人教版五年级上册数学广角《植树问题》深度教学案

人教版五年级上册数学广角《植树问题》深度教学案

一、教学内容分析

【基础】“植树问题”隶属于人教版小学数学五年级上册第七单元“数学广角”。这一单元的内容属于“实践与综合应用”领域，旨在通过生活中常见的实际问题，让学生初步体会解决植树问题的思想方法，培养学生从实际情境中发现问题、提出问题、分析问题并建立数学模型的能力。本课并非简单的知识传授，而是以“植树”为载体，渗透“化繁为简”、“数形结合”、“一一对应”和“模型思想”等重要的数学思想方法，为后续学习更复杂的排列组合、间隔问题打下坚实基础。

【重要】本单元主要包含三个核心模型：两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽（包括封闭图形上的植树问题）。通过对这三种情况的研究，引导学生理解并掌握棵数与间隔数之间的关系。教材编排上遵循了由浅入深、由具体到抽象的原则，通过例1（两端都栽）引入基本概念和探究方法，例2（两端都不栽）和例3（封闭图形）则让学生在已有经验基础上进行迁移和类推，从而构建完整的知识体系。

二、学情分析

五年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象概括能力，他们能运用除法解决平均分的问题，这为本节课理解“间隔数”奠定了基础。然而，“植树问题”的模型对于学生而言是全新的挑战。学生的思维难点在于：1.难以将抽象的“点数”（棵数）与“段数”（间隔数）建立起正确的对应关系；2.容易死记硬背公式，混淆不同情况下的数量关系，尤其是对“加1”、“减1”或“不加不减”的算理理解不清；3.在解决“两旁植树”或“两侧植树”问题时，容易遗漏乘以2的步骤；4.难以将植树问题的模型灵活迁移到锯木头、爬楼梯、敲钟、路灯安装等变式问题中。

三、教学目标

1.知识与技能目标：通过生活中的实例，学生能理解并掌握在一条线段上植树（两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽）以及封闭图形上植树的规律，能准确区分不同情况下“间隔数”与“棵数”之间的关系（棵数=间隔数+1；棵数=间隔数-1；棵数=间隔数），并能运用这些规律解决简单的实际问题。

2.过程与方法目标：经历将实际问题抽象出数学模型的过程，通过小组合作、画图模拟、对比分析等探究活动，体验“化繁为简”、“数形结合”、“一一对应”的解决问题策略，初步建立植树问题的数学模型，培养观察、比较、推理和概括的能力。

3.情感态度与价值观目标：感受数学与生活的密切联系，体会数学的应用价值。在解决问题的过程中，培养严谨求实的科学态度和合作探究的团队精神，增强学习数学的兴趣和信心。

四、教学重难点

【重点】发现并理解在一条线段上植树（三种情况）时，棵数与间隔数之间的规律，并能运用规律解决实际问题。

【难点】理解“一一对应”的数学思想，特别是解释清楚“为什么两端都栽时棵数比间隔数多1”以及“为什么两端都不栽时棵数比间隔数少1”的算理。将植树问题的模型灵活迁移到不同类型的实际情境中。

五、核心素养培育

1.模型思想：引导学生从具体的植树问题中抽象出“点”与“段”的数学模型，并用该模型去解释和解决同类问题。

2.应用意识：鼓励学生寻找生活中的“植树问题”，将课堂所学应用于生活实践。

3.推理能力：通过对不同数据的探究，引导学生归纳出一般规律，并运用规律进行逻辑推理和计算。

六、教学准备

多媒体课件（PPT：包含阅兵式标兵图、手指图、不同情境的植树问题动画）、小组探究记录表、直尺、彩笔。

七、教学实施过程（核心环节）

（一）情境创设，唤醒经验，引入“间隔”概念

1.生活引入：上课伊始，播放一段阅兵式视频，定格在标兵列队的画面。提问：“同学们，你们看到了什么？这些军人叔叔排得怎么样？”引导学生发现他们排列得非常整齐，人与人之间的距离是相等的。

2.抽象概念：教师指出，在数学中，我们把相邻两个物体之间的这段距离或者空隙叫做“间隔”。比如我们的手指，五根手指之间有几个间隔？（4个）。在黑板上画出一条线段，标出几个点，让学生数一数有几个点，几个间隔。明确“点”与“段”的对应关系，这是本课最重要的认知基础。

3.揭示课题：今天我们就来研究和“间隔”有关的一类经典数学问题——植树问题。

（二）化繁为简，探究“两端都栽”的数学模型

1.出示例题（核心问题）：同学们要在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽）。一共要栽多少棵树？

2.引发冲突，初步猜测：很多学生可能会脱口而出“100÷5=20（棵）”。教师不置可否，而是追问：“真的是20棵吗？有没有不同意见？”制造认知冲突。

3.渗透“化繁为简”思想：

1.4.教师引导：“100米这个数据比较大，直接画图验证很麻烦。在数学研究中，当我们遇到复杂问题时，通常会先从简单的情况入手，发现规律后再来解决复杂问题。这就是‘化繁为简’的思想。”

2.5.小组合作探究：让学生以小组为单位，选择较短的路长（如20米、25米、30米等，且必须是5的倍数），用画线段图的方式，在纸上模拟植树。要求：两端都栽，每隔5米栽一棵。

3.6.完成记录表：

路长（米）

间隔长（米）

间隔数（个）

棵数（棵）

20

5

4

5

25

5

5

6

30

5

6

7

7.观察对比，发现规律：

1.8.组织小组汇报，将数据汇总在黑板上。

2.9.【重要】引导学生观察表格：“仔细观察，路长、间隔长和间隔数之间有什么关系？”（路长÷间隔长=间隔数）。“棵数和间隔数之间又有什么关系？”（棵数=间隔数+1）。

3.10.【难点突破·一一对应】：教师通过课件动画演示，将一棵树和一个间隔看成一组“对应”的单位。学生清晰地看到，除了第一棵树前面没有间隔与之对应外，其余每一棵树都紧跟着一个间隔。因此，棵树总比间隔数多1。多出来的“1”就是最开头的那棵树。

11.回归原题，建立模型：

1.12.现在再来解决100米的小路问题。先算什么？再算什么？学生列式：间隔数：100÷5=20（个）；棵数：20+1=21（棵）。

2.13.引导学生总结“两端都栽”的数学模型：棵数=路长÷间隔长+1。

（三）类比迁移，探究“两端都不栽”与“一端栽一端不栽”的模型

1.变式情境，引发思考：课件出示情境，将题目条件稍作修改。例：“同学们要在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。但这条小路紧挨着一栋建筑物，所以两端都不栽树。一共要栽多少棵？”

2.猜想与验证：让学生先不画图，根据刚才的经验进行猜想。可能会有人猜19棵，也有人猜20棵。

3.动手操作，合作探究：再次运用“化繁为简”的策略，选择20米（两端不栽）进行画图验证。学生很快发现，当两端都不栽时，20米的小路上，有4个间隔，但只能栽3棵树。

4.交流汇报，建立模型：

1.5.汇报结果：棵数=间隔数-1。

2.6.【难点突破·一一对应】：借助课件，引导学生再次用“一一对应”的思想观察。这一次，我们将一个间隔和它后面的一棵树看成一组。学生可以发现，最后一个间隔后面没有树与之对应，因此棵数比间隔数少1。

3.7.推导公式：棵数=路长÷间隔长-1。

8.自主探究“一端栽一端不栽”：

1.9.继续改变情境：“现在是在圆形池塘的周围植树，这相当于一条封闭的路线。或者是在一条小路的一头有房子，另一头没房子，也就是只在一端栽树。”引导学生将封闭图形“化曲为直”，想象剪开后拉成一条线段，其实就是“一端栽一端不栽”的情况。

2.10.放手让学生画图探究，并总结规律。学生通过画图发现：棵数=间隔数。

3.11.解释算理：因为棵树和间隔形成了一一对应的关系，谁也没有多，谁也没有少。

（四）模型应用，解决生活中的“植树问题”

【高频考点】这一环节是将数学模型迁移到各种生活情境中，是检验学生是否真正理解知识的关键。

1.基础练习（区分类型）：

1.2.在一条长200米的大道一旁安装路灯，每隔10米安装一盏（两端都要安装）。一共要安装多少盏？（两端都栽）

2.3.一根木头长10米，要把它平均锯成5段。需要锯几次？（两端都不栽，锯的次数=段数-1）

3.4.邮递员从第1棵电线杆走到第10棵电线杆，一共走了180米。平均每相邻两棵电线杆相距多少米？（关键是找出间隔数：10-1=9个）

5.综合练习（易错点剖析）：

1.6.【非常重要·两侧植树】“一条全长200米的街道两旁安装路灯，每隔20米安装一盏（两端都要安装）。一共要安装多少盏路灯？”学生往往只算一边，忘记乘以2。强调：先算出一旁的盏数，再乘以2。

2.7.【重要·逆向思维】“在一条公路的一边从头到尾每隔5米种一棵树，共种了41棵。这条公路长多少米？”引导学生逆向思考：先求间隔数（41-1=40个），再求路长（40×5=200米）。

3.8.【热点·敲钟问题】“广场上的大钟5时敲响5下，8秒钟敲完。12时敲响12下，敲完需要多长时间？”这是典型的“两端都栽”问题，敲5下中间有4个间隔，每个间隔2秒；敲12下有11个间隔，所以需要22秒。重点帮助学生理解“时间”是消耗在“间隔”上，而不是“敲”的动作上。

9.拓展练习（封闭图形）：

1.10.一个圆形花坛的周长是60米，每隔3米摆一盆月季花。一共需要多少盆月季花？（棵数=间隔数=60÷3=20盆）

2.11.一个正方形花圃，每边种5棵树，四个角各种一棵。这个花圃一共种了多少棵树？（这是方阵问题的雏形，可以通过画圈法计算：5×4-4=16棵）

（五）课堂总结，畅谈收获

1.知识梳理：引导学生回顾本节课学习了几种植树情况？它们之间有什么联系和区别？

2.思想升华：我们是用什么方法来解决这些问题的？（化繁为简、画图、数形结合、一一对应）这些数学思想方法对我们今后的学习有什么帮助？

3.生活拓展：请同学们课后观察，在我们的生活中，还有哪些现象也可以用植树问题的模型来解释？（如：排队、插旗、列车站点、爬楼梯等）

八、错题专练与剖析（基于易错点的针对性训练）

【易错点1】情况混淆，公式张冠李戴。

1.典型错例：一条长廊长20米，每隔5米放一盆花，只放一端，需要多少盆？错误算式：20÷5+1=5盆。

2.错因分析：对“只放一端”的理解不透彻，下意识地使用了两端都放的公式。

3.专项训练：

1.4.在一条长50米的跑道一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点一共插了11面。这是哪种插法？（两端都插）

2.5.在一条长50米的跑道一侧插彩旗，每隔5米插一面，一共插了10面。这是哪种插法？（一端不插或封闭图形）

【易错点2】对“间隔数”的理解和计算错误。

1.典型错例：从一楼走到三楼用了6分钟，照这样计算，从一楼走到六楼要用多少分钟？错误算式：6÷3×6=12分钟。

2.错因分析：认为楼层数就是间隔数。实际上，从一楼到三楼，走了2层间隔，每个间隔3分钟；从一楼到六楼，走了5层间隔，用时5×3=15分钟。

3.专项训练：

1.4.把一根木头锯成4段需要12分钟，锯成8段需要多少分钟？（关键：锯的次数=段数-1，锯一次的时间=12÷3=4分钟，锯7次要28分钟）

2.5.一个灯塔上的信号灯，闪了6下用了10秒，30秒最多能闪多少下？（间隔数=5，每个间隔2秒，30秒有15个间隔，闪了15+1=16下）

【易错点3】对“两旁”、“两侧”植树问题处理错误。

1.典型错例：一条路长100米，在路的两旁每隔5米种一棵树（两端都种），共种多少棵？错误算式：100÷5+1=21棵。

2.错因分析：只计算了一旁，遗漏了另一旁。

3.专项训练：

1.4.学校计划在一条长120米的跑道一边每隔3米插一面彩旗（两端都插），需要多少面彩旗？如果两边都插，需要多少面？

2.5.在一条长200米的公路两侧每隔10米安装一盏路灯（两端都装），一共需要安装多少盏路灯？

【易错点4】将“植树问题”模型迁移到其他类似场景时识别错误。

1.典型错例：把一根钢筋锯成5段，共需要20分钟，平均锯一次需要几分钟？错误算法：20÷5=4分钟。

2.错因分析：未能识别出“锯木头”属于“两端都不栽”模型，锯的次数比段数少1。锯成5段只需锯4次。

3.专项训练：

1.4.小军爬楼梯，从一楼爬到四楼用了27秒，照这样计算，他从一楼爬到八楼需要多少秒？

2.5.一列火车从第1根电线杆开到第20根电线杆，共用了2分钟，平均每两根电线杆之间的距离是50米，火车每分钟行多少米？

3.6.在一条环形跑道上，每隔4米插一面红旗，共插了20面。这条跑道长多少米？

九、板书设计

五年级上册《植树问题》模型建构

【核心思想】化繁为简·数形结合·一一对应

一、线段上的植树问题（总长÷间距=间隔数）

1.两端都栽：棵数=间隔数+1

2.两端都不栽：棵数=间隔数-1

3.一端栽一端不栽：棵数=间隔数

二、封闭图形上