广东省中山市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

广东中山市2025-2026学年第二学期期末综合练习高二数学试题一、单选题1．若是2和18的等比中项，则实数的值是（

）A．6 B．或6 C．10 D．或102．已知函数，则的值为（

）A． B． C． D．3．已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（

）A． B．2 C． D．4．已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．5．离散型随机变量X的分布列如下：X1234Pm0.3n0.2若，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．6．某公司人力资源部决定安排5名同事到3个人才市场进行人员招聘，每人只去一个人才市场，每个人才市场至少安排1人，则不同的安排方式共有（

）A．80种 B．150种 C．240种 D．360种7．某学习小组用计算机软件对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出经验回归方程，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到经验回归方程，则实数（）A． B． C． D．8．已知函数只有极小值，则一定有（）A． B． C． D．二、多选题9．已知事件，满足，，，则（

）A． B． C． D．10．设是任意等差数列，它的公差，前n项和，前2n项和与前3n项和分别为d，，，，则下列等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．11．三次函数有且仅有两个零点，（），且，则（

）A．B．的图象关于点对称C．D．在区间（）上有最大值，则m的取值范围是三、填空题12．已知数列的前n项和，则的通项公式为________．13．已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为______．14．已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则________．四、解答题15．已知正项数列满足a1=1，a2=2，a4=64，且．(1)求k的值；(2)求数列的通项公式．16．在的展开式中，第三项的二项式系数为15.(1)求n的值并求展开式中的常数项；(2)求展开式中的系数.17．流感病毒进入人体后存在潜伏期，潜伏期指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，传染给其他人的可能性越高.现抽样300个感染流感病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计得出样本潜伏期的平均数为2，方差为，若把超过3天的潜伏期视为长潜伏期，按照统计样本，得到如下列联表：年龄潜伏期合计长潜伏期非长潜伏期低年龄段40100140高年龄段30130160合计70230300(1)根据小概率值的独立性检验，分析潜伏期长短是否与年龄有关.(2)假设潜伏期X服从正态分布，其中近似样本平均数，近似为样本方差.①医院对有流感症状患者的密切接触者要求隔离5天，请用概率知识解释其合理性.②以题目中的样本数据估计概率，设800个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是，问当k为何值时，取最大值.附：，，0.100.050.0102.7063.8416.635若，则，，.参考数据：，，.18．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．19．已知，函数.(1)证明：有唯一的极大值点和极小值点.(2)记的极大值点为，极小值点为.（i）求的最小值；（ii）设，若互不相等的实数，，满足，证明：.参考答案1．B【详解】由题设.故选：B2．B【详解】由解析式知，所以.故选：B3．D【详解】因为，，所以，故是周期为3的周期数列，且，所以.4．C【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，则当时，，时，，时，，所以不等式的解集为.故选：C.5．D【详解】由题设，则，A对；由，则，联立，所以，则，D错；，B对；，C对.故选：D6．B【详解】将5人分为三组，共有两种情况：①一组3人，其余两组各1人，则有种；②两组各2人，剩余一组1人，则有种．故共有种不同的安排方式.故选：B7．D【详解】样本点的中心为，代入，可知，假设甲输入的为，为所以，，得，，改为正确数据时，，样本点的中心为，将其代入回归直线方程得.故选：D8．D【详解】函数的定义域为，，因为函数只有极小值，所以在上只有一个变号零点，即方程在上有且仅有一个正根，设，当时，，若，则，要使，，此时，当时，，当时，，函数只有极小值，当时，函数的图象开口向上，对称轴，则时，函数的图象与轴在上有且仅有一个交点，设交点为，则时，，时，，函数只有极小值，当时，函数的图象开口向下，函数的图象与轴在上有一个交点、两个交点或没有交点，此时函数没有极小值，综上，函数只有极小值，则一定有.故选：D9．ACD【详解】对于A选项，，所以A选项正确；对于B选项，，所以B选项错误；对于C选项，，所以C选项正确；对于D选项，，则，所以D选项正确．故选：ACD．10．BD【详解】对于，，当时，，，，，故错误；，故错误；对于，，当为任意实数时，，，所以，故正确；，故正确.故选：.11．ACD【详解】对于A选项，由，则，令，则或，故在上单调递增，在单调递减，在单调递增，极大值，极小值，由有且仅有两个零点，则有，所以，故A正确；对于B选项，即函数，则的图象关于点对称，故B错误；对于C选项，已知，的极大值点就是一个零点，另一个零点是，所以，故C正确；对于D选项，已知在上单调递增，在单调递减，在单调递增，当时函数取得极大值，且函数，要使在区间上有最大值，故，故D正确．故选：ACD．12．【详解】，当时，，由于也适合此等式，∴．故答案为：.13．【详解】由，得，所以，即为增函数，而，所以即，则，解得，所以不等式的解集为．故答案为：14．【详解】因为，所以随机变量X可能取值为1和2，用隔板法可求得：事件总情况为种，时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种；②三个数中有两个1，有种，所以时，，时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种；②三个数中有两个2，有种，所以是，，所以，，故答案为：．15．(1)2；(2).【详解】（1）当时，，当时，；（2）因为，所以，则，令，所以，则是等比数列，因为，，所以，所以，则16．(1)，常数项为.(2)【详解】（1）在的展开式中，第三项的二项式系数为，所以即解得.因此展开式的通项为令，得，所以常数项为（2）求展开式中的系数，需要分别求出展开式中与的系数.当时，，所以的系数为当时，，所以的系数为因此，原展开式中的系数为【点睛】求二项展开式中的常数项或指定项系数时，关键是先写出通项，再由幂指数满足条件求出对应的k值.17．(1)依据小概率值的独立性检验，可认为潜伏期长短与年龄有关(2)①因为，，所以，这说明潜伏期超过5天的概率极低，因此隔离5天可以极大程度上排除发病可能是合理的②时取得最大值【详解】（1），所以依据小概率值的独立性检验，可认为潜伏期长短与年龄有关；（2）①略；②从样本数据中估计“长潜伏期”的概率为，设为800个病例中属于“长潜伏期”的个数，即，，要使取最大值，则，即，解得，即.故时取得最大值.18．(1)(2)分布列：123P(3)【详解】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；（2）由题可知可取，，，所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为123P（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，得，而则数列为等比数列,首项为，公比为，所以，又由求得：因此．19．(1)证明见解析(2)（i）；（ii）证明见解析【详解】（1）由题意得，

令，可得或，因为，所以，则当或时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以有唯一的极大值点，唯一的极小值点.（2）（i）由（1）知，，所以.

令函数，则，所以当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即的最小值为.

（ii）由题意知.