湘教版高中数学必修第二册第3章复数3.1复数的概念教学课件

3.1复数的概念

第3章复数1.通过方程的解认识复数，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养.2.了解复数的代数形式，掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平要求.学习目标新知形成知识点一

复数的有关概念知识梳理名称定义表示方法备注复数形如a＋bi(其中a，b∈R)的数称为复数，其中___称为复数a＋bi的实部，___称为复数a＋bi的虚部，i称为_________复数通常用字母z表示，代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)规定i2＝－1复数集__________所组成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫作复数集通常用大写字母____表示当b≠0时复数不能比较大小ab虚数单位全体复数C点拨(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i；(2)a＋bi(a，b∈R)中，虚部是i的实数系数，不含i，不能说虚部为bi，也不能说虚部系数为b；(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是.

知识点三

复数相等设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔____________.点拨在两个复数相等的条件下，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立.a＝c且b＝d1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数. (

)(2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2. (

)(3)复数z＝bi(b∈R)是纯虚数. (

)(4)实数集与复数集的交集是实数集. (

)自主检测×××√2.设i为虚数单位，m∈R，“复数m(m－1)＋i是纯虚数”是“m＝1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件√复数m(m－1)＋i是纯虚数，则m＝0或m＝1，所以“复数m(m－1)＋i是纯虚数”不是“m＝1”的充分条件；当m＝1时，该复数为i，是纯虚数，“复数m(m－1)＋i是纯虚数”是“m＝1”的必要条件，所以“复数m(m－1)＋i是纯虚数”是“m＝1”的必要不充分条件.故选B.3.若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝A.4或0 B.－4或0C.2或0 D.－2或0√由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A.4.若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为___________.

返回合作探究探究点一

复数的概念(多选)下列命题不正确的是A.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B.若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋iC.若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2D.实数集是复数集的真子集典例1√√√对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数.对于A，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即A错误；两个虚数不能比较大小，则B错误；对于C，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则C错误；显然D正确.故选ABC.与复数有关命题的判断方法1.举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.2.化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部.规律方法对点练1.对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2C.若b＝0，则a＋bi为实数D.i的平方等于1√对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于C，若b＝0，则a＋bi＝a∈R；对于D，i的平方为－1.故选C.

典例2

1.复数a＋bi(a，b∈R)是零的充要条件是a＝0且b＝0.2.复数a＋bi(a，b∈R)为实数的充要条件是b＝0.3.复数a＋bi(a，b∈R)为虚数的充要条件是b≠0.4.复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.规律方法

(2)复数z是实数；解：若复数z是实数，则m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3，即当m＝1或m＝－3时，复数z是实数.(3)复数z是虚数；解：若复数z是虚数，则m2＋2m－3≠0，解得m≠1且m≠－3，即当m≠1且m≠－3时，复数z是虚数.

典例3

复数相等的充要条件

复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤是分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程(组)求解.规律方法对点练3.已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝A.2 B.3 C.－3 D.9√

典例4对点练4.已知i为虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2024＝A.1 B.i C.－1 D.－i√

返回随堂评价1.(多选)下列说法中不正确的是A.复数由实数、虚数、纯虚数构成B.若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0C.在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数D.若a，b∈R且a＞b，则a－i＞b－i√√√选项A错误，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错误，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错误，当a，b∈R时，a－i与b－i都是虚数，不能比较大小.故选ABD.

√

3.已知a，b∈R，若a2－b＋(a－b)i＞2(i为虚数单位)，则a的取值范围是______________________.(－∞，－1)∪(2，＋∞)

返回课时分层

√

2.已知a∈R，在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则A.a＝0或a＝2 B.a＝0C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2√因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.3.已知z1＝(m2＋m＋2)＋(m2＋m－5)i，m∈R，z2＝4－3i，则“m＝1”是“z1＝z2”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件√

√由题意得，集合M中的元素(m2－2m－3)＋(m2－5m＋6)i为实数，则m2－5m＋6＝0，解得m＝2或m＝3.当m＝2时，M＝{－1，4，－3}，此时所有元素之和为0，而集合N中的所有元素之积为1，不符合题意；当m＝3时，M＝{－1，4，0}，所有元素之和为3，符合题意.故选C.5.若复数z＝ai2－bi(a，b∈R)是纯虚数，则一定有A.b＝0 B.a＝0且b≠0C.a＝0或b＝0 D.ab≠0√z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得，a＝0且b≠0.6.若复数z＝(sinθ＋cosθ＋1)＋(sinθ－cosθ)i是纯虚数，则sin2022θ＋cos2022θ＝______.1

2

3

9.(15分)实数m取怎样的值时，复数z＝m－3＋(m2－2m－15)i是：(1)实数；解：若z为实数，则m2－2m－15＝0，此时m＝－3或m＝5.(2)虚数；解：若z为虚数，则m2－2m－15≠0，此时m≠－3且m≠5.

10.(15分)实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是：(1)实数；解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.(2)虚数；解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.当k2－5k－6≠0时，z