江苏省南通市如皋市2026届高三上学期期初质量调研数学试卷（含解析）

江苏省如皋市2025-2026学年高三上学期期初质量调研数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1．若直线与直线平行，则(

)A. B.或3 C. D.32．已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是(

)A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则3．已知抛物线的焦点为F，点M在C上，若M到直线的距离为4，则(

)A.2 B.3 C.4 D.54．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为(

)A.2 B. C.4 D.5．已知双曲线（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为(

)A. B. C. D.6．若定义在R上的函数满足：为偶函数，为奇函数，当时，，则=(

)A. B.0 C. D.7．已知，，，则(

)A. B. C. D.8．双曲线的右支上一点P在第一象限，，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9．下列说法正确的是(

)A.若幂函数的图象过点，则B.若函数的定义域为，则函数的定义域为C.若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为D.函数的单调增区间为10．在平面直角坐标系中，已知圆，点，则下列说法正确的是(

)A.若圆O上恰有3个点到直线的距离为2，则B.直线与圆交于点A、B，若，则C.点P在直线上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则点M到直线AB的距离的最大值为2D.过点M的直线与圆交于A、B，若，则AB的长为11．已知正方体的棱长为4，动点P在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是(

)A.存在点P，使得面B.存在点P，使得面C.若与的夹角为，则点P的轨迹长度为D.若M为面的中心，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为_______.13．已知函数，则满足的实数m的取值范围是_______.14．四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，，，，则其外接球的表面积为________________；过BD的中点作直线与球O相交的最短弦长为_______.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程.15．（13分）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点（点A在第一象限）.(1)若，，求p的值；(2)设点M为抛物线准线与x轴交点，求.16．（15分）四棱锥中，是等边三角形，为直角三角形，且，，E为的中点.(1)F为的中点，G为的中点，证明：平面；(2)若平面，，求平面与平面所成角的余弦值.17．（15分）已知函数.(1)求函数的极值；(2)证明：当时，.18．（17分）已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，（）证明：直线l过定点；（）求面积的最大值.19．（17分）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称P是M在的“最近点”.(1)对于，求证：对于点，存在点P，使得点P是M在的“最近点”，(2)对于，，请判断是否存在一个点P，它是M在的“最近点”；且直线MP与在点P处的切线垂直；(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，.若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，试判断的单调性.参考答案1．答案：B解析：因为两直线平行，所以：，所以或.故选：B2．答案：C解析：对于A，若，，则，可能会相交也可能平行，故A错误，对于B，若，，则，可能会相交或平行，故B错误，对于C，由线面垂直的性质得若，，则，故C正确，对于D，若，，则或，故D错误.故选：C3．答案：B解析：如图：抛物线C的焦点为，准线为：.因为点M在C上，且到直线的距离为4，所以M点的横坐标为2.所以M点到准线的距离为，根据抛物线的定义可得：.故选：B4．答案：D解析：设圆台的母线长为l，因为该圆台侧面积为，则由圆台侧面积公式可得，所以，设截去的圆锥的母线长为，由三角形相似可得，则，解得，所以原圆锥的母线长，故选：.5．答案：A解析：设双曲线的焦距为，则，故，所以双曲线的焦点坐标为，又双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的焦点到渐近线的距离，因为焦点到渐近线的距离为，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，即，故选：A.6．答案：A解析：由为偶函数，得，即，，由为奇函数，得，即，因此，即，则，所以.故选：A7．答案：C解析：设，则，当时，，所以在上单调递减.且，所以，即，所以.设，则，当时，，所以在上单调递增.又，所以，即，即.综上可知：.故选：C8．答案：D解析：双曲线的实半轴长，焦点，，设圆M与三边，，分别相切于点R，N，Q，则，又，解得，，，则点，因为轴，所以由题，，所以直线的斜率.故选：D9．答案：AC解析：对于A，令，则，解得，，因此，A正确；对于B，函数中，则，即函数的定义域为，由，得，因此函数的定义域为，B错误；对于C，由函数在上只有一个零点，得，无解，或，解得，因此实数a的范围为，C正确；对于D，由，得，而，解得，因此函数的单调增区间为，D错误.故选：AC10．答案：BCD解析：对A：因为圆O上恰有3个点到直线的距离为2，所以圆心到直线的距离为2，则或，故A错误；对B：因为直线与圆交于点A、B，且，所以圆心到直线的距离为：.由.故B正确；对C：如图：设，则（*）.以为直径的圆的方程为：.与圆相减得：.即为两圆公共弦所在的直线方程.将（*）代入可得：.由，即直线过定点.所以点M到直线AB的距离的最大值为线段的长度（此时），因为，故C正确；对D：如图：设直线的参数方程为：（t为参数），将其代入圆O的方程得：，化简得：.设A，B对应的参数分别为：，，则.因为，所以.所以.又，故D正确.故选：BCD11．答案：ACD解析：由题意，在正方体中，棱长为4，动点P在正方体表面上（不包括边界），连接，设的中点为E，连接，，设两线段交点为F，连接，，建立空间直角坐标系如下图所示，，，，，，，，，，，，，面，面，面，当点P在处时，面，存在点P，使得面，故A正确；B项，在面中，，，设面的法向量为，即，解得，当时，，若面，则，，动点P在正方体表面上，，此时，与重合，点P不在边界上，故不存在点P，使得面，B错误；C项，因为，与的夹角为，所以与所成的角为，则由几何知识得，点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即），在中，，，，，点P的轨迹长度为：，C正确；D项，M为面的中心，作点A关于平面的对称点，连接，当最小时，，，，，，D正确.故选：ACD.12．答案：/解析：设，，由椭圆的定义可得，直线的斜率为2，则，又，中，，设，有，由，得，又，消去m得，即，所以椭圆的离心率.故答案为：13．答案：解析：函数的定义域为R，令函数，则，即函数是R上的奇函数，又，当且仅当时取等号，因此函数在R上单调递增，所以不等式，则，解得，所以实数m的取值范围是.故答案为：14．答案：；6解析：记四边形的外接圆的圆心为，因为，所以平面，记四棱锥的外接球的球心为O，则平面，所以四棱锥的外接球的球心O在直线上，设，因为四边形的外接圆圆心就是的外接圆，设外接圆的半径为r，因为，，所以为等边三角形，，故，因为平面，平面，所以，所以，，又，所以，由已知球心O在的垂直平分线上，所以，所以四棱锥的外接球的半径的半径，所以四棱锥的外接球的表面积，设的中点为E，则，所以，因为，所以，所以A，E，三点共线，因为，，所以，又，所以，又，因为平面，平面，所以，所以，所以过BD的中点作直线与球O相交的最短弦长为，故答案为：；6.15．答案：(1)(2)解析：（1）因为点A在第一象限，，则，焦点，准线，，所以设点，，直线，联立，得，解得，，由，得.（2）因为点A在第一象限，则，焦点，点，设点，，直线，联立，得，所以，，则，综上，的值为0.16．答案：(1)证明见解析(2)解析：（1）取的中点N，的中点M，连接、，因，，不妨设，则，E、F、G分别为、、的中点，，，，，，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面.（2）平面，平面，，，又，故可以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，，取，，，，，平面，且，平面，则平面的法向量可取为，设平面与平面成的角为，则，即平面与平面成角的余弦值为.17．答案：(1)当时，函数无极值；当时，极小值为，无极大值(2)证明见解析解析：（1）由题意，函数的定义域为R，则，①当时，，在R上单调递减，无极值；②当时，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，即函数有极小值，无极大值.（2）证明：由（1）得，又，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，解得；令，解得.所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立.综上，当时，恒成立.18．答案：(1)椭圆C的标准方程为(2)（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为解析：（1）根据题意作图如下：由题意得，所以，，因为，所以椭圆C的标准方程为.（2）（i）证明：法一：由（1）可知，，设直线的斜率为k，则直线的斜率为，设，，则直线的方程为，直线的方程为，联立，化简得，因为，所以，即，联立，化简得，因为，所以，即，则，所以直线的方程为，整理得，所以直线l过定点，即右焦点.法二：设，，又由（1）知，，所以，，，则有，又，则，代入上式可得.又因为，所以.设直线的方程为，联立，得，所以，且所以，由，化简得且，即，解得或（舍），所以直线l过定点，即右焦点；（ii）由（i）得，令，则，则，因为在上单调递增，所以时，取得最大值，此时，直线的发方程为.19．答案：(1)证明见解析(2)存在(3)单调递减解析：（1）当时，，当且仅当时取等号，所以对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”；（2）依题意，，求导得，设，求导得，设，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，则，，函数在上单调递增，而，即函数在上单调递增，而，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增