2026新高二数学暑假专题：第06讲 用空间向量研究距离问题（2知识点+4大题型）（解析版）

第06讲用空间向量研究距离问题

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01点到面的距离

题型02点到线的距离

题型03其他距离问题

题型04距离中的探索性问题

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线间、相互平行

1.点到直线、点到平面

的平面间的距离问题,培养逻辑推理的核心素养.

的距离

2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,提升数学运算的核心素养.

学习重点：向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线间、相互平行的平面间的距离问题

学习难点：距离中的探索性问题

知｜识｜框｜架

1/38

知｜识｜精｜讲

知识点01点到线的距离

1、点到直线的距离

已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.设APa，则向量AP在直线l

2

上的投影向量AQ(au)u，在RtAPQ中，由勾股定理得：PQ|AP|2|AQ|2a(au)2

2、异面直线的距离（线线距）

（1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线

间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条.

（2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.

即时即练

1．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知A1,1,1，B1,2,2，C3,4,2，则点A

到直线BC的距离为______.

【答案】75

5

【分析】利用点到直线的距离的向量公式即可求解.

【详解】已知A1,1,1，B1,2,2，C3,4,2，

BC255

则BC4,2,0，,,0，BA0,1,3，

BC55

所以点A到直线BC的距离为：

2

2

2BC575

dBABA10.

55

BC

故答案为：75

5

2．已知四棱锥AEBCD,AE平面BCDE，底面EBCD是E为直角，EBDC的直角梯形，如图所示，

2/38

且CD2EB2AE4,DE23，点F为AD的中点，则F到直线BC的距离为__________.

【答案】31

2

【分析】以E为原点，建立空间直角坐标系，向量法求点到直线的距离.

【详解】由题意知，AE平面BCDE，BE,ED平面BCDE，所以AEBE,AEED，

又BEED，故以E为原点，EB,ED,EA所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系，

则A0,0,2,B2,0,0,C4,23,0,D0,23,0，得F0,3,1

所以BC2,23,0,FB2,3,1，

BC13

记c,,0,aFB2,3,1，

BC22

31

则a43122，ac1，

22

22131

所以F到直线BC的距离为d|a|(ac)8.

42

31

故答案为：.

2

【方法总结】

用向量法求点到直线的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)求直线的一个单位方向向量u.

(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a.

(4)利用公式d=a2-(a·u)2计算点到直线的距离.

3/38

知识点02点到平面的距离

1、点到平面的距离

如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点.过点P作平面的垂线l，交

平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长

nAPn|APn|

度.PQ|AP|||

|n||n||n|

注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．

ABn

直线a与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．

dAa,Bn

|n|

ABn

两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．

,dA,Bn

|n|

即时即练

1．（25-26高二上·江苏·期末）已知n1,1,2是平面的一个法向量，点A0,1,1在平面内，则点B1,1,2

到平面的距离为_______.

61

【答案】/6

22

【分析】表示出AB，再根据点到平面的距离公式计算可得.

【详解】因为点A0,1,1在平面内，又B1,1,2，

所以AB1,0,1，又n1,1,2是平面的一个法向量，

ABn36

所以点B到平面的距离d.

n62

故答案为：6

2

2．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱CC1上，且CE2EC1，

4/38

若AB2，AA13，则点A1到平面BDE的距离为__________.

【答案】5

A1Bn

【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出，其中是平面的法向量，结合公式即可运

A1B,nnBDE

n

算求解.

【详解】如图，取AB,A1B1的中点F,G，因为AA1平面ABC，FB,FC平面ABC，

所以AA1FB,AA1FC，

因为三角形ABC是等边三角形，点F是AB中点，所以FBFC，

所以FB,FC,FG两两互相垂直，以点F为坐标原点，FB,FC,FG所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐

标系，

因为CE2EC1，AB2，AA13，D为AC的中点，

13

所以，

B1,0,0,A1,0,0,C0,3,0,D,,0,E0,3,2,A11,0,3

22

33

所以，

A1B2,0,3,DB,,0,EB1,3,2

22

设平面BDE的法向量为nx,y,z，

33

DBnxy0

所以22，令x1，解得y3,z1，

EBnx3y2z0

所以可取n1,3,1，

5/38

ABn

点到平面的距离为123

A1BDE5.

n131

故答案为：5.

【方法总结】

利用向量法求点到平面的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)求出该平面的一个法向量.

(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.

(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离.

题型01点到面的距离

1．（2026高二·全国·专题练习）已知平面α的一个法向量n2,2,1，点A1,3,0在内，则P2,1,4

到平面的距离为（）

A．10B．3

810

C．D．

33

【答案】D

【详解】由A1,3,0，P2,1,4，可得AP1,2,4.

因为平面的一个法向量n2,2,1，点A在内，

APn

10

所以P2,1,4到的距离为.

n3

2．如图，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为4，点M是棱CC1的中点，点E,F分别是线段A1M,BM的中点，

则三棱锥EADF的体积为（）

6/38

2016

A．B．C．6D．8

33

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，再结合棱锥的体积公式求解.

【详解】以D为原点，建立如图空间直角坐标系.

则D0,0,0，A4,0,0，B4,4,0，C0,4,0，C10,4,4，A14,0,4.

所以M0,4,2，E2,2,3，F2,4,1.

在ADF中，AD4，AFDF21，

21

所以12AD2

SADFADDF4212217.

222

又DE2,2,3，DA4,0,0，DF2,4,1.

设平面ADF的法向量为nx,y,z，则

nDAnDA4x0

，取y1可得n0,1,4.

nDFnDF2x4yz0

DEn02121017

所以点到平面的距离为：h

EADF2.

n012417

11101720

所以VSh217.

EADF3ADF3173

3．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，

PAPB3,AB//DC,DC2AB2BC4,ABBC，E为PD的中点，则点D到平面ABE的距离为（）

7/38

2663

A．B．C．3D．

333

【答案】A

【分析】利用空间关系可证明线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即可用空间向量法

求出点到平面的距离.

【详解】由PAPB,取AB的中点为O，连接PO，则POAB，

因为平面PAB平面ABCD，PO平面PAB,平面PAB平面ABCDAB，

所以PO平面ABCD，

又因为ABBC，所以可如图建立空间直角坐标系：

由PAPB3,AB//DC,DC2AB2BC4，则PO9122，

可得：A0,2,0,D2,4,0,P0,1,22，

5

又因为E为PD的中点，所以E1,,2，

2

5

即BA0,2,0,BE1,,2,BD2,4,0，

2

设平面ABE的一个法向量为nx,y,z，

BAn0,2,0x,y,z2y0

则55，

BEn1,,2x,y,zxy2z0

22

令z1，则y0,x2，所以n2,0,1，

nBD2,0,12,4,02226

则点D到平面ABE的距离为d，

n2,0,133

故选：A.

4．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知平面的一个法向量为n2,2,2，点Px,1,1在平面内，若点

3

Q0,0,5到平面的距离为，则x__________.

3

【答案】2或4

8/38

【分析】由空间中点到平面距离公式，结合条件即可求得x的值.

QPn

2x63

【详解】因为QPx,1,4，所以点Q到平面的距离d，

n233

解得x2或x4.

故答案为：2或4.

5．（25-26高二上·陕西安康·期末）在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为线段A1B1上靠近点A1的

三等分点，则点C到平面AC1M的距离为__________.

3143

【答案】/14

1414

【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解.

【详解】以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则A3,0,0,C10,3,3,M3,1,3,C0,3,0，AC13,3,3,AM0,1,3，

设平面AC1M的一个法向量为mx,y,z，

mAC13x3y3z0

则，令z1得x2,y3，

mAMy3z0

所以m2,3,1，

又AC3,3,0，故点C到平面AC1M的距离为

ACm3,3,02,3,1314

d.

m49114

故答案为：314

14

6．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BDDC，BDDC1，

11

点E在棱AA1上，且AEAA，则点B到平面EDC1的距离为______.

412

9/38

51

【答案】/5

33

5nDB

【详解】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，由距离公式求解即可

EDC1n,2,1d.

2n

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，1

则D0,0,0A1,1,0B1,0,0C0,1,0C10,1,2E1,1,，

2

，1，

DC10,1,2DE1,1,DB1,0,0.

2

1

DEnxyz0

设平面EDC1的法向量为nx,y,z，则2

DC1ny2z0

55

令z1，则x，y2，n,2,1.

22

5

nDB5

2

点B到平面EDC1的距离d.

n353

2

5

故答案为：.

3

【技巧归纳】

利用向量法求点到平面的距离的一般步骤

10/38

(1)建立空间直角坐标系.

(2)求出该平面的一个法向量.

(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.

(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离.

题型02点到线的距离

1．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点A0,2,2，B2,2,2，C0,0,1，则点A

到直线BC的距离为（）

2552

A．B．C．D．1

333

【答案】A

【分析】根据空间向量的数量积计算即可.

【详解】因为点A0,2,2，B2,2,2，C0,0,1，

BA·BC42

所以BA2,0,0,BC2,2,1，所以cosBA,BC.

BABC24413

2

2525

所以点A到直线BC的距离为BA12.

333

故选：A.

2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线l经过点P1,2,1，且其方向向量n1,2,1，

则点Q1,0,2到直线l的距离为（）

30521

A．B．C．D．

6632

【答案】A

【分析】根据空间向量点到线的距离公式进行求解即可.

【详解】因为PQ0,2,1，直线l的方向向量n1,2,1，

PQn4130

所以cosPQ,n，

22

PQn211222126

2

因为2306，

sinPQ,n1cosPQ,n1

66

11/38

22630

所以点Q1,0,2到直线l的距离为PQsinPQ,n21，

66

故选：A

3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1,AA12,AD4，点E在棱BC上，

△

且BC4BE，点G为AB1C的重心，则点G到直线AE的距离为（）

63

A．B．2C．D．3

33

【答案】A

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离.

【详解】在长方体ABCDA1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，

由AB1,AA12,AD4，得A(0,0,0),C(1,4,0),B1(1,0,2)，

242

由点E在棱BC上，且BC4BE，得E(1,1,0)，△ABC的重心G(,,)，

1333

24226

则AE(1,1,0),AG(,,)，AEAG2，|AG|，|AE|2，

3333

AGAE86

所以点G到直线AE的距离d|AG|2()22.

|AE|33

故选：A

4．（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥PABCD中，PA26，AB4，E，F分别是棱AB，

PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________．

【答案】370

7

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点D到直线EF的距离.

【详解】如图，连接AC，BD，DE，记ACBDO，连接OP.

由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直，

则以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

因为PA26，AB4，所以OAOBOCOD22，OPPA2OA22，

则D22,0,0,E2,2,0,F0,2,2，

所以ED32,2,0,EF2,22,2，

12/38

2

2EDEF50370

则点D到直线EF的距离是ED20.

77

EF

370

故答案为：.

7

5．（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是棱AB，BB1的

中点，点P在对角线CA1上运动，则点P到直线MN距离的最小值为_____.

66

【答案】/

22

【分析】建系后引入动点共线参数，再利用空间向量法来求点到直线的距离，即可求得最小值.

【详解】

如图建立空间直角坐标系，因正方体的棱长为2，M，N分别是棱AB，BB1的中点，

13/38

则可得M1,0,0,N2,0,1,A10,0,2,C2,2,0，

则MN1,0,1,A1C2,2,2，AN2,0,1,AA10,0,2，

设A1PA1C，0,1，则NPAPANAA1A1PANAA1A1CAN

0,0,22,2,22,0,122,2,12，

过点P作PQMN，垂足为Q，

2

2

22

PNMN222212

则PQPN22)4(12

2

MN

2

2913

=1212=12，

222

2

11336

则当时，PQ=12取得最小值为，

22222

6

所以点P到直线MN距离的最小值为，

2

6

故答案为：.

2

【技巧归纳】

用向量法求点到直线的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)求直线的一个单位方向向量u.

(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a.

(4)利用公式d=a2-(a·u)2计算点到直线的距离.

题型03其他距离问题

1．（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90,ABBCBB16，

点D,D1分别为AB,A1B1的中点，则直线CD到平面AD1C1的距离为（）

14/38

66

A．6B．C．1D．

26

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明DC//平面AD1C1，则直线CD到平面AD1C1的距离即为点C

到平面AD1C1的距离，再由点到面的距离公式计算可得.

【详解】在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90,ABBCBB16，

如图建立空间直角坐标系，

则C6,0,0，D0,3,0，A0,6,0，C16,0,6，D10,3,6，

所以DC6,3,0，D1C16,3,0，AD10,3,6，CC10,0,6，

ADn3y6z0

设平面的法向量为，则1，

AD1C1nx,y,z

D1C1n6x3y0

取x1，可得n1,2,1；

由DCD1C1，得DC//D1C1，所以DC//D1C1，

又D1C1平面AD1C1，DC平面AD1C1，所以DC//平面AD1C1，

nCC

所以直线到平面的距离即为点到平面的距离16

CDAD1C1CAD1C1d6.

n6

故选：A

2．（24-25高二上·山东滨州·期末）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB2，AA13，

65CN

点N在棱CC1上，若直线A1B1到平面ABN的距离为，则的值为（）

5CC1

15/38

112

A．1B．C．D．

233

【答案】C

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系后利用点到直线的距离空间向量求解后可得正确的选项.

【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示，

则A(2,0,0),B2,2,0,B12,2,3，设N(0,2,t),(0t3)．

因为A1B1//AB，A1B1平面ABN，AB平面ABN，故A1B1//平面ABN，

故直线A1B1到平面ABN的距离为B1到平面ABN的距离.

AB0,2,0,BN2,0,t，BB10,0,3，

nAB0

设平面ABN的法向量为nx,y,z，则由可得：

nBN0

2y0

，取nt,0,2，

2xtz0

BBnCN1

1665

故B1到平面ABN的距离d，故t1，故，

2CC3

nt451

故选：C.

3．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若点E在BD上，点F在CB1上，

则EF的长度最小值为（）

3333

A．B．C．D．

5432

【答案】C

【分析】由题意可得EF的长度最小值即异面直线BD和CB1的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求

出直线BD和CB1的法向量，利用空间点面距离公式求解即可.

【详解】点E在BD上，点F在CB1上，

则EF的长度最小值即异面直线BD和CB1的距离，

以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，

16/38

则D0,0,0,B1,1,0,B11,1,1,C0,1,0，

设ma,b,c为直线BD和CB1的法向量，

又因为DB1,1,0，CB11,0,1，BB10,0,1，

mDBab0

则，令a1，则m1,1,1，

mCB1ac0

BBm

所以异面直线和的距离为113，

BDCB1

m33

3

即EF的长度最小值为.

3

故选：C.

4．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为23的正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1DB与平

面D1CB1的距离为__________.

【答案】2

【分析】先由题设求证平面A1DB//平面D1CB1得到平面A1DB与平面D1CB1的距离即为点C到平面A1DB的

距离，接着建立适当空间直角坐标系求出DC和平面A1DB的一个法向量nx,y,z，再由向量法距离公式

即可求解.

【详解】由正方体结构性质可知A1D1//BC且A1D1BC，A1B1//DC且A1B1DC，

所以四边形A1BCD1和四边形A1B1CD均为平行四边形，

所以A1B//D1C,A1D//B1C，又A1B,A1D在平面D1B1C外，D1C,B1C平面D1B1C，

17/38

所以A1B//平面D1B1C，A1D//平面D1B1C，

又A1BA1DA1，A1B,A1D平面A1DB，

所以平面A1DB//平面D1CB1，

所以平面A1DB与平面D1CB1的距离即为点C到平面A1DB的距离，

由题可建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，

则D0,0,0,A123,0,23,B23,23,0,C0,23,0，

所以DA123,0,23,DB23,23,0,DC0,23,0，

设平面A1DB的一个法向量为nx,y,z，

nDA123x23z0

则，所以，取x1，则n1,1,1，

nDB23x23y0

n·DC

所以平面与平面的距离即点到平面的距离为23

A1DBD1CB1CA1DBd2.

n3

故答案为：2

5．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，

公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的

长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA底面

ABCD，PA6，点G在侧棱PB上，且满足2PGGB，则异面直线PC和DG的距离为________

【答案】314

14

【分析】以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】如图，以点A为原点，AB,AD,AP分别作为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则B3,0,0,C3,3,0,D0,3,0,P0,0,6,G1,0,4.

所以DG1,3,4,PC3,3,6,DC3,0,0，

设nx,y,z为直线PC和DG的公垂线的方向向量，

18/38

nDGx3y4z0

则有，可取n1,3,2，

nPC3x3y6z0

DCn3314

所以异面直线PC和DG的距离为.

n1414

故答案为：314

14

【技巧归纳】

(1)求线线距离可以转化为求直线上任意一点到另一直线的距离,利用求点到直线的距离的方法求解即可.

(2)求线面距离、两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即

可.

题型04距离中的探索性问题

1

1．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，DE平面ABCD,DE//BF,ADDE2,BF.

2

(1)求证：ACEF

19/38

2

(2)在线段DE上是否存在点G，使得直线BG与AD所成角的余弦值为？若存在，求出点G到平面ACF的

3

距离，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【分析】（1）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得；

2

（2）设线段DE上存在一点G0,0,h，使得BG与AD所成角的余弦值为，利用空间向量法求出h，再由

3

向量法求出点到平面的距离.

【详解】（1）因为四边形ABCD为正方形，DE平面ABCD，

如图以D为原点，分别以DA,DC,DE的方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

1

则D0,0,0,A2,0,0,B2,2,0,C0,2,0,E0,0,2,F2,2,，

2

3

所以AC2,2,0,EF2,2,，

2

所以ACEF222200，

所以ACEF，所以ACEF.

2

（2）设线段DE上存在一点G0,0,h,0h2，使得BG与AD所成角的余弦值为，

3

则BG2,2,h，又AD2,0,0，

42

所以cosBG,AD，解得h1（负值舍去），

8h223

所以存在G0,0,1满足条件，

1

所以AG2,0,1，依题意可得AC2,2,0,AF0,2,，

2

设nx,y,z为平面ACF的法向量，

20/38

ACn2x2y0

则1，设x1，可得n1,1,4，

AFn2yz0

2

AGn6

所以点G到平面ACF的距离为2.

n32

2．如图，在四棱锥PABCD中，ABP是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB8，ABC120，点E

是棱PB上的一点.

(1)若E为棱PB的中点，求证：PD//平面ACE；

15PE

(2)若平面PAB平面ABCD，是否存在点E，使得点E到平面PAD的距离为.若存在，求出的值；

5BE

若不存在，请说明理由.

【答案】见解析

【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；

（2）解法一：取AB的中点O，连接OD,OP，利用面面垂直的性质定理得OD平面PAB，建立空间直角

坐标系，求出平面PAD的法向量，设PEPB，利用点面距离的向量公式列式求解即可；

解法二：取AB的中点O，连接OD,OP，利用面面垂直的性质定理得OD平面PAB，利用等体积法求得

S