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职高数学数列典型试题及标准答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若数列{a<sub>n</sub>}的前n项和为S<sub>n</sub>=2n<sup>2</sup>+3n，则a<sub>5</sub>等于（）A.45B.50C.55D.602.已知数列{a<sub>n</sub>}中，a<sub>1</sub>=1，a<sub>n+1</sub>=a<sub>n</sub>+2n，则a<sub>6</sub>等于（）A.11B.13C.15D.173.一个数列的前n项和为S<sub>n</sub>=n<sup>2</sup>-2n+1，则该数列是（）A.等差数列但不是等比数列B.等比数列但不是等差数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列4.在等差数列{a<sub>n</sub>}中，若a<sub>3</sub>=7，a<sub>5</sub>=13，则该数列的公差d等于（）A.2B.3C.4D.55.已知等差数列{a<sub>n</sub>}的公差d=3，a<sub>10</sub>=22，则a<sub>1</sub>等于（）A.3B.4C.5D.66.等比数列{b<sub>n</sub>}中，若b<sub>1</sub>=2，b<sub>4</sub>=16，则该数列的公比q等于（）A.2B.-2C.4D.-47.在等比数列{c<sub>n</sub>}中，若c<sub>2</sub>=6，c<sub>4</sub>=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.-3C.2D.-28.等差数列{a<sub>n</sub>}中，a<sub>1</sub>=-5，公差d=2，若a<sub>n</sub>=65，则n等于（）A.35B.36C.37D.389.等比数列{b<sub>n</sub>}中，若b<sub>1</sub>=3，q=-2，则该数列的前4项和S<sub>4</sub>等于（）A.45B.-45C.39D.-3910.等比数列{c<sub>n</sub>}中，若首项c<sub>1</sub>=1，公比q≠1，且前n项和S<sub>n</sub>=80，则q等于（）A.2B.4C.2或-4D.4或-4二、多选题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得4分，部分选对得2分，有选错或不选的得0分。）11.下列说法中，正确的有（）A.若数列{a<sub>n</sub>}是等差数列，则数列{a<sub>n</sub>+1}也是等差数列B.若数列{a<sub>n</sub>}是等比数列，则数列{a<sub>n</sub>+1}也是等比数列C.若数列{a<sub>n</sub>}是等差数列，则数列{n*a<sub>n</sub>}也是等差数列D.若数列{a<sub>n</sub>}是等比数列，则数列{n*a<sub>n</sub>}也是等比数列12.已知数列{a<sub>n</sub>}的前n项和为S<sub>n</sub>=3n<sup>2</sup>-2n，则下列结论中正确的有（）A.a<sub>1</sub>=1B.a<sub>2</sub>=10C.数列{a<sub>n</sub>}是等差数列D.a<sub>n</sub>=6n-513.在等差数列{a<sub>n</sub>}中，若a<sub>p</sub>=m，a<sub>q</sub>=n(p≠q)，则下列结论中正确的有（）A.a<sub>p+q</sub>=m+nB.a<sub>p-q</sub>=|m-n|C.S<sub>p+q</sub>=(p+q)(m+n)/2D.S<sub>p</sub>+S<sub>q</sub>=(p+q)(m+n)14.在等比数列{b<sub>n</sub>}中，若b<sub>2</sub>*b<sub>8</sub>=64，则下列结论中可能正确的有（）A.b<sub>5</sub>=4B.b<sub>5</sub>=-4C.b<sub>6</sub>*b<sub>4</sub>=16D.b<sub>6</sub>*b<sub>4</sub>=-1615.关于等差数列{a<sub>n</sub>}和等比数列{b<sub>n</sub>}，下列说法中正确的有（）A.若等差数列{a<sub>n</sub>}全部为正数，则其前n项和S<sub>n</sub>一定为正数B.若等比数列{b<sub>n</sub>}全部为正数，则其前n项和S<sub>n</sub>一定为正数C.存在等差数列{a<sub>n</sub>}和等比数列{b<sub>n</sub>}，使得a<sub>1</sub>=b<sub>1</sub>，a<sub>2</sub>=b<sub>2</sub>，但a<sub>3</sub>≠b<sub>3</sub>D.不存在等差数列{a<sub>n</sub>}和等比数列{b<sub>n</sub>}，使得a<sub>1</sub>=b<sub>1</sub>，a<sub>2</sub>=b<sub>2</sub>，a<sub>3</sub>=b<sub>3</sub>(a<sub>1</sub>≠0,q≠1)三、解答题（本大题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.(本小题满分8分)已知数列{a<sub>n</sub>}的前n项和为S<sub>n</sub>=n<sup>2</sup>+n-6。(1)求数列{a<sub>n</sub>}的通项公式a<sub>n</sub>；(2)若b<sub>n</sub>=a<sub>n</sub>/2<sup>n</sup>，求数列{b<sub>n</sub>}的前n项和T<sub>n</sub>。17.(本小题满分10分)在等差数列{a<sub>n</sub>}中，a<sub>5</sub>=10，a<sub>12</sub>=25。(1)求该数列的通项公式a<sub>n</sub>和前n项和S<sub>n</sub>；(2)设b<sub>n</sub>=(S<sub>n</sub>)<sup>2</sup>，求证：数列{b<sub>n</sub>}从第2项起是等比数列。18.(本小题满分10分)一个等比数列{c<sub>n</sub>}的前3项和为26，前6项和为42。(1)求数列{c<sub>n</sub>}的首项c<sub>1</sub>和公比q；(2)求数列{c<sub>n</sub>}的前n项和S<sub>n</sub>。19.(本小题满分12分)已知数列{a<sub>n</sub>}满足a<sub>1</sub>=2，a<sub>n+1</sub>=3a<sub>n</sub>+2。(1)求数列{a<sub>n</sub>}的通项公式；(2)设b<sub>n</sub>=a<sub>n</sub>+1，求证数列{b<sub>n</sub>}是等比数列，并求其通项公式。20.(本小题满分10分)在等差数列{a<sub>n</sub>}中，若a<sub>1</sub>=0，公差d>0。设S<sub>k</sub>是数列{a<sub>n</sub>}前k项和，T<sub>k</sub>是S<sub>k</sub>的所有项的数字和（例如S<sub>5</sub>=5，T<sub>5</sub>=5；S<sub>6</sub>=21，T<sub>6</sub>=3)。若T<sub>k</sub>=9，求k的值。试卷答案一、选择题1.A2.C3.A4.B5.D6.A7.A8.A9.B10.C二、多选题11.A,C12.A,B,D13.A,C14.A,C,D15.A,B,C三、解答题16.(1)解：当n=1时，a<sub>1</sub>=S<sub>1</sub>=1+1-6=-4。当n≥2时，a<sub>n</sub>=S<sub>n</sub>-S<sub>n-1</sub>=(n<sup>2</sup>+n-6)-[(n-1)<sup>2</sup>+(n-1)-6]=2n。经检验，a<sub>1</sub>=-4符合上式。故数列{a<sub>n</sub>}的通项公式为a<sub>n</sub>=2n。(2)解：由(1)知b<sub>n</sub>=a<sub>n</sub>/2<sup>n</sup>=n/2<sup>n-1</sup>。T<sub>n</sub>=1/2<sup>0</sup>+2/2<sup>1</sup>+3/2<sup>2</sup>+...+n/2<sup>n-1</sup>。1/2*T<sub>n</sub>=1/2<sup>1</sup>+2/2<sup>2</sup>+3/2<sup>3</sup>+...+(n-1)/2<sup>n-1</sup>+n/2<sup>n</sup>。两式相减得：1/2*T<sub>n</sub>=1+1/2+1/2<sup>2</sup>+...+1/2<sup>n-1</sup>-n/2<sup>n</sup>=(1-1/2<sup>n</sup>)/(1-1/2)-n/2<sup>n</sup>=2-(n+2)/2<sup>n</sup>。故T<sub>n</sub>=4-(n+2)/2<sup>n-1</sup>。17.(1)解：设等差数列{a<sub>n</sub>}的公差为d。则a<sub>5</sub>=a<sub>1</sub>+4d=10，a<sub>12</sub>=a<sub>1</sub>+11d=25。解得a<sub>1</sub>=2，d=2。故a<sub>n</sub>=a<sub>1</sub>+(n-1)d=2+(n-1)*2=2n。S<sub>n</sub>=n/2*(a<sub>1</sub>+a<sub>n</sub>)=n/2*(2+2n)=n<sup>2</sup>+n。(2)证明：由(1)知b<sub>n</sub>=(S<sub>n</sub>)<sup>2</sup>=(n<sup>2</sup>+n)<sup>2</sup>=n<sup>4</sup>+2n<sup>3</sup>+n<sup>2</sup>。b<sub>n+1</sub>=[(n+1)<sup>2</sup>+(n+1)]<sup>2</sup>=(n<sup>2</sup>+3n+2)<sup>2</sup>=n<sup>4</sup>+6n<sup>3</sup>+13n<sup>2</sup>+12n+4。b<sub>n+1</sub>/b<sub>n</sub>=(n<sup>4</sup>+6n<sup>3</sup>+13n<sup>2</sup>+12n+4)/(n<sup>4</sup>+2n<sup>3</sup>+n<sup>2</sup>)=[(n<sup>4</sup>+2n<sup>3</sup>+n<sup>2</sup>)+4n<sup>3</sup>+12n<sup>2</sup>+12n+4]/(n<sup>4</sup>+2n<sup>3</sup>+n<sup>2</sup>)=1+4n<sup>2</sup>+12n+4/(n<sup>4</sup>+2n<sup>3</sup>+n<sup>2</sup>)=1+4n(n+3)+4/n<sup>2</sup>(n<sup>2</sup>+2n+1)=1+4n(n+3)/n<sup>2</sup>(n<sup>2</sup>+2n+1)+4/n<sup>2</sup>(n<sup>2</sup>+2n+1)。注意到当n≥2时，n<sup>2</sup>+2n+1=(n+1)<sup>2</sup>，且n(n+3)=n<sup>2</sup>+3n。故b<sub>n+1</sub>/b<sub>n</sub>=1+4(n<sup>2</sup>+3n)/n<sup>2</sup>(n+1)<sup>2</sup>+4/n<sup>2</sup>(n+1)<sup>2</sup>=1+4(n<sup>2</sup>+3n+1)/n<sup>2</sup>(n+1)<sup>2</sup>=1+4(n+1)<sup>2</sup>/n<sup>2</sup>(n+1)<sup>2</sup>=1+4/n<sup>2</sup>。由于n是正整数，所以1+4/n<sup>2</sup>是一个常数。因此，当n≥2时，数列{b<sub>n</sub>}是等比数列。18.(1)解：设等比数列{c<sub>n</sub>}的首项为c<sub>1</sub>，公比为q。由题意得，c<sub>1</sub>(1+q+q<sup>2</sup>)=26，c<sub>1</sub>(1+q+q<sup>2</sup>+q<sup>3</sup>+q<sup>4</sup>+q<sup>5</sup>)=42。将第二个式子除以第一个式子得：(1+q<sup>3</sup>)/(1+q+q<sup>2</sup>)=42/26=21/13。整理得：13+13q<sup>3</sup>=21+21q+21q<sup>2</sup>，即21q<sup>2</sup>-13q+8=0。解得q=1(舍去，因为若q=1，则前3项和与前6项和之比不为42/26)或q=8/21。当q=8/21时，c<sub>1</sub>(1+8/21+(8/21)<sup>2</sup>)=26。c<sub>1</sub>(1+8/21+64/441)=26，c<sub>1</sub>(441+168+64)/441=26。c<sub>1</sub>*673/441=26，c<sub>1</sub>=26*441/673=286。故c<sub>1</sub>=286，q=8/21。(2)解：由(1)知c<sub>1</sub>=286，q=8/21。当q=1时，S<sub>n</sub>=26n。当q≠1时，S<sub>n</sub>=c<sub>1</sub>*(1-q<sup>n</sup>)/(1-q)=286*(1-(8/21)<sup>n</sup>)/(1-8/21)=286*(1-(8/21)<sup>n</sup>)/(13/21)=286*21/13*(1-(8/21)<sup>n</sup>)=476*(1-(8/21)<sup>n</sup>)。故S<sub>n</sub>=26n(当q=1)或S<sub>n</sub>=476*(1-(8/21)<sup>n</sup>)(当q=8/21)。由于q=8/21≠1，故S<sub>n</sub>=476*(1-(8/21)<sup>n</sup>)。19.(1)解：由a<sub>n+1</sub>=3a<sub>n</sub>+2，得a<sub>n+1</sub>+1=3(a<sub>n</sub>+1)。设b<sub>n</sub>=a<sub>n</sub>+1，则b<sub>n+1</sub>=3b<sub>n</sub>。故数列{b<sub>n</sub>}是首项为b<sub>1</sub>=a<sub>1</sub>+1=2+1=3，公比为3的等比数列。b<sub>n</sub>=3*3<sup>n-1</sup>=3<sup>n</sup>。故a<sub>n</sub>=b<sub>n</sub>-1=3<sup>n</sup>-1。(2)证明：由(1)知b<sub>n</sub>=3<sup>n</sup>。b<sub>n+1</sub>/b<sub>n</sub>=3<sup>n+1</sup>/3<sup>n</sup>=3。由于公比q=3≠0，故数列{b<sub>n</sub>}是等比数列。其通项公式为b<sub>n</sub>=3<sup>n</sup>。20.解：由a<sub>1</sub>=0，d>0知，a<sub>n</sub>=a<sub>1</sub>+(n-1)d=(n-1)d>0，即d>0。S<sub>k</sub>=k/2*(a<sub>1</sub>+a<sub>k</sub>)=k/2*(0+(k-1)d)=k(k-1)d/2。S<sub>k</sub>的数字和T<sub>k</sub>=9。当k=1时，S<sub>1</sub>=0，T<sub>1</sub>=0≠9。当k=2时，S<sub>2</sub>=1*1*d=d，T<sub>2</sub>=d的数字和。d=9，则T<sub>2</sub>=9=9。符合。当k=3时，S<sub>3</sub>=3*2*d/2=3d，T<sub>3</sub>=3d的数字和。若d=9，T<sub>3</sub>=27的数字和为9；若d=19，T<sub>3</sub>=57的数字和为12；若d=29，T<sub>3</sub>=87的数字和为15；若d=39，T<sub>3</sub>=117的数字和为9。符合。当k=4时，S<sub>4</sub>=4*3*d/2=6d，T<sub>4</sub>=6d的数字和。若d=9，T<sub>4</sub>=54的数字和为9；若d=19，T<sub>4</sub>=114的数字和为5；若d=29，T<sub>4</sub>=174的数字和为12；若d=39，T<sub>4</sub>=234的数字和为9。符合。当k=5时，S<sub>5</sub>=5*4*d/2=10d，T<sub>5</sub>=10d的数字和。若d=9，T<sub>5</sub>=90的数字和为9；若d=19，T<sub>5</sub>=190的数字和为10；若d=29，T<sub>5</sub>=290的数字和为11；若d=39，T<sub>5</sub>=390的数字和为12。符合。当k=6时，S<sub>6</su

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