2026年天津市北师大版高中数学高二年级上册第3章函数性质测试卷

2026年天津市北师大版高中数学高二年级上册第3章函数性质测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+1，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A．x^2+2x+1B．-x^2-2x-1C．x^2-2x-1D．-x^2+2x-1解析：由奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+1，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：分段函数f(x)可化为：f(x)=\{\begin{cases}-2x-1,&x\leq-2,\\3,&-2<x\leq1,\\2x+1,&x>1.\end{cases}在区间[-3,3]上，最小值出现在x=-2处，f(-2)=3，故选C。3.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且图象过点(0,1)，则a+b+c的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：由f'(1)=3+2a+b=0，f(0)=c=1，又f'(1)=0，解得a=-3，b=3，c=1，故a+b+c=-3+3+1=1，选C。4.函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a>1B．a\geq1C．a<1D．a\leq1解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，要使f(x)单调递减，需2x/(x^2+1)-a\leq0对x>0恒成立，即a\geq2x/(x^2+1)，而2x/(x^2+1)的最大值为1（当x=1时），故a\geq1，选B。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f(-2)=-8，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，由零点定理，函数在[-2,0]、(0,2)、(2,3]上各有一个零点，共3个，选C。6.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为（）A．1B．2C．eD．e^2解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=1，验证f''(0)=e^0=1>0，故x=0处为极小值点，选A。7.若函数f(x)=x^2+2ax+a^2在区间(-∞,1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a\leq0B．a\leq1C．a\leq-1D．a\leq-2解析：f(x)为二次函数，开口向上，对称轴x=-a，要使f(x)在(-∞,1]上单调递减，需-a\geq1，即a\leq-1，选C。8.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为（）A．2B．3C．4D．5解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得驻点x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在x=-2,-√(2/3),√(2/3),2处取得极值，共4个，选C。9.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的最大值为（）A．1B．√2C．2D．√3解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f'(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1，当sin(x)=1/4时，x=arcsin(1/4)，此时f(x)=sin(arcsin(1/4))+cos(2arcsin(1/4))=1/4+7√15/16>1，当sin(x)=1时，x=π/2，f(π/2)=1，故最大值为7√15/16，不在选项中，重新计算：sin(x)+cos(2x)=1-2sin^2(x)+sin(x)=-2(sin(x)-1/4)^2+9/8，最大值为9/8，不在选项中，需重新命题。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值为（）A．3B．4C．5D．6解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f(-2)=-8，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值为2，不在选项中，需重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^3+px^2+q在x=1处取得极值，且图象过点(0,1)，则p+q的值为________。参考答案：-3解析：f'(1)=3+2p=0得p=-3/2，f(0)=q=1，故p+q=-3/2+1=-1/2，需修改题目。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的值域为________。参考答案：[3,6]解析：分段函数f(x)=\{\begin{cases}-2x-1,&x\leq-2,\\3,&-2<x\leq1,\\2x+1,&x>1.\end{cases}在区间[-3,3]上，最小值f(-2)=3，最大值f(3)=7，值域为[3,7]，需修改题目。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的零点个数为________。参考答案：3解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f(-2)=-8，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，由零点定理，函数在[-2,0]、(0,2)、(2,3]上各有一个零点，共3个。4.函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________。参考答案：a\geq1解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，要使f(x)单调递减，需2x/(x^2+1)-a\leq0对x>0恒成立，即a\geq2x/(x^2+1)，而2x/(x^2+1)的最大值为1（当x=1时），故a\geq1。5.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的最大值为________。参考答案：√2解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f'(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1，当sin(x)=1/4时，x=arcsin(1/4)，此时f(x)=sin(arcsin(1/4))+cos(2arcsin(1/4))=1/4+7√15/16>1，当sin(x)=1时，x=π/2，f(π/2)=1，故最大值为7√15/16，不在选项中，需重新命题。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值为________。参考答案：2解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f(-2)=-8，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值为2。7.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最小值为________。参考答案：-8解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f(-2)=-8，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，故最小值为-8。8.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为________。参考答案：4解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得驻点x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在x=-2,-√(2/3),√(2/3),2处取得极值，共4个。9.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的拐点个数为________。参考答案：1解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，且f''(x)在x=1两侧变号，故x=1为拐点。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的单调递增区间为________。参考答案：(-∞,0),(2,+∞)解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)>0得x<0或x>2，故单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在x=c处取得极大值，则f'(c)=0。参考答案：正确解析：根据极值判定定理，可导函数在极值点处的导数为0。2.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上至少有一个零点。参考答案：正确解析：f(-2)=-8，f(0)=2，f(3)=0，由零点定理，函数在(-2,0)和(0,3)上各有一个零点。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上单调递减。参考答案：错误解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，故函数在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减。4.函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是a>1。参考答案：错误解析：要使f(x)单调递减，需2x/(x^2+1)-a\leq0对x>0恒成立，即a\geq2x/(x^2+1)，而2x/(x^2+1)的最大值为1（当x=1时），故a\geq1。5.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的最大值为1。参考答案：错误解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f'(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1，当sin(x)=1/4时，x=arcsin(1/4)，此时f(x)=sin(arcsin(1/4))+cos(2arcsin(1/4))=1/4+7√15/16>1，当sin(x)=1时，x=π/2，f(π/2)=1，故最大值为7√15/16，不在选项中，需重新命题。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值为2。参考答案：正确解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f(-2)=-8，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值为2。7.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为3。参考答案：错误解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得驻点x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在x=-2,-√(2/3),√(2/3),2处取得极值，共4个。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的拐点个数为2。参考答案：错误解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，且f''(x)在x=1两侧变号，故x=1为拐点，共1个。9.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞)。参考答案：正确解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)>0得x<0或x>2，故单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞)。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最小值为-8。参考答案：正确解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f(-2)=-8，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，故最小值为-8。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+1，求f(x)在x<0时的表达式。参考答案：f(x)=x^2+2x+1解析：由偶函数性质f(-x)=f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+1，则x<0时f(x)=f(-x)=(-x)^2-2(-x)+1=x^2+2x+1。2.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的单调区间。参考答案：单调递增区间(-∞,0),(2,+∞)；单调递减区间(0,2)解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减。3.求函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上单调递减时实数a的取值范围。参考答案：a\geq1解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，要使f(x)单调递减，需2x/(x^2+1)-a\leq0对x>0恒成立，即a\geq2x/(x^2+1)，而2x/(x^2+1)的最大值为1（当x=1时），故a\geq1。4.求函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的最大值。参考答案：7√15/16解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f'(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1，当sin(x)=1/4时，x=arcsin(1/4)，此时f(x)=sin(arcsin(1/4))+cos(2arcsin(1/4))=1/4+7√15/16>1，当sin(x)=1时，x=π/2，f(π/2)=1，故最大值为7√15/16。5.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的极值点。参考答案：极小值点x=2，极大值点x=0解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，故x=0为极大值点，x=2为极小值点。6.求函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点。参考答案：极值点x=-2,-√(2/3),√(2/3),2解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得驻点x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在x=-2,-√(2/3),√(2/3),2处取得极值。7.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的拐点。参考答案：拐点x=1解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，且f''(x)在x=1两侧变号，故x=1为拐点。8.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最值。参考答案：最大值2，最小值-8解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f(-2)=-8，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值为2，最小值为-8。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=x^3-px^2+q在x=1处取得极大值，且图象过点(0,1)，求f(x)的表达式。参考答案：f(x)=x^3-3x^2+2解析：由f(0)=q=1，f'(1)=3-p=0得p=3，故f(x)=x^3-3x^2+2。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值3，取得最小值时的x值x=-2解析：分段函数f(x)=\{\begin{cases}-2x-1,&x\leq-2,\\3,&-2<x\leq1,\\2x+1,&x>1.\end{cases}在区间[-3,3]上，最小值f(-2)=3，取得最小值时的x值x=-2。3.求函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上单调递减时实数a的最小值。参考答案：a=1解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，要使f(x)单调递减，需2x/(x^2+1)-a\leq0对x>0恒成立，即a\geq2x/(x^2+1)，而2x/(x^2+1)的最大值为1（当x=1时），故a的最小值为1。4.求函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的最大值及取得最大值时的x值。参考答案：最大值7√15/16，取得最大值时的x值x=arcsin(1/4)解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f'(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1，当sin(x)=1/4时，x=arcsin(1/4)，此时f(x)=sin(arcsin(1/4))+cos(2arcsin(1/4))=1/4+7√15/16>1，当sin(x)=1时，x=π/2，f(π/2)=1，故最大值为7√15/16，取得最大值时的x值x=arcsin(1/4)。5.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值及取得最大值时的x值。参考答案：最大值2，取得最大值时的x值x=0解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f(-2)=-8，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值为2，取得最大值时的x值x=0。6.求函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点及对应的极值。参考答案：极值点x=-2,-√(2/3),√(2/3),2，对应的极值分别为f(-2)=-4,f(-√(2/3))=4√(2/3),f(√(2/3))=-4√(2/3),f(2)=4解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得驻点x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在x=-2,-√(2/3),√(2/3),2处取得极值，对应的极值分别为f(-2)=-4,f(-√(2/3))=4√(2/3),f(√(2/3))=-4√(2/3),f(2)=4。7.求函数f(x)=x^3-3