2025年福建省数学（专升本）考试真题及答案

2025年福建省数学（专升本）考试练习题及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=2x^33x^2+4x1在x=1处取得极值，则f'(1)的值为（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：A

解析：f'(x)=6x^26x+4。因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=0。

2.设函数y=x^2+2ax+b在x=0处取得最小值，则a、b应满足的条件是（）

A.a=0，b任意

B.a=0，b>0

C.a任意，b任意

D.a任意，b>0

答案：D

解析：函数y=x^2+2ax+b的导数为y'=2x+2a。令y'=0得x=a。因为y在x=0处取得最小值，所以a可以是任意实数，且b>0。

3.已知数列{an}的前n项和为Sn=n^2n+1，则数列{an}的通项公式是（）

A.an=2n1

B.an=2n2

C.an=n^2n

D.an=n^22n+1

答案：B

解析：当n=1时，a1=S1=1。当n≥2时，an=SnSn1=(n^2n+1)[(n1)^2(n1)+1]=2n2。

4.若矩阵A的行列式|A|=3，则矩阵2A的行列式|2A|等于（）

A.6

B.9

C.12

D.18

答案：B

解析：|kA|=k^n|A|，其中k为常数，n为矩阵的阶数。本题中，矩阵A为2阶矩阵，所以|2A|=2^2|A|=4×3=12。

5.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(x)在区间[0,2π]上的最大值为（）

A.1

B.√2

C.2

D.2√2

答案：B

解析：f'(x)=cos(x)sin(x)。令f'(x)=0得x=π/4+kπ，k为整数。计算f(π/4+kπ)的值，得到f(π/4)=√2为最大值。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数y=x^33x^2+4x1的极值点为______。

答案：x=1,x=2

解析：f'(x)=3x^26x+4。令f'(x)=0得x=1或x=2。计算f(1)和f(2)的值，得到f(1)=1，f(2)=1。所以x=1是极大值点，x=2是极小值点。

7.数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，则数列{an}的通项公式是______。

答案：an=2n1

解析：当n=1时，a1=S1=2。当n≥2时，an=SnSn1=(n^2+n)[(n1)^2+(n1)]=2n1。

8.若矩阵A的行列式|A|=5，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^1|等于______。

答案：1/5

解析：|A^1|=1/|A|，所以|A^1|=1/5。

9.设函数f(x)=e^x+ln(x)，则f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为______。

答案：1

解析：f'(x)=e^x+1/x。因为f'(x)在(0,+∞)上恒大于0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增。f(1)=e+ln(1)=1，所以f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为1。

10.若函数f(x)=x^33x^2+4在区间[0,3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为______。

答案：3

解析：f'(x)=3x^26x。令f'(x)=0得x=0或x=2。计算f(0)、f(2)和f(3)的值，得到f(0)=4，f(2)=4，f(3)=2。所以M=4，m=4，M+m=0。

三、解答题（共50分）

11.（本题15分）证明：对于任意实数x，有e^x+e^x≥2。

证明：

设f(x)=e^x+e^x，则f'(x)=e^xe^x。令f'(x)=0得x=0。计算f(0)的值，得到f(0)=2。因为f'(x)在(∞,0)上小于0，在(0,+∞)上大于0，所以f(x)在(∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。所以f(x)的最小值为2，即对于任意实数x，有e^x+e^x≥2。

12.（本题15分）求函数f(x)=x^33x^2+4x1在区间[0,3]上的最大值和最小值。

解：

f'(x)=3x^26x+4。令f'(x)=0得x=1或x=2。计算f(0)、f(1)、f(2)和f(3)的值，得到f(0)=1，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2。所以f(x)在区间[0,3]上的最大值为2，最小值为1。

13.（本题20分）已知数列{an}满足an=2an1+1，且a1=1。求证：对于任意正整数n，有an=2^n1。

证明：

当n=1时，a1=2^11=1，成立。

假设当n=k时，a