足结合律；R的

乘法对加法满足两个分配律.所以R对于普通加法和乘法来说是一个环.（2分）

8.若群的每一个元都适合方程，那么是交换群.

证明：任取，可知，（2分）

所以a=a\b=b\（4分）

ab-（而尸=/尸（尸=ba（7分）

所以G是交换群.

9.证明：一个循环群必是一个交换群.

证明：设循环群任取则有

（2分）

（7分）

所以循环群是交换群（8分）

10.假定是环的两个理想，证明也是的一个理想.

证明：任取，，因为是环的两个理想，（1分）

所以a—z?cA，a-beA2（3分）

arEA，arGA2

meA，raeA,（5分）

所以。一〃£人|仆4和〃,厂〃£/41。4（7分）

故也是的一个理（8分）

11.证明：任意整环中零元0和任意单位都没有唯一分解.

证明.用反证法：设零元有唯一分解，其中都是素元。因为整环是无零因子环,

所以必有某，这矛盾于是素元.........（4分.

设单位有唯一分解，其中都是素元。因为单位有逆元，所以

,即有逆元，是一个单位，这矛盾于是素元....（8分）

12.证明：有限群中元的阶都有限.

证明：设是一个有限群，对任意的，则元

3M…（2分）

都是中元，且其中一定有相同元............（4分）

不妨设，则有，即..........（6分）

由J-i>0且为有限正整数得a的阶为有限.

13.证明.阶为素数的群一定是循环群,且群中任意元都可作为群的生成元.

证明：设G是一个阶为素数〃的有限群，

则对任意的4£G,G的循环子群（〃）=｛仪3,〃2上…“｝有〃个不同的元，（4分）

所以G=3）为循环群，且群中任意元都可作为群的生成元.

14.假定是偶数环，证明是的一个理..

证明.是偶数环.，显然，所以是的非空子集..（2分）

同时A满足：

（1）对任意A,有。=44，/2=4勺其中弓与£R,

则有4-/?=44-4弓=4储-弓）£A;（5分）

（2）对任意A,re/?,有a=4、其中4£R,

则有和............（8分）

由理想子环的定义知是的一个理想.....（9分）

i.15.假定是集合的两个代数运算.证明：

ii.若。适合交换律，则ao（boc）=（cob）oa;

iii.若。适合交换律和结合律,则（。。〃）。（。。4）=［（d。々）。。］。〃.

证明：⑴若。适合交换律，贝11。。（力。，）=（方。。）。。=（。。〃）。々；&勿9

（2）若。适合交换律和结合律，则

（a。b）。（c。d）=（c。d）。（a。b）=»c。（d。a）］cb=｛（d。。）。c］。〃（4分）.

16.证明.和是群的两个不变子群,则交集还是群不变子群.

证明：⑴对任意的。，共,口修，必有。，人£名却。，力£“2；再由〃1和y是群6

的不变子群知淅1%和沂飞也，所以"一展“门也・（4分）

（2）对任意的，必有且，再由和是群的不变子群可知对任意的，有和

,所以.（4分）

综上可知又也是群的不变子群。

nH2G

17.证明:交换群中所有有限阶的元素做成的一个子群.

证明:设中所有有限阶的元素，

因为单位元的阶为1,所以是的非空子集.........（2分）

任取，设的阶为，的阶为，因为是交换群，

所以，...............（5分.

同时，，一所以是的子群...（8分）

18.设是循环群，并且与同态，证明也是一个循环群.

证明:设，是到的同态满射，且......（2分）

任取，必存在某，使得............（4分）

同时，因为，所以................（7分）

所以也是一个循环群....................（8分）

19.证明：一个环R的中心是一个交换子环.

证明:设是环的中心，显然，是环的非空子集（1分）

任取a.beZ,则对任意r£R有ar=ra,br=rb,

（a-b）r=ar-br=ra