2026新高二数学暑假专题：第06讲 用空间向量研究距离问题（2知识点+4大题型）（原卷版）

第06讲用空间向量研究距离问题

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01点到面的距离

题型02点到线的距离

题型03其他距离问题

题型04距离中的探索性问题

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线间、相互平行

1.点到直线、点到平面

的平面间的距离问题,培养逻辑推理的核心素养.

的距离

2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,提升数学运算的核心素养.

学习重点：向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线间、相互平行的平面间的距离问题

学习难点：距离中的探索性问题

知｜识｜框｜架

1/12

知｜识｜精｜讲

知识点01点到线的距离

1、点到直线的距离

已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.设APa，则向量AP在直线l

2

上的投影向量AQ(au)u，在RtAPQ中，由勾股定理得：PQ|AP|2|AQ|2a(au)2

2、异面直线的距离（线线距）

（1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线

间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条.

（2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.

即时即练

1．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知A1,1,1，B1,2,2，C3,4,2，则点A

到直线BC的距离为______.

2．已知四棱锥AEBCD,AE平面BCDE，底面EBCD是E为直角，EBDC的直角梯形，如图所示，

且CD2EB2AE4,DE23，点F为AD的中点，则F到直线BC的距离为__________.

【方法总结】

用向量法求点到直线的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)求直线的一个单位方向向量u.

(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a.

2/12

(4)利用公式d=a2-(a·u)2计算点到直线的距离.

知识点02点到平面的距离

1、点到平面的距离

如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点.过点P作平面的垂线l，交

平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长

nAPn|APn|

度.PQ|AP|||

|n||n||n|

注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．

ABn

直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．

adAa,Bn

|n|

ABn

两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．

,dA,Bn

|n|

即时即练

1．（25-26高二上·江苏·期末）已知n1,1,2是平面的一个法向量，点A0,1,1在平面内，则点B1,1,2

到平面的距离为_______.

2．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱CC1上，且CE2EC1，

若AB2，AA13，则点A1到平面BDE的距离为__________.

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【方法总结】

利用向量法求点到平面的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)求出该平面的一个法向量.

(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.

(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离.

题型01点到面的距离

1．（2026高二·全国·专题练习）已知平面α的一个法向量n2,2,1，点A1,3,0在内，则P2,1,4

到平面的距离为（）

A．10B．3

810

C．D．

33

2．如图，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为4，点M是棱CC1的中点，点E,F分别是线段A1M,BM的中点，

则三棱锥EADF的体积为（）

2016

A．B．C．6D．8

33

3．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，

PAPB3,AB//DC,DC2AB2BC4,ABBC，E为PD的中点，则点D到平面ABE的距离为（）

4/12

2663

A．B．C．3D．

333

4．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知平面的一个法向量为n2,2,2，点Px,1,1在平面内，若点

3

Q0,0,5到平面的距离为，则x__________.

3

5．（25-26高二上·陕西安康·期末）在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为线段A1B1上靠近点A1的

三等分点，则点C到平面AC1M的距离为__________.

6．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BDDC，BDDC1，

11

点E在棱AA1上，且AEAA，则点B到平面EDC1的距离为______.

412

【技巧归纳】

利用向量法求点到平面的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)求出该平面的一个法向量.

(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.

(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离.

题型02点到线的距离

1．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点A0,2,2，B2,2,2，C0,0,1，则点A

到直线BC的距离为（）

2552

A．B．C．D．1

333

2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线l经过点P1,2,1，且其方向向量n1,2,1，

则点Q1,0,2到直线l的距离为（）

5/12

30521

A．B．C．D．

6632

3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1,AA12,AD4，点E在棱BC上，

△

且BC4BE，点G为AB1C的重心，则点G到直线AE的距离为（）

63

A．B．2C．D．3

33

4．（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥PABCD中，PA26，AB4，E，F分别是棱AB，

PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________．

5．（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是棱AB，BB1的

中点，点P在对角线CA1上运动，则点P到直线MN距离的最小值为_____.

【技巧归纳】

用向量法求点到直线的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)求直线的一个单位方向向量u.

(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a.

(4)利用公式d=a2-(a·u)2计算点到直线的距离.

题型03其他距离问题

1．（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90,ABBCBB16，

点D,D1分别为AB,A1B1的中点，则直线CD到平面AD1C1的距离为（）

6/12

66

A．6B．C．1D．

26

2．（24-25高二上·山东滨州·期末）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB2，AA13，

65CN

点N在棱CC1上，若直线A1B1到平面ABN的距离为，则的值为（）

5CC1

112

A．1B．C．D．

233

3．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若点E在BD上，点F在CB1上，

则EF的长度最小值为（）

3333

A．B．C．D．

5432

4．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为23的正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1DB与平

面D1CB1的距离为__________.

5．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，

公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的

长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA底面

ABCD，PA6，点G在侧棱PB上，且满足2PGGB，则异面直线PC和DG的距离为________

【技巧归纳】

(1)求线线距离可以转化为求直线上任意一点到另一直线的距离,利用求点到直线的距离的方法求解即可.

(2)求线面距离、两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即

可.

题型04距离中的探索性问题

1

1．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，DE平面ABCD,DE//BF,ADDE2,BF.

2

7/12

(1)求证：ACEF

2

(2)在线段DE上是否存在点G，使得直线BG与AD所成角的余弦值为？若存在，求出点G到平面ACF的

3

距离，若不存在，请说明理由.

2．如图，在四棱锥PABCD中，ABP是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB8，ABC120，点E

是棱PB上的一点.

(1)若E为棱PB的中点，求证：PD//平面ACE；

15PE

(2)若平面PAB平面ABCD，是否存在点E，使得点E到平面PAD的距离为.若存在，求出的值；

5BE

若不存在，请说明理由.

3．如图，在四棱锥PABCD中，AB//CD，AB4，CD2，BC2，PCPD3，平面PCD平面ABCD，

PDBC.

(1)证明：BC平面PCD；

(2)若点Q是线段PC的中点，M是直线AQ上的一点，N是直线PD上的一点，是否存在点M，N使得

25

MN?请说明理由.

9

8/12

4．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD为菱形，E为棱PD的

中点，O为边AB的中点．

(1)求证：AE//平面POC；

(2)若侧面PAB底面ABCD，且ABCPAB，AB2PA4；在棱PD上是否存在点F，使点F到

3

242DF

直线OD的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

21DP

12

1．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）在空间直角坐标系中，P0,0,0，A1,0,0，G,,1，则点P

33

到直线AG的距离为（）

62212175

A．B．C．D．

717173

2．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，其中A1E3ED1，点F为B1C1的中点，则点C到平面BEF的

距离为（）

45851621417

A．B．C．D．

552117

3．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F

9/12

为线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为（）

342

A．B．C．1D．

233

4．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，O是平面ABC外一点，平面ABC的一个法向量

为n1,2,2，ABC的面积为3，且OA3,1,2，则三棱锥OABC的体积为（）

3

A．1B．C．2D．3

2

5．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）在正三棱锥PABC中，AB43,PB25,D,E分别是棱AB,PC

的中点，则点P到平面BDE的距离是（）

66174194323

A．B．C．D．

17171717

6．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，PD平面ABCD，ADCD，AB//CD，PQ//CD，

1

ADCDDP2PQ2AB2，点M为BQ的中点，若QNQC，则N到平面CPM的距离为（）

3

3223

A．B．C．D．

2323

7．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥SABCD中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的

中点，且SOOD2，则异面直线BD与PC的距离是（）

10210255

A．B．C．D．

10555

8．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，在Rt△ABC中，AB2BC6，ABC90，E，F分别为

AB，AC上的点，EF//BC，AE2EB．如图②，将AEF沿EF折起，当四棱锥ABCFE的体积最大时，

点E到平面ACF的距离为（）

10/12

46266

A．B．C．6D．

33