2027届高中数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第二节导数与函数的单调性教学课件

第二节导数与函数的单调性新课标要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性和导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．真题分布2025年全国Ⅱ卷T18(2)2024年全国甲卷(文)T1601.必备知识·回归教材

知识导图【重要结论】1．在区间(a，b)内，f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．2．f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间(a，b)内恒成立是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．3．若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件．回归教材1.(人教A版选修二P86例2改编)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(

)A.函数f(x)在区间(－3，0)上是减函数B．函数f(x)在区间(1，3)上是减函数C．函数f(x)在区间(0，2)上是减函数D．函数f(x)在区间(3，4)上是增函数答案：A解析：对于A，当－3<x<0时，f′(x)<0，则f(x)在(－3，0)上单调递减，故A正确；对于B，当1<x<2时，f′(x)>0，当2<x<4时，f′(x)<0，则f(x)在(1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故B错误；对于C，当0<x<2时，f′(x)>0，则f(x)在(0，2)上单调递增，故C错误；对于D，当3<x<4时，f′(x)<0，则f(x)在(3，4)上单调递减，故D错误．故选A.2．(人教A版选修二P97习题T1改编)已知f(x)＝1＋x－sinx，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是(

)A．f(2)>f(3)>f(π) B．f(3)>f(2)>f(π)C．f(2)>f(π)>f(3)

D．f(π)>f(3)>f(2)答案：D解析：f(x)＝1＋x－sinx，函数的导数f′(x)＝1－cosx≥0，则函数f(x)为增函数，∵2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)．故选D.

(－∞，0)

[－2，＋∞)

02.多元视角·拓展教材视角一含参函数单调性的讨论题型1一次含参型例1已知函数f(x)＝ax－1－ln

x(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．

学霸笔记：导数是一次函数或类一次kx＋b：(1)如果k是参量，讨论k与零的关系．(2)如果b是参量，讨论根与定义域的关系．

学霸笔记：导数是二次函数或者类二次函数形式(1)先看导数最高次幂前是否含参，有参讨论二次项系数是否为零，无参看开口方向．(2)再看导数是否可以因式分解，如果可以直接因式分解，如不可以，分Δ≤0和Δ＞0两种情况．(3)讨论两根大小．(4)讨论根与定义域的关系．

视角二已知单调区间求参数的取值范围例3(1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln

x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(

)A．e2 B．eC．e－1 D．e－2答案：C

答案：A

答案：B

学霸笔记：(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．此时应注意式子f′(x)≥0(或f′(x)≤0)中等号不能省略，否则会漏解．(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧f′(x)是否异号)．

答案：D

(2)(2026·深圳模拟)若函数f(x)＝ae2x－(2＋5a)ex＋5x在区间(1，2)上单调递增，则a的取值范围是________．

03.课时作业16

答案：D

2．函数f(x)＝2x2－a

ln

x＋7的单调递减区间是(0，2)，则a＝(

)A．16 B．6C．4 D．2答案：A

答案：D

答案：A

答案：D

答案：A

答案：D

当x，y，z∈(0，e)时，因为f(x)单调递增，所以f(x)>f(y)>f(z)⇔x>y>z，故A可能成立．当x，y，z∈(e，＋∞)时，因为f(x)单调递减，所以f(x)>f(y)>f(z)⇔x<y<z，故B可能成立．如图，当y>x>e>1>z时，f(x)>f(y)>f(z)，故C可能成立．当y>z>x时，若0<x<z<y<e，则f(x)<f(z)<f(y)，不符合；若0<x<z<e<y，则有f(x)<f(z)，不符合；若0<x<e<z<y，则有f(z)>f(y)，不符合；若e<x<z<y，则f(x)>f(z)>f(y)，不符合．所以当y>z>x时，f(x)>f(y)>f(z)不可能成立．故选D.

答案：C

9．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的部分图象如图所示，设函数g(x)＝e－xf(x)，则下列命题正确的是(

)A．函数f(x)先减后增再减B．函数f(x)先增后减C．函数g(x)在区间(a，b)上是减函数D．函数g(x)在区间(a，b)上是增函数答案：AD解析：对于AB，由题意可得，f(x)与f′(x)对应的图象如图所示，方法一直接观察f(x)的图象可以得出函数f(x)先减后增再减；

答案：AD

12．已知函数f(x)＝3ex－a

ln

x在(2，4)上存在单调递增区间，则a的取值范围为______________．(－∞，12e4)

当a>－1时，令g′(x)>0，则x<－1或x>a，令g′(x)<0，则－1<x<a，所以g(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(a，＋∞)，单调递减区间为(－1，a)；当a<－1时，令g′(x)>0，则x<a或x>－1，令g′(x)<0，则a<x<－1，所以g(x)的单调递增区间为(－∞，a)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(a，－1)．综上，当a>－1时，g(x)的单调递增区间为(－∞，－1)