商不变规律及其在除法中的应用（四年级上册数学人教版·教案）

商不变规律及其在除法中的应用（四年级上册数学人教版·教案）

一、课程背景与设计理念

本课隶属于小学四年级数学上册“除数是两位数的除法”单元，是在学生系统学习了两位数乘两位数、除数是一位数的除法以及三位数乘两位数之后，对除法运算性质的进一步深挖。【非常重要】商不变规律是数的运算性质中最为重要的规律之一，它搭建了从整数除法向小数除法、分数基本性质以及比的基本性质过渡的桥梁，具有极高的承上启下作用。本设计遵循“观察发现—提出猜想—举例验证—总结规律—应用拓展”的数学探究路径，力求引导学生经历完整的知识建构过程。基于核心素养导向，本课不仅关注知识与技能（双基）的习得，更将观察、比较、归纳、概括等逻辑思维能力的培养作为【难点】攻克的核心，同时渗透“变与不变”的辩证唯物主义思想，激发学生对数学内在规律美的感悟。

二、教学目标设计

（一）知识与技能

1.【基础】学生通过观察、计算、比较，能够发现并完整表述“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变”的规律。

2.学生能够运用商不变的规律，将整十数、整百数除以整十数的口算简化为表内除法，并解释其算理。

3.【重要】学生能够灵活运用商不变规律进行简便计算，如解决被除数和除数末尾都有0的除法竖式（即“划0法”），并能解释竖式中每一步的含义。

（二）过程与方法

1.通过自主探究、小组合作的形式，经历“提出猜想—举例验证—归纳规律”的科学探究过程。

2.培养学生的观察、比较、抽象、概括能力和初步的推理能力。

（三）情感态度与价值观

1.在探索规律的过程中，感受数学的严谨性，体验成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和自信心。

2.【高频考点】体会“变”与“不变”的数学现象，感悟函数思想及事物之间的普遍联系。

三、教学重难点分析

1.【重要】教学重点：理解和掌握商不变的规律。这是本课的核心知识，所有活动均围绕此点展开。

2.【难点】教学难点：准确理解“同时乘”或“同时除以”、“相同的数”、“0除外”这三者的含义。尤其是“0除外”的必要性，需要通过反例让学生深刻体会，防止知识负迁移。

3.教学关键：引导学生主动参与探究过程，积累数学活动经验。

四、教学准备

多媒体课件（PPT）、探究学习单、磁性黑板贴（数字卡片、运算符号）。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）创境激疑，引出“变与不变”

1.【故事导入】（约3分钟）

课件动态讲述“猴王分桃”的故事：花果山风景秀丽，气候宜人。猴王手下有6只可爱的小猴子。猴王说：“我把6个桃平均分给你们吃，每天吃3个，怎么样？”小猴子们觉得每天3个太少了，连连摇头。猴王眼珠一转，又说：“那我给你们60个桃，让你们30天吃完，行吗？”小猴子们一听，60个比6个多多了，都高兴得手舞足蹈。

师：同学们，你们觉得小猴子们高兴得有道理吗？为什么？（引导学生列式：6÷3=2，60÷30=2）

生：没道理，因为每天吃的还是2个。

师：猴王把被除数和除数都变了，但是什么没变？（生：商不变）

师：真棒！你们一眼就看穿了猴王的“把戏”。其实，这里面就隐藏着一个非常重要的数学规律——“商不变的规律”。（板书课题：商不变规律及其应用）

2.【设计意图】用生动有趣的故事引入，既能迅速吸引学生的注意力，激发学习兴趣，又能直观地呈现“变”与“不变”的现象，为新知的探究埋下伏笔，让学生带着问题进入学习状态。

（二）观察比较，提出初步猜想

1.【核心探究活动】（约8分钟）

出示例题组（课件呈现）：

计算并观察下面的式子，你发现了什么？

（1）6÷3=2

（2）60÷30=2

（3）120÷60=2

（4）240÷120=2

（5）30÷15=2

2.【组织讨论】请同学们以小组为单位，从上到下、从下到上两个方向观察这组算式。比一比，看哪个小组发现的秘密最多。

教师巡视，参与小组讨论，适时引导：

1.3.“用第（2）式和第（1）式比较，被除数、除数和商分别发生了什么变化？”

2.4.“反过来看，用第（1）式和第（2）式比较呢？”

3.5.“除了乘10，还有其他的变化吗？”

6.【汇报交流】小组代表发言，教师根据学生的回答，利用磁性黑板贴动态演示变化过程。

生1：我们发现，从（1）到（2），被除数和除数都乘了10，商还是2。

生2：从（2）到（3），被除数和除数都乘了2，商不变。

生3：反过来看，从（3）到（2），被除数和除数都除以2，商也不变。

生4：从（1）到（5），被除数和除数都乘了5，商也是2。

生5：从（5）到（1），被除数和除数都除以5，商也不变。

7.【初步归纳】师：根据刚才的发现，你能大胆地提出一个猜想吗？（引导学生用自己的话表述）

生：我猜想，在除法里，被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变；或者同时除以一个相同的数，商也不变。

（教师相机板书：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数商不变）

8.【设计意图】通过提供一组结构化的算式，引导学生有方向地观察和比较，降低了直接发现规律的难度。小组合作和汇报交流，使学生能相互补充、相互启发，初步建立起规律的模型，培养学生的归纳能力。

（三）举例验证，探寻特殊情况

1.【提出新问题】（约2分钟）

师：刚才大家通过一组特例提出了一个非常了不起的猜想。但是，仅凭一个例子就能证明这个猜想在所有除法算式中都成立吗？【非常重要】数学是一门严谨的科学，任何一个猜想都需要经过大量的、丰富的例证来验证。

师：为了验证这个猜想，我们还需要举出更多的例子。请大家自己动手，在练习本上任意写出一组除法算式，来验证刚才的猜想。（提示：可以从最简单的1÷1开始，也可以找一些较大的数，甚至可以找有余数的除法先试试，但我们今天重点研究能整除的情况。）

2.【小组大规模验证】（约10分钟）

学生独立举例验证，教师巡视指导，收集具有代表性的例子（包括正例和可能出现的反例）。预设学生可能会写出：

1.3.8÷2=4→（8×3）÷（2×3）=24÷6=4

2.4.12÷4=3→（12÷2）÷（4÷2）=6÷2=3

3.5.100÷20=5→（100×5）÷（20×5）=500÷100=5

4.6.21÷7=3→（21×0）÷（7×0）=0÷0？（此处是【难点】攻破的关键点）

7.【聚焦“0除外”】（约5分钟）

师：老师刚才发现，有一个小组举了一个特别的例子：21÷7=3，他们接着想验证乘0的情况。大家看，（21×0）÷（7×0）=0÷0。0÷0等于多少呢？

生1：等于0？因为0除以任何数都得0。

生2：不对，0除以任何不是0的数都得0。但是0÷0，好像不太对。

师：（引导）我们想，商乘除数要等于被除数。如果0÷0，那么（）×0=0。大家想想，括号里可以填几？

生：可以填1，1×0=0；可以填2，2×0=0；可以填任何数。

师：太棒了！大家发现了，0÷0的结果是不确定的，在数学上我们称之为“无意义”。所以，我们在应用规律时，能不能乘0或者除以0？

生：不能！乘0的话，除数就变成0了，除法算式就没有意义了。

师：非常准确！因此，我们在总结规律时，必须加上一个重要的前提条件——“0除外”。（教师将板书补充完整，并在“相同的数”下面用红笔标注：0除外）

8.【完整揭示规律】师生共同朗读并背诵完整的商不变规律：在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。

9.【设计意图】此环节是培养学生科学态度的核心。通过“猜想—验证—修正—完善”的过程，让学生亲身经历知识的形成过程，突破了对“0除外”这一难点的理解，使规律的得出水到渠成，严谨而有深度。

（四）分层练习，深化规律理解

1.【基础性练习——对口令】（约3分钟）

师：我们来玩一个对口令的游戏。我说一个算式，请你根据商不变的规律，说出一个商和它相同的算式。

师：12÷4=3

生1：（12×2）÷（4×2）=24÷8=3

生2：（12÷2）÷（4÷2）=6÷2=3

……

（变换形式，加快节奏，训练学生的反应速度和思维的灵活性）

2.【辨析性练习——火眼金睛】（约5分钟）

判断下面的说法或计算是否正确，并说明理由。（课件出示）

（1）48÷12=（48×5）÷（12×5）（）【重要】

（2）800÷20=（800÷10）÷（20÷10）（）

（3）200÷40=（200÷4）÷（40÷4）（）

（4）36÷9=（36×4）÷（9÷4）（）【高频易错点】

（5）因为7÷2=3……1，所以（7×10）÷（2×10）=70÷20=3……1（）【此处为后续学习“余数的变化”埋下伏笔，暂不深究，但引发思考】

学生独立思考后，用手势判断，并请学生代表上台讲解。重点分析第（4）题，强调必须是“同时”进行相同的运算（都乘或都除），不能一个乘一个除。第（5）题制造认知冲突，为下一课时的“余数变化规律”做铺垫。

3.【设计意图】通过不同层次的练习，巩固对规律的理解。对口令游戏增加了趣味性；辨析题则直指规律的核心要素“同时”、“相同”、“0除外”，通过错例分析，深化认识，提高思辨能力。

（五）应用拓展，感受规律价值

1.【核心应用1——口算简化】（约5分钟）

师：其实，这个规律不仅能帮我们玩游戏，还能帮我们快速计算。

出示例题：3600÷600=？

师：你能运用今天学的规律，把这个算式变得简单一些吗？

生：被除数和除数同时除以100，就变成了36÷6=6。

师：为什么可以除以100？

生：因为除以100后，商不变，但算起来更快了。

师：太聪明了！这就是把整百整千数的除法，转化为我们熟悉的表内除法来计算。

即时练习：4800÷400=？7200÷800=？5600÷70=？

2.【核心应用2——竖式的简写】（约8分钟）

师：商不变规律还有一个更厉害的用处，就是简化竖式计算。【非常重要】请大家看这道题：6500÷300=？

师：（板书竖式）我们可以运用规律，让计算过程更简洁。

师：被除数和除数有什么特点？

生：末尾都有0。

师：我们可以根据商不变规律，同时去掉一个“0”。也就是同时除以10，变成650÷30。现在算起来是不是简单多了？

教师示范竖式简写过程：在竖式中，用斜线划去被除数和除数末尾相同个数的“0”。边示范边讲解：

1.3.第一步：划去被除数6500末尾的一个0，同时也划去除数300末尾的一个0，这就表示它们同时除以了10，商不变。

2.4.第二步：现在计算650÷30，先用65个十除以30，商2（写在十位上），2×30=60，余5个十。

3.5.第三步：把个位的0落下来，变成50除以30，商1（写在个位上），1×30=30，余20。

师：所以，6500÷300=21……20。

【【难点再强调】】师：大家看，余数是多少？（20）很多同学可能会误以为是2，但我们要看余数在原来的数中是在哪一位。划掉一个0，相当于我们计算的是“多少个十”，所以余下的2是“2个十”，也就是20。这一点要特别留心！

巩固练习：用简便方法计算下面各题，并说说你是怎么想的。

8200÷400=9000÷500=7800÷1300=

（学生板演，集体订正，重点强调余数的意义。）

6.【设计意图】将商不变规律应用于口算和竖式计算，让学生切身体会到数学知识对简化计算的巨大作用，感受“学以致用”的乐趣，提升运算能力。同时，对“余数”的处理，既是本课时的延伸，也为后续学习埋下伏笔，体现了知识的连贯性。

（六）课堂总结，构建知识网络

1.【回顾梳理】（约3分钟）

师：同学们，今天这节课，我们和猴王一起经历了一次有趣的数学探索之旅。现在旅程即将结束，请大家回顾一下，我们是怎么发现商不变规律的？

生：我们先是从猴王分桃的故事里发现了商没变，然后观察一组算式提出了猜想，接着我们又举了很多例子来验证，最后还发现了要特别注意“0除外”，才总结出了完整的规律。

师：说得真好，这就是数学研究的一般方法。那这个规律帮我们解决了哪些实际问题？

生：让口算变得简单，还能让竖式计算更简便。

师：没错，尤其是当被除数和除数末尾都有0的时候，“划0法”非常高效，但一定要注意余数的变化。

2.【知识关联】（约1分钟）

师：今天学习的商不变规律，其实是我们数学王国里的一把“万能钥匙”。以后我们学习小数除法时，要把除数是小数的除法变成除数是整数的除法，靠的就是它；学习分数时，分数的基本性质和它也是“孪生兄弟”；到了六年级学习比的基本性质，也跟它一模一样。所以，掌握了今天的知识，就等于为以后的学习打下了一块非常重要的基石。

3.【设计意图】通过引导学生回顾探究过程，不仅强化了对知识的记忆，更重要的是提炼了“猜想—验证—总结—应用”的数学学习方法，提升了学生的元认知能力。同时，点明该规律在知识体系中的核心地位，激发学生后续学习的期待。

六、板书设计

商不变规律及其应用

6÷3=2

↓×10↓×10↓不变规律：被除数和除数

60÷30=2同时乘或除以

↓×2↓×2↓不变一个相同的数（0除外），

120÷60=2商不变。

↓÷2↓÷2↓不变

60÷30=2应用：

1.口算简化

（猜想→验证→规律）3600÷600=36÷6=6

2.竖式简写（划0）

6500÷300=21……20

注意余数的意义。

七、教学反思与预设

（一）预设与生成

1.在举例验证环节，学生很可能写出如（0×5）÷（5×5）的算式，导致除数为0。教师应将其作为宝贵课堂生成资源，引导学生讨论，从而深刻理解“0除外”的必要性。

2.在应用竖式简写时，学生可能会忘记处理余数，或将余数写错。教师要通过数位分析（余下的数在哪个数位上，就表示几个该数位的计数单位），帮助学生透彻理解，不可只记方法，不明算理。

（二）跨学科视野渗透

1.【与科学的联系】商不变规律体现了事物发展变化中的“守恒性”，类似于自然界中的能量守恒、质量守恒定律，引导学生用联系的眼光看待世界。

2.【与哲学的联系】“变”与“不变”是一对哲学范畴，通过本课学习，让学生初步感悟：形式（被除数和除数）在变，但本质（商）可以保持不变，培养学生的辩证思维。

（三）作业设计

1.【基础作业】完成练习册相关习题，重点是用竖式的