2026新高二数学暑假专题：复习（6）：立体几何初步

【数学】复习（6）：立体几何初步——高一暑假C计划

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．如图,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中OA4,OC2,则原

图形OABC的面积为()

A.42B.82C.162D.322

2．如图，半球O的半径为5，从中挖去一内接圆柱OO1，圆柱一个底面在半球面

上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为()

A.9πB.11πC.15πD.19π

3．已知各棱长都为1的平行六面体ABCDA1B1C1D1中,棱AA1、AB、AD两两的夹角

π

均为,则异面直线BA与CB所成角为()

311

ππππ

A.B.C.D.

46312

4．已知平面,两条不重合的直线l,m,则“存在直线m,使l//m”是“l//”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5．若平面平面,点P,那么过点P且与平面垂直的直线()

A.只有一条,不在平面内B.有无数条,不一定在平面内

C.只有一条,且在平面内D.有无数条,且在平面内

6．如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为4的正方

形,PAPB4,PCPD22,该棱锥的高为().

A.1B.2C.2D.3

二、多选题

7．在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()

A.EF//A1C1B.EFB1C1

C.AB//平面CC1D1DD.EF平面BDD1B1

三、填空题

8．如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等边三角形，ACAA1，则

异面直线A1C，B1C1所成角的余弦值是__________.

9．如图，在四棱锥PABCD的平面展开图中，四边形ABCD为正方形，点E，F，

G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，画出此几何体.下面四个结论中正确的是

________________.

①平面EFGH//平面ABCD；

②平面PAD//BC；

③平面PCD//AB；

④平面PAD//平面PAB.

四、解答题

10．如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面四边形ABCD为直角梯

形,AD//BC,ADAB,PAADAB2,BC1,N为PB的中点,PC平面ANDM.

（1）求证:MN//BC;

（2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值.

参考答案

1．答案：C

解析：方法一、设矩形OABC与y相交于点D,则原图形如下,

OA4,OC2,OD22,则OA4,OD42,

所以SOABCOAOD162.

2

方法二、由S直:S原,所以S原22S直2242162.

4

故选:C.

2．答案：D

解析：如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r

由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有

2

R2rr25r5，故r1

所以剩余几何体的表面积为S2πR2πR22π2r19π.

3．答案：C

解析：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,连接A1D,BD,A1B1//AB//CD,A1B1ABCD,

则四边形A1B1CD是平行四边形,B1C//A1D,于是BA1D是异面直线BA1与CB1所成角或

其补角,

π

由AAABAD1,棱AA,AB,AD两两的夹角均为,

113

π

得△ABD,△ABA,△ADA都是正三角形,即ABBDAD1,则BAD,

111113

π

所以异面直线BA与CB所成角为.

113

故选:C

4．答案：B

解析：如果l,此时也能找到m且l//m,但l并不平行于,而是在内,所以充分

性不成立;

根据线面平行的性质定理:如果直线l平行于平面,那么过l作一个平面与相交,交线

m就满足l//m,且m,所以必要性成立.

即“存在直线m,使l//m”是“l//”的必要不充分条件.

5．答案：C

解析：设l,因为,在平面内,过点P作PAl,垂足为A,

由面面垂直的性质定理可知,PA,

假设过点P有两条直线都与平面垂直,根据线面垂直的性质,这两条直线平行,

又因为都过点P,所以这两直线重合,

因此,过点P且与平面垂直的直线只有一条,且在平面内,

6．答案：D

解析：如图,底面ABCD为正方形,

当相邻的棱长相等时,不妨设PAPBAB4,PCPD22,

分别取AB,CD的中点E,F,连接PE,PF,EF,

则PEAB,EFAB,且PEEFE,PE,EF平面PEF,

可知AB平面PEF,且AB平面ABCD,

所以平面PEF平面ABCD,

过P作EF的垂线,垂足为O,即POEF,

由平面PEF平面ABCDEF,PO平面PEF,

所以PO平面ABCD,

由题意可得:PE23,PF2,EF4,则PE2PF2EF2,即PEPF,

11PEPF

则PEPFPOEF,可得PO3,

22EF

所以四棱锥的高为3.

故选:D.

7．答案：ACD

解析：如图，将正四棱台补成正四棱锥，点P是正四棱锥的顶点，O是正方形ABCD

的中心，

连接EF，AC，BD，A1C1，B1D1，PO，

对于A，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF//AC，又AC//A1C1，所以

EF//A1C1，故A正确；

ππ

对于B，因为AC与BC所成角为，又EF//AC，所以EF与BC所成角为，

44

π

因为BC//BC，所以EF与BC所成角为，故B错误；

11114

对于C，因为AB//CD，AB平面CC1D1D，CD平面CC1D1D，所以AB//平面

CC1D1D，故C正确；

对于D，因为PO平面ABCD，EF平面ABCD，所以POEF，

又ACBD，EF//AC，所以EFBD，

又BD，PO是平面PBD内两条相交直线，所以EF平面PBD，即EF平面

BDD1B1，故D正确.

2

8．答案：

4

解析：在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C是平行四边形，

所以B1C1//BC，所以异面直线A1C，B1C1所成角，即为直线A1C与BC所成角，即为

A1CB.

因为AA1平面ABC，AB,AC平面ABC，

所以AA1AB，AA1AC.

所以22

A1BA1CACA1A2AC.

AC2BC2AB2AC22

所以11

cosA1CB2.

2A1CBC22AC4

2

即异面直线A1C，B1C1所成角的余弦值为.

4

9．答案：①②③

解析：把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH//AB，所以EH//平面ABCD.

同理可证EF//平面ABCD，所以平面EFGH//平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平

面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交.

AB//CD，平面PCD//AB.

同理平面PAD//BC；故填①②③.

10．答案：（1）证明见解析

3

（2）

2

解析：（1）因为AD//BC,AD平面ANMD,BC平面ANMD,

所以BC//平面ANMD,

而BC平面PBC,平面PBC平面ANMDMN,所以MN//BC.

（2）如图,连接DN,

因为PA平面ABCD,AD平面ABCD,所以PAAD,

又因为AD