2026新高二数学暑假专题：空间直线、平面的垂直（原卷版）

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暑假作业12空间直线、平面的垂直

【知识点1直线与平面垂直】

(1)直线和平面垂直的定义

如果直线l与平面α内的直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作.

(2)性质定理与判定定理

文字语言图形表示符号表示

性质定理垂直于同一个平面的两条直线a∥b

�⊥�

⇒

�⊥�

如果一条直线与一个平面内的垂直，�⊂�

判定定理＝l⊥α

那么该直线与此平面垂直�⊂�

�⋂��⇒

�⊥�

注意：“任何一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的�实⊥质�是直线与平面

内的所有直线都垂直.

【知识点2直线和平面所成的角】

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂

直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0.

π

0，

(2)范围：2.

【知识点3二面角与面面垂直】

(1)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射

线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．

(2)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：.

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(3)性质定理与判定定理

文字语言图形表示符号表示

两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂

＝

性质定理直于这两个平面的，那么这条直线与�⊥�l⊥α

�⋂��

另一个平面垂直⇒

�⊥�

�⊂�

如果一个平面过另一个平面的，那么

判定定理α⊥β

这两个平面垂直

�⊂�

⇒

�⊥�

注意：三种垂直关系的转化

线线垂直线面垂直面面垂直

常用结论：

(1)过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直.

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

【知识点4线面角与二面角的平面角的求法】

1.线面角的求法

(1)垂线法求线面角(也称直接法)

①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足

O；

②连接斜足与垂足得斜线AB在平面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

③把投影BO与斜线AB化归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者解直角三角形).

(2)公式法求线面角(也称等体积法)

用等体积法，求出斜线在面外的一点P到面的距离，利用直角三角形的正弦公式进行求解.

公式为：sinθ＝，其中θ是斜线与平面的夹角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.

ℎ

2.二面角的求法�

（1）定义法：棱上一点，两面内各作棱的垂线，直接构造平面角；

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（2）三垂线法：过一面内一点向棱作垂线，再向另一面作垂线，连线构造平面角（最常用）；

（3）垂面法：作棱的垂面，垂面与两面的交线夹角即为二面角。

常用结论：

(1)三垂线定理

若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直.

(2)三垂线定理的逆定理

若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直.

【知识点5三种空间距离的几何法求解】

空间中的距离定义求解思路

1.过一点作垂直于已知平面的1.定义法

直线，则该点与垂足间的线利用定义，确定所求距离是

段，叫做这个点到该平面的垂哪一条线段，进而通过解三

点面

线段，垂线段的长度叫做这角形进行求解

个点到该平面的距离。2.转化思想

（1）常用：等体积法

（2）线面距离、面面距离

2.一条直线与一个平面平行时，

转化为点面距离

这条直线上任意一点到这个

（3）利用中点转化：如果

线面平面的距离，叫做这条直线到

条件中具有中点条件，一个

这个平面的距离。

点到平面的距离，可借助中

点（等分点），转化为另一

3.如果两个平面平行，那么其中点到平面的距离

一个平面内的任意一点到另

一个平面的距离都相等，我们

面面

把它叫做这两个平行平面间的

距离。

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【题型1线面垂直判定与证明】

1．（2026·高一下·上海）已知，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到

直线l的是（）

A．，l//B．la，a//

C．l//a，aD．la，lb，a，b

2．（2026·高一下·江西）如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，

现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在

四面体SEFG中必有（）

A．SG△EFG所在平面B．SDEFG所在平面

C．GFSEF所在平面D．GDSEF所在平面

3．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PAAD4，

AB2，PA平面ABCD，且M是PD的中点．

(1)求证：PB//平面ACM；

(2)求证：AM平面PCD；

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4．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD2AB，点E，F分别是

棱AD，BC的中点．

(1)求证：B1D//平面A1BE；

(2)求证：BE平面A1AF．

【题型2线线垂直判定与证明】

1．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，PA平面ABCD，ABCD为正方形，下列结论不正确的是（）．

A．PBBCB．PDCD

C．PDBDD．PABD

2．（2026·上海浦东新·三模）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是线段A1D上的动点（含端点），

则下列说法中正确的是（）

A．直线MB与直线AC始终异面

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B．直线MB与直线A1D始终垂直

C．存在点M使得直线MB与平面A1C1D垂直

D．直线MB与平面B1D1C始终平行

3．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，△BCD是以BD为

斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD，在翻折的过程中

(1)求证：BD⊥PC；

(2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD．

4．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）S是矩形ABCD平面外一点，M,N分别是SA,BD的中点，

(1)求证：MN//平面SBC，

(2)若SD⊥平面ABCD，求证：AB⊥SA.

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5．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.

(1)证明：ABA1C；

(2)若ABCB2，A1C6，求三棱锥AA1BC的体积.

【题型3面面垂直的判定与证明】

1．（25-26高一下·天津蓟州·期中）设l,m,n表示不同的直线，,,表示不同的平面，下列命题中正确的

是（）

A．若,，则//B．若,m//,n，则mn

C．若l//m，且m，则lD．若mn,m,n//，则

2．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥PABC中，若PA平面ABC，ABBC，则平面ABC、平面PAB、

平面PBC、平面PAC中相互垂直的共有（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

3．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PAAD4，

AB2，PA平面ABCD，且M是PD的中点．

(1)求证：PB//平面ACM

(2)求证：AM平面PCD；

(3)求证：平面ACM平面PCD．

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4．（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，CDAD，AB∥CD，PC

底面ABCD，ADDC2，ABCP4，点E在直线PB上.

(1)求证：平面ACE平面PBC；

(2)在直线PB上找一点F，使得PD//平面ACF，并求BF的长.

【题型4面面垂直的性质定理及应用】

1．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么顶点D在平

面ABC内的射影H必在（）

A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．ABC内部

2．（2026·北京丰台·一模）如图，在三棱锥ABCD中，ABC和△ABD是边长为2的等边三角形，平面ABC

平面ABD，则CD（）

A．2B．2C．6D．22

3．（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，G为AD的中点，

四边形ABCD是DAB60且边长为a的菱形，△PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD．求证：

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(1)BG平面PAD；

(2)ADPB．

4．（25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，

PAPD，PAPDCD，E，F分别为PA，BC的中点.

(1)证明：EF//平面PCD.

(2)证明：BDPC.

【题型5直线与平面所成的角】

1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥PABCD的底面边长为2，高为2，点M为棱PC的中点，

则直线BM与底面ABCD所成角的正切值为（）

52

A．B．C．1D．2

52

2．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期中）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，则直线BD1与

平面ABB1A1所成角的正弦值为（）

131011

A．B．C．D．

361011

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3．（2026高一下·浙江·学业考试）如图，在三棱锥PABC中，APCBPC45，BPA是等边三角

形．

(1)求证：ABPC；

(2)若ABC为直角三角形，求直线AP与平面ABC所成角的大小.

4．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，

PDAB2，E为PC中点．

(1)求证：PA//平面BDE；

(2)求证：DE平面PCB；

(3)求直线PA与平面PBD所成角的大小．

【题型6二面角的计算】

3

1．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥

2

侧面与底面的二面角的正弦值为（）

211213311313

A．B．C．D．

11131113

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2．（25-26高一下·陕西·期中）如图，二面角l的大小为135，Al，Bl，C，D，ACl，

BDl，且ABBD2，AC2，则CD（）

A．23B．14C．4D．32

3．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，四棱锥MABCD的底面ABCD为菱形，MA平面ABCD，

MAAB2，ABC60.

(1)证明：平面MBD平面MAC；

(2)求二面角MBDA的正切值.

4．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥PABC中，ACBC，BC2AC4，PAPB，面PAB

面ABC，（坐标法不给分）

(1)证明：PAPC；

45

(2)若V，求二面角CPBA的正切值．

PABC3

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【题型7点到平面的距离】

1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在四面体OABC中，OA2，OB3，OC4，OAOB，OBOC，

OAOC，M为BC的中点，则点B到平面OMA的距离为（）

451224

A．B．C．213D．

355

2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA11，则点B到

平面D1AC的距离等于（）

36

A．B．C．1D．2

33

3．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点，ABAA14．

(1)求证：A1B//平面ADC1；

(2)求证：平面ADC1平面BCC1B1；

(3)求点B到平面ADC1的距离．

4．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知菱形ABCD的边长为2,BAD60，平面ABCD外一点P在平面

ABCD上的射影是AC与BD的交点O,PDB是等边三角形．

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(1)求证：AC平面PBD；

(2)求直线PC与平面ABCD所成角的大小；

(3)求点D到平面PBC的距离.

【题型8线到平面、平面到平面的距离】

1．（24-25高三上·河北·期末）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，PAPB2，

PCPD3，则直线CD到平面PAB的距离为（）

69692323

A．B．C．D．

6363

2．（25-26高一下·贵州贵阳·期末）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为23，则平面A1BC1到平面AD1C的距

离为（）

A．1B．2C．3D．4

3．（25-26高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB2，AB22，AA13，M

为AB的中点．

(1)证明：AC1//平面B1CM；

(2)求直线AC1到平面B1CM的距离．

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4．（25-26高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，E

是BB1上的一点，且EB11，D、F、G分别是CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于H．

(1)求证：B1D平面ABD；

(2)求平面EGF与平面ABD的距离．

1．（25-26高二下·湖南郴州·期中）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确

的是（）

A．若m//,n//，则m//nB．若⊥，m，则m⊥

C．若m⊥，m//n，n，则⊥D．若＝m，n，n⊥m，则n⊥

，，，

2．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点PQMN分别是

，，，

AB1CC1A1C1BC的中点，下列结论正确的个数是（）

①PQ//平面ABC；②MNBC；③PQ平面ABB1A1；④PQ与MN相交

A．1B．2C．3D．4

3．（25-26高一下·福建厦门·期中）在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，

ABBC4，ABC90，则下列错误的是（）

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A．BCPAB．点B到平面PAC的距离为22

C．PA平面ABCD．平面PAB平面PAC

4．（25-26高一下·湖北·期末）在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将

AED,BEF,DCF分别沿DE,EF,DF折起，使A，B，C三点重合于点A，则A到平面EFD的距离为（）

24

A．1B．C．D．2

33

5．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，直三棱柱ABCA1B1C1，AA1AB2，平面A1BC平面ABB1A1，

直三棱柱ABCA1B1C1的体积为46，则A1C与平面ABB1A1所成的角为（）

A．30B．45C．60D．90

6．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某圆台的轴截面ABCD是一个上底CD为2，下底AB为4，腰

长为2的等腰梯形，M为圆台下底面圆周上一点，且AM2，则二面角CAMB的余弦值为（）

21331325

A．B．C．D．

131333

7．（24-25高二下·甘肃张掖·期末）如图，平面PBC平面ABCD，四边形ABCD为矩形，且AB1，BC2，

△PBC的面积为3.若点E是线段AD上一点，则三棱锥PACE体积的最大值为（）

15/19

33

A．B．C．3D．1

32

8．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，点M满足C1MMC，点Q在正

方体的表面上运动，且AQB1M，则Q的轨迹长度为（）

A．445B．45C．425D．42

9．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）（多选题）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折

起到ABD，且A在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（）．

A．ACBDB．ADBCC．ACBCD．ADAB

10．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选题）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，动点P，

Q分别在线段C1D，AC上，则下列命题正确的是（）

ππ

A．异面直线D1C和BC1所成的角为B．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于

33

43

C．点C到平面ABC1D1的距离为22D．线段PQ长度的最小值为

3

11．（25-26高一下·广西百色·期中）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点F为棱BB1的中点，点G

为线段A1D上的一个动点，设直线FG与平面ADD1A1所成角为，则sin的最大值为________.

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12．（25-26高一下·黑龙江·期中）在三棱锥PABC中，ABC是边长为3的等边三角形，

PAAC,PBBC,PC4，则点P到平面ABC的距离为__________.

13．（2026·北京·三模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点

ABBC5，ACAA12．

(1)求证：AC平面BDE；

(2)求二面角ABED的余弦值；

(3)求点D到平面ABE的距离．

14．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，

PAAB2，E为线段PB的中点.

(1)若F为线段BC上的动点，证明：AE平面PBC；

(2)若E为PB的中点，F是BC上靠近B的四等分点，

（i）求EF和平面ABCD夹角的正弦值；

（ii）求点P到平面AEF的距离.

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1．（2026·高一下·河北沧州·）《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳

马”．现有“阳马”PABCD如图所示，侧棱PA底面ABCD，且ABAD，点E在棱PC上运动．则下列

说法正确的是（）

A．存在点E，使得AE//BPB．不存在点E，使得BE//平面PAD

C．对于任意点E，BECD成立D．对于任意点E，平面PAC平面BDE成立

2．（25-26高一下·山东淄博·期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，ADAB，BCD45，BAD90，

将△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列说法

正确的是（）