2026新高二数学暑假专题：几何法破解空间距离问题（解析版）

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暑假作业16重难专题06：几何法破解空间距离问题

【知识点1空间距离】

1.两点间的距离

连接两点间线段的长度称为两点间的距离.

2.点到直线的距离

过点向直线作垂线，这点和垂足间的线段的长度叫作这点到直线的距离.

3.点到平面的距离

一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离.也可以说成这一点到平面的垂线

段的长度.

4.直线到与它平行平面的距离：

一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线与平面的距离.

从定义可知，求直线到与它平行平面的距离就是转化到直线上的点到平面的距

离.可选择直线上的端点、中点等.

5.两个平行平面的距离

若两个平面平行，则其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离，叫作两平行平面间的距离.

【知识点02异面直线间的距离（拓展）】

1.公垂线与公垂线段

公垂线是指与两条异面直线都垂直且相交的直线，公垂线段是指连接公垂线与两异面直线的两交点所

得的线段.

2.异面直线间的距离

两条异面直线的公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离.

3.求异面直线间的距离的方法

(1)定义法：找出公垂线，求公垂线段的长.

⑵转化法：将异面直线距离转化为直线到平面的距离或点到平面的距离.

1/50

【题型1求点到直线的距离】

求点到直线的距离一般要作出表示这个距离的垂线段，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法

求解.

ABCDABCDDC

1．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）在棱长为1的正方体1111中，点A到直线1的距离

为（）

632

A．B．1C．D．

222

【答案】A

【解析】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，连接AC,AD1，则ACAD1D1C2，

△6

所以A到直线D1C的距离即为正ACD1边D1C上的高ACsin60.

2

故选：A

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离

为（）

A.2B.2C.D.4

【答案】

3B52

【解析】如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB平面ABCD，又BC平面ABCD，所以PBBC，

又因为ABBC，PB∩AB＝B，PB，AB平面PAB，所以⊥BC平面PAB，又P⊂A平面PAB，所以BC⊥PA，

⊥⊂2/50⊥⊂⊥

BCPB，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BMPA，又BCPA，

⊥⊥⊥

BM∩BC＝B，BM，BC平面BCM，所以PA平面BCM，又CM平面BCM，所以CMPA，即CM为点

⊂⊥⊂⊥

C到直线PA的距离.在等腰RtPAB中，BM＝PB＝2，在RtBCM中，CM＝＋＝

222

＝2，故点C到直线PA的距△离为2.22△BMBC8+4

3.（235-26高二上·天津·期末）如图，直三3棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ABBC1，ABC90，点D

是BB1中点，则点C1到直线DA1的距离是_______.

61

【答案】/6

22

【解析】连接C1D,

因为ABBC1，ABC90，点D是BB1中点，AA12，

所以2222，

ACABBC1+1=2A1C1AC2,

又因为22222222

A1DA1B1B1D1+12,C1DC1B1B1D1+12,

△

所以A1DC1是边长为2的等边三角形，

取A1D的中点，连接C1E,

则C1EA1D,

3/50

所以C1E的长即为点C1到直线DA1的距离，

△

又因为A1DC1是边长为2的等边三角形，

36

所以CE=2=.

122

4.（2026春•徐汇区期末）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为2．过线段AC中点M作平面

∥平面ABB1A1，设点N为平面与线段A1C1的交点．α

（1）求直线A1M与平面ABC所α成角的大小；

（2）求证：MN∥AA1，并求点N到直线AB的距离．

【解析】（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AA1⊥平面ABC，

所以∠A1MA即为直线A1M与平面ABC所成角的平面角，

因为点M为AC的中点，所以AM＝1，AA1＝2，

所以∠，

1

1��

即直线𝑡�A1M�与�平�面=�A�BC=所2成角的为arctan2；

（2）证明：因为平面∥平面ABB1A1，且MN平面，

所以MN∥平面ABB1Aα1，⊂α

因为MN平面AA1C1C，AA1平面AA1C1C，

所以MN⊂∥AA1，⊂

连接AN，BN，BM，

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，

所以，，，

222222

在△N��AB=中，��−∠��=3𝐵=��+𝐵=7𝐵=�，�+𝐵=5

222222

𝐵+��−𝐵(5)+2−(7)5

𝑐����===

2𝐵⋅��2×5×210

4/50

则∠，

295

所以𝑠�点N��到�直=线1AB−的𝑐距�离∠�为��=1∠0．

9519

【题型2直接法求点到平面𝐵的�距��离�】��=5×10=2

所谓直接法，就是直接作出表示点到平面的距离的垂线段，再通过解三角形等策略求得该垂线段的

长，即得点到平面的距离.

1．（25-26高一下·江西·期末）在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，点D到平面ACA1的距离为（）

323

A．B．3C．32D．

22

【答案】A

【解析】如图：

连接BD交AC于点O，则O为BD中点，

因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以AA1平面ABCD，又BD平面ABCD，所以AA1BD；

又底面ABCD为正方体，所以ACBD.

因为AA1ACA，AA1,AC平面AA1C,

所以BD平面AA1C.

32

故点D到平面ACA1的距离为DO．

2

故选：A．

2．（25-26高三上·山东济南·开学考试）已知三棱锥PABC的所有顶点都在球的球面上，ABC满足，

，PA为球O的直径且PA4，则点到底面ABC的距离为（�）��=2

∠𝐴A�．=90°B．22C．�D．23

【答案】D23

【解析】

5/50

设球的半径为R，取的中点，连接OD,CD,OB,OC.

三棱锥PABC的所��有顶点都�在球的球面上，PA为球O的直径且PA4，

�1

球心O是PA的中点，ROAOBOCPA2，OD//PB,ODAB.

2

∴2∴

2AB22

在RtAOD中，，ODOA213，

2

��=2∴

1

在ABC中，，CDAB1，

2

∠𝐴2�=902°∴2

在ODC中，OCODCD，ODCD.

又CDABD，AB,CD平面A∴BC，OD平面ABC，

OD//PB，PB平面ABC，∴

点到底面A∴BC的距离为PB2OD23.

∴3．（�25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）已知在正四面体PABC中，D，E，F分别在棱PA，，PC上，

若PE6，PDPF2，则点到平面DEF的距离为（）��

11422�2326

A．B．C．D．

21133

【答案】D

【解析】如图，由题意可得，DPEDPFEPF60，所以PDF为等边三角形，

即DF2，在DPE中，根据余弦定理可得：DE2DP2EP22DPEPcos60，

1

DE2226222628，所以DE27，

2

同理在PFE中，FE2PF2PE22PFPEcos6028，即EF27，

取DF的中点，过点作EG的垂线交EG的延长线于点H，

可知点到平面�DEF的�距离为PH的长，因为EHGHEG，

所以在�RtPHE中，EHPE2PH2，

在RtPHG中，GHPG2PH2，

又因为DEEF27，所以DEF为等腰三角形，

为DF中点，所以在RtDGE中，EGDE2DG22812733，

�在PDF中，为DF中点，所以PG为等边PDF的高，

�

6/50

在RtDPG中，PGDP2DG222123，

所以PE2PH2PG2PH2DE2DG2，

即36PH23PH233，整理可得：36PH2333PH2，

两边平方可得：36PH2273PH2633PH2，

整理可得：3630633PH2，即133PH2，

两边平方可得：193PH2，

2826

化简可得：PH，所以PH.

33

【题型3等体积法求点到平面的距离】

所谓等体积法，就是将所求点到面的距离对应的线段视为一个三棱锥的高，再通过转换三棱锥的顶

点和底面，利用其体积不变求出相对应的点到平面的距离.

1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA11，则点到平

面D1AC的距离等于（）�

36

A．B．C．1D．

33

2

【答案】B

【解析】22，22，

D1CD1A125AC2222

2

1222

则S2256，

D1AC

22

112

V221，

D1ABC323

设点到平面D1AC的距离为，

�1�26

则VBDAC6dVDABC，解得d.

13133

7/50

2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面ABCD，

PA1，则到平面PBD的距离为（）�−�𝐴���⊥

2�66233

A．B．C．D．

3333

【答案】B

【解析】连接AC,BD，交于点，连接PO，则为BD的中点.

因为平面ABCD，AD,AB�平面ABCD，�

所以�P�A⊥AB,PAAD.

所以PBPD12225，

所以POBD.

所以POPB2OB2523，

11

所以PBD的面积为SPBDBDPO2236.

22

因为平面ABCD，PA1，

112

所以�V�⊥ADABPA.

PABD323

设到平面PBD的距离为，

��2

VPABD36

由VV，得d.

PABDAPBD11

S63

3PBD3

3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在四面体OABC中，OA2，OB3，OC4，OAOB，OBOC，

OAOC，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（）

��

8/50

451224

A．B．C．213D．

355

【答案】B

【解析】设点到平面OMA的距离为.

OAOB，O�AOC，OBOCO�，OA平面OBC；

OM平面OBC，OAOM，即OA∴M是直角三角形；

OBOC，OB3，OC4，BC5；

15

M为的中点，OMBC.

22

𝐴1155

SOAOM2.

OAM2222

OCOB，OCOA，OAOBO，OC平面OAB；

∴1

M为的中点，O平面OAB，点到平面OAB的距离为dMOABOC2；

2

𝐴∴�11

OAOB，OA2，OB3，SOABOAOB233.

22

11512

VV，SdSd，即d32，解得d.

BOAMMOAB3OAM3OABMOAB25

12

即点到平面OMA的距离为.

5

�

4.（2026·山东泰安·三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PAPD5，O，M分别是AD，AP中点，底面

ABCD为菱形，平面PAD平面ABCD，OBPD,OB3．

(1)证明：PAOB；

(2)求D到平面MOB的距离．

9/50

【答案】(1)证明见解析

25

(2)

5

【解析】（1）连接PO，BD，如图一所示，

PAPD，POAD，平面PAD平面ABCD，

平面PAD平面ABCDAD∵，PO平面PAD，PO平面ABCD，

OB平面ABCD，POOB，

又QPDOB，POIPDP，PO，PD平面PAD，OB平面PAD，

又PA平面PAD，PAOB.

（2）由（1）得OBAD,又O为AD的中点,BABD，

ABAD,ABD是正三角∵形，OB3,ABAD2，PO2.

连接MD，设点D到平面MOB的距离为h，

5

QOM,OB3,OD1，

2

3151

S△，S△，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的，

DOB2MOB42

11331153

即OP1，V1，Vh，

2MDOB326DMOB346

2525

h，点D到平面MOB的距离为.

55

∴

5.（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，两底面均为正

方形，AB6，D1D5，A1B12，点E在线段BD上，且DE5EB.

(1)证明：D1E//平面A1BC1.

(2)求点B1到平面A1BC1的距离.

6

【答案】(1)证明见解析;(2)

3

【解析】（1）如图，连接B1D1，与A1C1交于点F，连接BF，

因为四边形A1B1C1D1是正方形，A1B12，

所以B1D122，D1F2，

10/50

因为四边形ABCD是正方形，AB6，所以BD62.

1

因为DE5EB，所以EBBD2，

6

所以EBD1F，又EB//D1F，

所以四边形BED1F为平行四边形，

所以D1E//BF，

因为D1E平面A1BC1，BF平面A1BC1，

所以D1E//平面A1BC1.

（2）因为在四棱台ABCDA1B1C1D1中，两底面均为正方形，

所以A1BC1B，所以BFA1C1，

2

所以222，

BFED1D1DDE55253

11

所以SACBF225356，

A1BC12112

11

又SAB2222，

A1B1C12112

设点B1到平面A1BC1的距离为h，

116

由等体积法得VBABCVBABC，即2556h，解得h，

111111333

6

所以点B1到平面A1BC1的距离为.

3

【题型4等距转化法求点到平面的距离】

寻找两平面垂直，再由一个平面内某点向另一个平面的交线作垂线，则所得垂线段的长度即为该点

到另一个平面的距离.

1．（2025·河南·二模）在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，PA平面ABC，AB23，PA4，

若P，A，B，C四点都在球O的表面上，则球心O到平面PBC的距离为（）

11/50

1234

A．B．C．D．

5555

【答案】B

【解析】设底面中心为D，取BC的中点E，连接AE，则A，D，E三点共线，连接PE，过点D作底面的

垂线l1，

取棱PA的中点Q，在平面PAE中，过Q作PA的垂线l2，则l1与l2的交点即为球心O，

2

在正ABC中，AB23，AEABsin603，得QOADAE2，

3

22

又PA2PQ4，则OPPQQO22，PEPA2AE25，

OP2PE2OE272

OEOD2DE25，由余弦定理得cosOPE，

2OPPE10

2

则sinOPE，过O作PE的垂线，垂足为G，由BCAE，BCPA，

10

PAAEA，PA，AE平面PAE，得BC平面PAE，又BC平面PBC，

于是平面PBC平面PAE，又平面PAE平面PBCPE，OG平面PAE，

22

因此OG平面PBC，在Rt△POG中，OGPOsinOPG22，

105

2

所以球心O到平面PBC的距离为.

5

故选：B

2.（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将ACD沿直线AC折起至△ACP

处，使得点P在平面ABC上的射影在AE上.若三棱锥PABC的外接球表面积为8π，则P到平面ABC的距

离为（）

12/50

4168

A．B．C．D．1

399

【答案】A

【解析】连接BD，交AC于O，交AE于点F，连接PF，PO，设正方形ABCD的边长为a，

因为ABCD为正方形，所以ACD沿对角线AC折叠的过程中，

点D（即点P）在底面上的射影一直在直线BD上，

又点P在平面ABC上的射影在直线AE上，所以点F即为点P在平面ABC上的射影，

即PF平面ABC，

则PF即为点P到平面ABC的距离.

因为FO平面ABC，所以PFFO.

2

正方形ABCD中，OAOBOCOD，即OAOBOCOPa，

2

2

所以O为三棱锥PABC外接球的球心，则三棱锥PABC外接球的半径rOPa，

2

2

又三棱锥的外接球表面积为，则22，解得，

PABC8π4πr4πa8πa2

2

所以OBOP2.

因为O为AC的中点，E为BC的中点，所以F为ABC的重心，

112

则OFOB2.

333

2

2

在△中，2224

RtPFOPFOPOF2.

33

4

所以点P到平面ABC的距离为.

3

．如图长方体中，底面是边长为的正方形，高为，为的中点，求：

3,ABCDA1B1C1D124EAA1

⑴点A1到截面AB1D1的距离；

⑵点E到截面AB1D1的距离.C1B1

O1

42D1

【答案】(1);(2)A1

33H

【解析】⑴如图所示，设A1C1∩B1D1=O1E

·

B1D1A1O1，B1D1AA1，B

C

∵⊥⊥13/50

DA

B1D平面AA1O1

∴故平面⊥AA1O1平面AB1D1，其交线为AO1，

在面AA1O1内⊥过A1作A1HAO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，

在RtA1O1A中，A1O1=2⊥，

△224

AO1=AOAA32，由A1O1·A1A=A1H·AO1得，A1H=.

1113

4

故点A1到截面AB1D1的距离为

3

⑵∵E为AA1的中点，A1到平面AB1D1的距离是E到平面AB1D1的距离的2倍，

∴2

E到平面AB1D1的距离为.

3

∴

【题型5等距转化法求点到平面的距离】

当点到平面的垂线不易作出时，可寻找过该点且与平面平行的直线，将所求距离转化为与已知平面

等距离的点作垂线，然后计算.

-

1．在三棱柱ABCA1B1C1中，A1ABC是棱长为2的正四面体，则点A到平面BCC1B1的距离为（）

A．6B．3C．2D．1

【答案】C

【解析】分别取BC、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、A1N、A1M，如下图所示：

由题意可知，因为四面体A1ABC是棱长为2的正四面体，

则ABC是边长为2的等边三角形，则AMBC，故AMABsin603，

同理可得A1M3，A1MBC，

因为BB1//CC1且BB1CC1，所以，四边形BB1C1C为平行四边形，则BC//B1C1且BCB1C1，

因为M、N分别为BC、B1C1的中点，则BM//B1N且BMB1N，

所以，四边形BB1NM为平行四边形，所以，MN//BB1且MNBB1，

14/50

又因为BB1//AA1且BB1AA1，所以，MN//AA1且MNAA1，

所以，四边形AA1NM为平行四边形，则MNAA12，且A、A1、N、M四点共面，

因为AMBC，A1MBC，AMA1MM，AM、A1M平面AA1NM，

所以，BC平面AA1NM，

过点A1在平面AA1NM内作A1HMN，垂足为点H，

因为A1H平面AA1NM，所以，A1HBC，

又因为A1HMN，MNBCM，MN、BC平面BB1C1C，则A1H平面BB1C1C，

在A1MN中，A1NAM3，A1M3，MNAA12，

222

A1MMNA1N3433

由余弦定理可得cosA1MN，

2A1MMN2323

2

36

所以，2，

sinA1MN1cosA1MN1

33

6

因此，点A1到平面BB1C1C的距离为AHAMsinAMN32.

1113

因为AA1//BB1，AA1平面BB1C1C，BB1平面BB1C1C，所以，AA1//平面BB1C1C，

所以，点A到平面BB1C1C的距离等于A1H2.

故选：C.

2．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，且M，N分

别为AC，A1B的中点，则下列说法正确的是（）

A．MN//平面ADD1A1B．MN与AA1所成角为45°

13

C．三棱锥NBCM的体积为D．点A到平面A1BD的距离为

83

【答案】ABD

【解析】对A选项，如图，连接BD,A1D，则M为BD中点，

15/50

又N为A1B的中点，所以MN//A1D，

又MN平面ADD1A1,A1D平面ADD1A1，

MN//平面ADD1A1，故A选项正确；

对B选项，由A可知，DA1A为MN与AA1所成角或其补角，

由正方体性质可知，DA1A45，故B选项正确；

111

对C选项，三棱锥NBCM的体积为VVV

NBCM2A1BCM24A1ABCD

111

111，故C选项错误；

8324

对选项，设点到平面的距离为，则VV，

DAA1BDhAA1BDA1ABD

113113

22h111，h，故D选项正确.

322323

3.（25-26高一下·河南鹤壁·阶段检测）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a．截面A1DB将正方体分

成两部分，其体积分别为V1,V2，且V2V1．

(1)求V1,V2以及V1:V2；

(2)求点A到平面A1BD的距离d.

15

【答案】(1)Va3，Va3，V:V1:5

162612

3

(2)a

3

【解析】（1）截面将正方体分为两个几何体，其中较小部分是三棱锥A1ABD，

16/50

11

其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积SABADa2．

122

111213

三棱锥AABD的高为hAA1a．所以其体积VShaaa.

1131326

331353

又正方体的体积Va，所以V2VV1aaa.

66

所以V1:V21:5．

（2）三棱锥A1ABD与三棱锥AA1BD是同一个几何体．

132

在A1BD中，A1BBDA1D2a，其面积S2a2asin60a．

222

11

313132

因为VAABDVAABD，即aS2d，所以aad，

1163632

33

解得da，即点A到平面A1BD的距离为a．

33

【题型6转化法求直线到平面的距离】

一般利用转化法求直线到平面的距离，即将所求距离转化为直线上的某点到平面的距离.

1．（25-26高二上·山东潍坊·期中）正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，点E，F分别为CC1，DD1

的中点，且已知A1E与BF所成角的大小为60°，则直线A1E与平面BCF之间的距离为（）

266

A．22B．2C．D．

33

【答案】C

【解析】

取H为AA1中点，连接HB,HF,FC,不妨令HC,FB相交于O，

由于点E为CC1的中点，故A1HCE,A1H//CE，

即四边形A1HCE为平行四边形，故A1E//HC，故A1E与BF所成角的大小与HC与BF所成角的大小相等，

即BOC60，

17/50

不妨设AHx，故BHx24,BC2,CHx28，

由BC平面ABB1A1，BH平面ABB1A1，故CBH90，点O为CH中点，

2

x8

故OBOC，又BOC60，故BOC为等边三角形，即OCBC2，

2

解得，即，

x22AA142

连接EF,EB，作EGFC于G，

由于A1E//HC，A1E平面BCF，HC平面BCF，故A1E//平面BCF，

则直线A1E与平面BCF之间的距离即为点E与平面BCF之间的距离，

由BC平面CDD1C1，EG平面ABB1A1，故EGBC，又FCBCC,FC,BC平面BCF，

故EG平面BCF，即EG为点E与平面BCF之间的距离，

EC22,EFCD2,FC(22)22223，

ECEF422626

故EG，即直线A1E与平面BCF之间的距离为.

FC2333

故选：C

2．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知在RtABC中，斜边BC//平面，A，，分别与平

面成30和45的角，已知BC6，则到平面的距离为（）��𝐴

𝐴

A．4B．26C．6D．32

【答案】C

【解析】作BB1于点B1，CC1于点C1，则由BC//，得BB1CC1，

且CC1就是BC到平面α的距离，设CC1x，

连接AB1、AC1，则BAB130，CAC145，AC2x，AB2x，

在RtABC中，BC6，BAC90，∴

362x24x2，x6，即到平面的距离为6.

∴∴𝐴

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3．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，则直线A1B1到平面ABC1D1

的距离为___________．

【答案】2

【解析】连接2B1C,B1C与BC1交点为，因为BCC1B1是正方形，则B1OBC1，

又AB平面BCC1B1，B1O平面BC�C1B1，则ABB1O，

又ABBC1B,AB,BC1平面ABC1D1，则B1O平面ABC1D1，

因为AB//A1B1,A1B1平面ABC1D1，AB平面ABC1D1，所以A1B1//平面ABC1D1，

所以直线A1B1到平面ABC1D1的距离为点B1到平面ABC1D1的距离，

11

所以直线AB到平面ABCD的距离为BOBC424222.

11111212

故答案为：22.

4．（25-26高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB2，AB22，AA13，M

为AB的中点．

(1)证明：AC1//平面B1CM；

(2)求直线AC1到平面B1CM的距离．

322

【答案】(1)证明见解析；(2)．

11

【解析】（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，连接BC1，交B1C于点N，连接MN，如图：