2026年陕西省苏教版高二数学第八十四章数列知识点巩固习题试卷

2026年陕西省苏教版高二数学第八十四章数列知识点巩固习题试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-10解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_5的值为（）A.242B.243C.244D.245解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时S_1=2符合，故b_5=2×3^4=162。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.90C.100D.105解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，变形为c_{n+1}+n(n+1)=c_n+n(n-1)+2n=n(n+1)，即数列{c_n+n(n-1)}为常数列。设c_n+n(n-1)=k，则c_n=k-n(n-1)，由c_1=1得k=3，故c_n=3-n(n-1)，c_10=3-10×9=-87。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2或-3C.3或-2D.2或3解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得q^2=9，解得q=3或q=-3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，验证n=1时e_1=T_1=2符合，故e_3=2×3=6。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_10的值等于（）A.45B.46C.47D.48解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，累加得f_n=f_1+∑_{k=1}^{n-1}log_2(k+1)=2+log_2(2×3×4×…×n)=2+log_2(n!)，f_10=2+log_2(10!)≈2+log_2(3628800)≈2+12=14。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3的值等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，解得a_3=3。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则h_4的值等于（）A.11B.12C.13D.14解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，验证n=1时h_1=S_1=-1符合，故h_4=4×4-5=11。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2/(n+1)，则i_5的值等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+2/(n+1)，累加得i_n=1+∑_{k=1}^{n-1}2/(k+1)=1+2∑_{k=2}^{n}/k=1+2(H_n-H_1)=1+2(H_n-1)，其中H_n为n阶调和级数。近似计算H_5≈3.3，故i_5≈1+2×2.3=5.6。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则j_5的值等于（）A.16B.24C.32D.64解析：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入j_1=1，j_3=8得q^2=8，故j_5=j_1q^4=1×8^2=64。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n=5n^2+3n，则该数列的通项公式a_n=_________。解：由S_n=5n^2+3n得a_n=S_n-S_{n-1}=10n+8，验证n=1时a_1=S_1=13符合。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_{n+1}=b_n+3n，则b_6的值等于_________。解：由递推关系b_{n+1}=b_n+3n，累加得b_n=2+∑_{k=1}^{n-1}3k=2+3(1+2+…+(n-1))=2+3(n-1)n/2=3n^2/2-n/2+1，b_6=3×36/2-6/2+1=53。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，则该数列的公比q=_________。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=4，c_4=16得q^2=4，解得q=±2。4.若数列{d_n}的前n项和T_n=n^3-n，则d_5的值等于_________。解：当n≥2时，d_n=T_n-T_{n-1}=3n^2-1，验证n=1时d_1=T_1=0符合，故d_5=3×25-1=74。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+n，则e_7的值等于_________。解：由递推关系e_{n+1}=e_n+n，累加得e_n=1+∑_{k=1}^{n-1}k=1+n(n-1)/2=n(n-1)/2+n/2=n^2/2，e_7=49/2=24.5。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=3，d=-2，则该数列的前10项和S_10=_________。解：由等差数列求和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入n=10，a_1=3，d=-2得S_10=5(6-18)=-60。7.已知数列{g_n}的前n项和R_n=2^n-1，则g_4的值等于_________。解：当n≥2时，g_n=R_n-R_{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时g_1=R_1=1符合，故g_4=8。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=2h_n+n，则h_6的值等于_________。解：由递推关系h_{n+1}=2h_n+n，变形为h_{n+1}-n=2(h_n-(n-1))，设u_n=h_n-n，则u_{n+1}=2u_n，u_n=2^{n-1}，故h_n=2^{n-1}+n，h_6=64+6=70。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，q=3，则该数列的前5项和T_5=_________。解：由等比数列求和公式T_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=2，q=3，n=5得T_5=2(1-3^5)/(-2)=242。10.已知数列{j_n}的前n项和P_n=n(n+1)/2，则j_3的值等于_________。解：当n≥2时，j_n=P_n-P_{n-1}=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n，验证n=1时j_1=P_1=1符合，故j_3=3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列一定是等差数列。（）解：由S_n=2n^2+3n得a_n=S_n-S_{n-1}=4n+1，故该数列是等差数列，正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0且q<0，则该数列的项数不可能为偶数。（）解：若项数为偶数，则b_{2k}=b_1q^{2k-1}与b_1同号，矛盾，正确。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+1，则该数列一定是等差数列。（）解：由递推关系c_{n+1}=c_n+1得d=1，故该数列是等差数列，正确。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=5。（）解：由等差数列性质5a_3=25得a_3=5，正确。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。（）解：当n≥2时e_n=T_n-T_{n-1}=2n，但n=1时e_1=T_1=2≠2，错误。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q=3。（）解：由等比数列性质f_4=f_2q^2，代入f_2=6，f_4=54得q^2=9，故q=±3，错误。7.若数列{g_n}满足g_{n+1}=g_n+n，则该数列的前n项和为n^3/6。（）解：由递推关系g_{n+1}=g_n+n，累加得g_n=n(n-1)/2+n/2=n^2/2，故前n项和为n(n+1)(2n+1)/6=n^3/3，错误。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=2，d=3，则该数列的前n项和S_n=3n^2+n。（）解：由等差数列求和公式S_n=n/2(4+(n-1)3)=3n^2/2+n，错误。9.若数列{i_n}的前n项和P_n=2^n-1，则i_n=2^{n-1}。（）解：当n≥2时i_n=P_n-P_{n-1}=2^{n-1}，但n=1时i_1=P_1=1≠1，错误。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，q=2，则该数列的前5项和T_5=31。（）解：由等比数列求和公式T_n=2^5-1=31，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项a_1=5，公差d=-3，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列求和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入n=10，a_1=5，d=-3得S_10=5(10-8)=-10。2.若数列{b_n}的前n项和T_n=3n^2-2n，求b_4的值。解：当n≥2时b_n=T_n-T_{n-1}=6n-5，验证n=1时b_1=T_1=1符合，故b_4=19。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=8，c_5=32，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_5=c_2q^3，代入c_2=8，c_5=32得q^3=4，解得q=∛4=1.587。4.若数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=2d_n+n，求d_5的值。解：由递推关系d_{n+1}=2d_n+n，累加得d_n=2^n+n(n-1)/2，故d_5=64+10=74。5.在等差数列{e_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，求a_3的值。解：由等差数列性质5a_3=25得a_3=5。6.已知数列{f_n}的前n项和R_n=2^n-1，求f_4的值。解：当n≥2时f_n=R_n-R_{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时f_1=R_1=1符合，故f_4=8。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=3，q=2，求该数列的前5项和T_5。解：由等比数列求和公式T_n=3(2^5-1)=93。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=h_n+2n，求h_6的值。解：由递推关系h_{n+1}=h_n+2n，累加得h_n=1+∑_{k=1}^{n-1}2k=1+n(n-1)，故h_6=21。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年增加10台，以后每年比上一年多增加5台，求第10年增加的设备数量。解：由等差数列性质a_1=10，d=5，第10年增加的设备数量a_{10}=10+9×5=55台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列性质a_1=100，q=1.1，2025年人口数量a_5=100×1.1^5≈161.05万。3.某投资账户每年收益率为前一年的120%，已知初始投资为1万元，求5年后的账户余额。解：由等比数列性质a_1=1，q=1.2，5年后账户余额a_5=1×1.2^5≈2.488万元。4.某林场计划每年比上一年多植树，已知第一年植树1000棵，以后每年比上一年多植树200棵，求第8年植树的数量。解：由等差数列性质a_1=1000，d=200，第8年植树数量a_8=1000+7×200=1800棵。5.某产品成本每年下降5%，已知2020年成本为100元，求2024年的成本。解：由等比数列性质a_1=100，q=0.95，2024年成本a_4=100×0.95^4≈81.46元。6.某公司员工工资每年上涨8%，已知2020年工资为5000元，求2026年的工资。解：由等比数列性质a_1=5000，q=1.08，2026年工资a_6=5000×1.08^6≈8144.47元。7.某城市道路建设每年比上一年增加长度，已知第一年增加10公里，以后每年比上一年多增加2公里，求第12年增加的道路长度。解：由等差数列性质a_1=10，d=2，第12年增加的道路长度a_{12}=10+11×2=32公里。8.某科技企业研发投入每年增长率为前一年的110%，已知2020年投入为1000万元，求2025年的研发投入。解：由等比数列性质a_1=1000，q=1.1，2025年研发投入a_5=1000×1.1^5≈1610.51万元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.C5.B6.A7.A8.A9.B10.D二、填空题1.10n+82.3n^2/2-n/2+13.±24.3n^2-15.n^2/26.-607.2^{n-1}8.2^{n-1}+n9.24210.3三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×6.×7.×8.×9.×10.√四、简答题1.S_10=5(10-8)=-102.b_4=193.q=∛4=1.5874.d_5=64+10=745.a_3=56.f_4=87.T_5=938.h_6=21五、应用题1.a_{10}=55台2.2025年人口≈161.05万3.5年后余额≈2.488万元4.a_8=1800棵5.2024年成本≈81.46元6.2026年工资≈8144.47元7.a_{12}=32公里8.2025年投入≈1610.51万元【解析】一、单项选择题1.解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，d=2，a_1=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.解：当n≥2时b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时b_1=S_1=2符合，故b_5=2×3^4=162。3.解：由递推关系f_{n+1}=f_n+2n，累加得f_n=f_1+∑_{k=1}^{n-1}2k=1+n(n-1)，故f_10=55。4.解：由等比数列性质q^2=8，解得q=±2√2，错误。5.解：当n≥2时e_n=T_n-T_{n-1}=2n，验证n=1时e_1=T_1=2符合，故e_4=8。6.解：由递推关系i_{n+1}=i_n+2/(n+1)，累加得i_n=1+2∑_{k=1}^{n-1}/(k+1)=1+2(H_n-H_1)，近似计算H_5≈3.3，故i_5≈5.6。7.解：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入j_1=1，j_3=8得q^2=8，故j_5=j_1q^4=64。8.解：当n≥2时g_n=R_n-R_{n-1}=2n，验证n=1时g_1=R_1=1符合，故g_4=8。9.解：由递推关系h_{n+1}=h_n+n，累加得h_n=1+∑_{k=1}^{n-1}k=1+n(n-1)/2，故h_6=21。10.解：由等比数列求和公式T_n=2^5-1=31，正确。二、填空题1.解：由等差数列求和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入n=10，a_1=5，d=-3得S_10=-10。2.解：当n≥2时b_n=T_n-T_{n-1}=6n-5，验证n=1时b_1=T_1=1符合，故b_4=19。3.解：由等比数列性质c_5=c_2q^3，代入c_2=8，c_5=32得q^3=4，解得q=∛4=1.587。4.解：由递推关系d_{n+1}=2d_n+n，累加得d_n=2^n+n(n-1)/2，故d_5=64+10=74。5.解：由等差数列性质5a_3=25得a_3=5。6.解：当n≥2时f_n=R_n-R_{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时f_1=R_1=1符合，故f_4=8。7.解：由等比数列求和公式T_n=3(2^5-1)=93。8.解：由递推关系h_{n+1}=h_n+2n，累加得h_n=1+∑_{k=1}^{n-1}2k=1+n(n-1)，故h_6=21。三、判断题1.解：由等差数列求和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入n=5，S_5=25得5a_3=25，故a_3=5，正确。2.解：若项数为偶数，则b_{2k}=b_1q^{2k-1}与b_1同号，矛盾，正确。3.解：由递推关系c_{n+1}=c_n+1，得d=1，故该数列是等差数列，正确。4.解：由等差数列性质5a_3=25得a_3=5，正确。5.解：当n≥2时e_n=T_n-T_{n-1}=2n，但n=1时e_1=T_1=2≠2，错误。6.解：由等比数列性质f_4=f_2q^2，代入f_2=6，f_4=54得q^2=9，故q=±3，错误。7.解：由递推关系g_{n+1}=g_n+n，累加得g_n=n(n-1)/2+n/2=n^2/2，故前n项和为n(n+1)(2n+1)/6=n^3/3，错误。8.解：由等差数列求和公式S_n=n/2(4+(n-1)3)=3n^2/2+n，错误。9.解：当n≥2时i_n=P_n-P_{n-1}=2^{n-1}，但n=1时i_1=P_1=1≠1，错误。10.解：由等比数列求和公式T_n=3(2^5-1)=31，正确。四、简答题1.解：由等差数列求和