线性代数“课程思政”教学案例

线性代数“课程思政”教学案例

教学部门：莆田学院数学与金融学院制作人：林丽芳

课程名称线性代数授课对象理工科各专业

课程类型公共基础课课程总学时32

教材信息《线性代数》，晏瑜敏、陈梅香、曾月迪，厦门大学出版

社，2017年

章节名称

4.1线性方程组的基本概念4.2解线性方程组

知识点名称

线性方程组、高斯消元法

一、课程简介

线性代数是一门数学基础课，是理工科各专业必修课程，开设这门课是为了

让学生学习线性代数的基本知识和基本方法，使学生打下坚实的数学基础，掌握

牢固的数学知识，提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、实际应用能力以及

解题的技能与技巧。

线性代数主要讲述行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征

向量、相似矩阵与二次型六个方面的内容。线性代数所体现的几何观念与代数方

法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的

归纳综合等，对于强化学生的数学训练，增益科学智能是非常有用的。

随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多

个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的

发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。

线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支

中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、

密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。

二、课程挖掘的思政资源分析

《线性代数》课程主要从以下三方面挖掘思想政治教育资源：

1、引入教学的背景知识，挖掘具体知识点的思政元素。

（1）弘扬社会主义核心价值观，中华民族古代优秀的成果和文化传统，激

发学生的爱国情怀，增强文化自信。在线性方程组的基本概念讲授中，介绍线性

方程组的起源：对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，公元300年

的《九章算术》，南北朝时期《张邱建算经》的百鸡问题，感受中国古代数学辉

煌成就，激发爱国情怀，增强民族自豪感、自信心。

（2）培育马克思主义哲学育人思想，引导学生善于观察、挖掘数学特点、

找到规律；数学的和谐之美、统一之美，用发展的眼光看问题的能力；提高学生

的辩证思维能力，认识事物内部规律，进行创造性的探索。著名的捷克数学家波

尔达斯说过：“没有哲学，固然难以得知数学的深度，然而没有数学，也同样无

法探知哲学的深度”，两者相互依存，相互依赖。线性代数中大多数定义、公式

及结论是从具体的客观现象中提取出来，蕴含着丰富的哲学思想。比如：开学第

一课线性代数的应用中认识世界和改造世界的哲学思想：行列式和矩阵的概念的

产生、行列式按行（列）展开定理及Laplace定理：八阵图的“玄机”中“现象

与本质”的辩证关系；分块矩阵、极大无关组、线性方程组的基础解系中“整体

与部分”的辩证统一关系；初等变换与初等矩阵、线性方程组的高斯消元法与初

等变换化矩阵行阶梯和行最简形中“变与不变”的辩证关系；根据矩阵的秩和行

列式的值判断矩阵的可逆性，根据向量组的秩判断向量组的线性相关性；根据方

程组系数矩阵和增广矩阵的秩来判断方程组是否有解中“量变与质变”的辩证关

系等等。

（3）学习著名数学家的先进事迹，培养学生爱国、敬业、诚信、公平、平

等的美德，感知崇高的职业道德以及勇攀科学高峰的科学精神、敬业精神和工匠

精神。线性代数中的数学家：矩阵理论的贡献者、行列式概念的发明者：德国数

学家莱布尼茨和日本教学家关孝和；第一个把行列式理论与线性方程组求解相分

离的人：法国数学家范德蒙德；对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明

确的阐述，解线性方程组的克莱姆法则：瑞士数学家克莱姆等等。

2、数学来源于实践，服务于实践，注重学以致用，结合现实问题，从线性

代数在科学技术各个领域的应用融入思政情感。从生活出发强调数学知识的应用,

以问题为导向，充分发挥学生的主观能动性，通过解决问题培养学生严谨的科学

精神。体会数学大有用武之地，培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能

力，创新能力和大国工匠精神。引导学生用数学思维形成正确的世界观、价值观、

人生观，认同学科与专业，从而培养和塑造学生的积极向上的个性。用科学理性

的态度去面对问题、解决问题，用科学知识、科学素养去影响和改变世界。

（1）开学第一课介绍线性代数在网络通讯、计算机图形学、计算机辅助设

计、密码学、虚拟现实，Google搜索排序、Netflix视频推荐等技术的应用。树

立学生学好线性代数的信心，规划线性代数的学习方式，学好线性代数，改变思

考世界的方式。

（2）日常生活中线性代数的应用。案例：①显示器色彩制度转换问题中方

阵的行列式的应用、②密码通讯问题、投入产出问题中逆矩阵的应用；③计算机

图形学中平面图形的几何变换中矩阵的运算应用；④5G通信编码技术一一极化

码中矩阵乘法的应用；⑤线性运算在卷积神经网络的应用；⑥主成分分析法中特

征信和特征向量的应用：⑦交通运输问题中矩阵乘法的应用；⑧cna-hct编码和

分布式表不中向量的应用。

3、崇尚科学精神，挖掘与国家科技发展相结合的思政素材元素，运用专业

历史和人物教育作用，引导学生体会社会主义的优越性，中国科技知识强国梦，

领会中国特色社会主义道路自信、理论自信、制度自信、文化自信的价值。引导

学生关心关注国家大事，感受大国制造魅力，培养朴素爱国主义情感。

（1）北斗精神。案例：北斗卫星导航系统中发性方程组的应用（背景：2020

年7月31日，北斗三号全球卫星导航系统正式开通）。

（2）航天精神。案例：①嫦娥五号月球探测器的控制系统中向量空间的应

用（背景：2020年11月24日凌晨4点30分，长征五号运载火箭托举着嫦娥五

号月球探测器点火升空）;②太空探测器轨道数据问题中分块矩阵的应用（背景：

2020年7月23日12时41分，长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场点火起

飞，中国中国首般火星探测器“天问一号”迈出行星探测的笫一步，2021年4月

29日11时23分，长征五号B遥二运载火箭搭载空间站天和核心舱，在海南文

昌航天发射场发射升空）。

三、案例课信息

教学目标1.价值目标

（1）引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，激发学生

崇尚科学、敢于创新在实践中深化认识，达到学以致用。

（2）感受中国古代数学辉煌成就，激发爱国情怀，增强民

族自豪感、自信心。展示中国科技力量中线性代数的应用，培养

勇攀科学高峰的科学精神、敬业精神和工匠精神。

2.知识目标

（1）掌握线性方程组的基本概念：系数矩阵，增广矩阵，

矩阵表达方式；

（2）了解《九章算术》的遍乘直除；熟练掌握高斯消元法

解线性方程组，即用初等行变换求线性方程组的解的方法；

（3）掌握阶梯形线性方程组的形状与线性方程组的解的关

系，了解线性方程组的相关应用。

3.能力目标

（1）加强线性方程组消元法求解能力的培养，加深对概念

的理解和方法的掌握，从而获得相关的知识，进一步提高逻辑思

维能力。

（2）综合运用所学线性方程组知识分析问题、解决有关实

际问题的能力，培养学生的实践能力和创新能力。

教学内容分1.课堂设计思路

析（1）创设情境：线性关系即数学对象之间的关系是以一次

形式来表示的，含有〃个未知量的一次方程称为线性方程。线性

关系问题简称线性问题，解线性方程组的问题是最简单的线性

问题。

（2）提出问题：根据学习通课前预习中国古老智慧《九章

算术》、《张邱建算经》中线性方程组的理论成果，提出如何用规

代语言描述《九章算术》中解线性方程组的遍乘直除方法。

（3）分析问题：与学生探讨消元法的求解思路，阶梯形线

性方程组的形状与线性方程组的解的关系。

（4）解决问题：学生动手求解线性方程组，学习通课程活

动形成线性方程组在中国北斗卫星导航系统的应用探讨专题。

2.教学重点

消元法：初等变换解线性方程组。

3.教学难点

将线性方程组的消元转化为对增广矩阵自上而下作初等行

变换为行阶梯形矩阵，通过（1）系数矩阵与增广矩阵的秩［系

数矩阵为任何形状矩阵），（2）系数矩阵的行列式（系数矩陡是

方阵），讨论线性方程组解的三种情况，最后对行阶梯形矩陇自

下而上作初等行变换为行最简形，从而得到线性方程组的一般

解。

4.对重点、难点的处理

（1）教学重点的处理：给出三种线性方程组：一般形状、

阶梯形状、最简形状的线性方程组，启发学生思考三种形状下线

性方程组求解的难易，从而直观给出消元法的解题思路。

（2）教学难点的处理：通过构造三种具体的阶梯形线性方

程组，引导学生找到相应的三种解，启发学生思考三种解情况下

系数矩阵与增广矩阵的秩之间的关系，系数矩阵的行列式的值

的特点，从特殊到一般，从而得到线性方程组解的判断方法。

课堂组织与1.教学过程

实施（1）线性方程组的定义

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。一

般形式如下：

卜内+《2々+…+=4

+

〃21盾a22X2+",+a2nXn=^2

«o

・・•・・・•・・・・•・•・

1%内++…+二鬣

通常把方程组的系数和常数项写成下列表格的形式：

<a\\…?”小、

a2\a22…a2n^2

<am\am2***amn>

表中的第i行代表方程组的第i个方程，第/列表示丐的系数，

最后一列表示常数项。这个表称为线性方程组的增广矩阵。去掉

最后一列，得到另一个矩阵

“11为2­,*

a2\a22…a2”

<am\a,n1,.，，，”,

它称为线性方程组的系数矩阵。

(2)线性方程组的解的理论发展历史

对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在

公元初《九章算术》方程章中。《九章算术》成书于公元一世纪

左右，书中第八章“方程”采用分离系数的方法表示线性方程组,

相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初

等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。其中

南北朝时期《张邱建算经》的百鸡问题给出三元不定方程组尹创

“一问多答”的先例。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出

完整的线性方程的解法法则。

思政小贴士：

我国古代的许多数学成就都领先于世界，激发爱国情怀，增

强民族自豪感、自信心。

(3)与学生探讨消元法的求解思路

两种比较特殊的线性方程组：

阶梯形线性方程组：

%］内十%2K2+"•十%”工，=4

++%产〃=瓦

心…+%”%二4

・••••••••・・・

am-\n-\Xn-\+am-\nXn=

4,甬=超

最后一个方程可以找到乙的解，带到倒数第二个方程可以

得到的解，以此类推，可以得到X2,X]o

最简形线性方程组：

5

9=h2

《

••••♦•••

加=%

X”=b,“

直接就是线性方程组的解。

从上面可以看出线性方程组的解题思路：将线性方程组自

上而下化成阶梯形线性方程组，再自上而下化成最简形线性方

程组。

思政小贴士：消元法的思路分析

善于观察、挖掘数学特点、找到规律；数学的和谐之美、统

一之美；用发展的眼光看问题的能力。

(4)高斯消元法

-2x}-3X2+4X3=4

例1消元法求解线性方程组＜%+2/-七二-3。

2x]+2X2-6七--2

上面的方法具有一般性，即无论方程组只有一个解或有无穷

个解还是没有解，都可用消元法将其化为一个阶梯形方程组，从

而判断出它是否有解。

消元法由以下三种基本的变换所构成：

交换方程组中某两个方程的位置；用一个非零数乘某一个方

程；用一个数乘某一个方程后加到另一个方程上。这三种变换称

为线性方程组的初等变换。

用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复地实

行初等变换的过程，即对增广矩阵化行阶梯形矩阵的过程。

(5)阶梯形线性方程组的形状与线性方程组的解

=h解的数目(A,Z?)—>(AZ?)

2X[+3X2-x3=I23-1r

0

2X2+x3=2212

无解

0=10001

r(4)xr(A方),/•(人,>)=，(八)+1

—r,4-2r3=RU-128、

0211

2X2+当=1

有唯一解

x?=5、0015,

/•(A)―/•(A,Z?)-3

12112

X+2x2+x3+x4=2、

xy+4X4=3有无数多个解00143；

r(Ay=)•(A,/))=2v4

分析：从矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系就能得到线性方程

组的解的情况。特别地:线性方程组的系数矩阵是方阵的时候,

行列式不等于零解唯一,行列式等于零解有无解和无数多解两

种情况。

例2线性方程组

(1+4)4+%2+工3=0

X)+(1+A)X2+x3=3

X]+x2+(14-2)%,=2

九取何值时（1）有唯一解？（2）无解?（3）无数多个解，尹求

其通解。

解:

1+A110、111-+-A2、

11+3l+A13

11+23J+211”

11l+A

3-2o2-A3-2(A,b)

-A-丸一)（）0-2(2+3)-(24-3X2-1),

因为问=-42(4+3),所以:

当九。0工工一3时，方程组有唯一解;

当4=0时，方程组无解。

」110、

（AZ?）->0003

0003/

当义=—3时，方程组有无数多个解。

q1-2-3、11-2-3、q0-1-I

0-33601-1-2—>0i-1-2

*00000）w000

因此，原方程组可化为

%-思二-1

x>一七二—2

原方程组的通解为

内=刍-1

«七二%一1

其中天是任意的实数。

（6）中国北斗卫星导航系统与线性方程组

目前世界上有四种导航系统：美国卫星导航系统：GPS（全

球定位系统）；中国卫星导航系统：BDS（北斗系统）；俄罗斯卫

星导航系统：GLONASS（格洛纳斯系统）；欧洲卫星导航系统:

GALILEO（伽利略系统）。

2020年7月31日，北斗三号全球卫星导航系统正式开通。

导航系统的基本原理是测量出已知位置的卫星到用户接收

机之间的距离，然后综合多颗卫星的数据就可知道接收机的具

体位置。其中就涉及到线性方程纽的求解应用。

思政小贴士：

中国科技知识强国梦正在路上，中国北斗联天下自主建设

并独立运行，培养青年学子的爱匡主义思想，传承新时代北斗精

神,将“个人梦”和“中国梦”相结合，担负起向己的使命与责

任。

2.教学方法

合理运用发现式、启发式、问题导入式、问题探究式教学等

教学方法，提出知识点和思政问题让学生参与讨论，吸引学生的

注意力，诱导学生深度进行知识点以及思政思考，形成自己的知

识点体系和思政正能量。

3.教学活动设计

（1）《九章算术》、《张邱建算经》中线性方程组的理论成果：

线上学习通平台提供资料，学生自主学习探索，线下课堂讨论交

流，感受中国古老智慧的魅力。

（2）消元法的思路分析：学习通课程班级活动“主题讨论”

中交流，启发式、互动式教学，从特殊到一般，以学生为中心来

挖掘消