甘肃省嘉峪关市酒钢三中2025-2026学年高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|lnx<0}，N={x||x+1|<32}，则下列关系正确的是A.M∩N=(−52,1) B.M∪N=(0,1)

C.M∩N=(2.若复数z满足z⋅(1−i)=2+3i，则复数z的虚部是(

)A.−12 B.−12i 3.已知两个平面α、β，直线a⊂α，则“α//β”是“直线a//β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.双曲线x24−y23=1的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，且|AA.16 B.8 C.4 D.25.若函数f(x)=sinxcos(x−π3)−3sinA.x=π12 B.x=−5π12 C.6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且有a3−2a2A.12或5 B.2或15 C.−12或−5 7.已知平面向量a、b满足|a+2b|=1，且a=(1,−1)，则b在A.2−22 B.2+128.曲线y=sinx在x=x0(x0≥0)处的切线为y=ax+b，且满足∀x≥0，sinx≤ax+b，若10ab≤mA.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组的取值区间均为左闭右开)，画出频率分布直方图(如图)，下列说法正确的是(

)A.在被抽取的学生中，成绩在区间[90,100)内的学生有160人

B.图中x的值为0.020

C.估计全校学生成绩的中位数约为86.7

D.估计全校学生成绩的80%分位数为9510.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱AB、BC、A.直线AG与直线BH为异面直线

B.存在非零实数x、y，满足EF=xEG+yEH

C.四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直

D.对角线AC1与直线FE、FG11.已知函数f(x)=x2⋅cosπx2，数列{A.∃x0>0，使得x0既是f(x)的零点，也是f(x)的极值点

B.当n为偶数时，有an=an−1

C.f(x)在区间(0,1)内有唯一极值点，且为极大值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x−2x)5的展开式中含x3的系数为

13.若随机变量X～B(9,p)，且D(X)=2，则E(X)=

．14.已知抛物线x2=4y，过动点P作抛物线的两条切线，记两条切线的斜率分别为k1、k2，若(k1−1)(k四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A=sin2B+sin2C−sinBsinC，BC边上的高为2，b+c=6．

(1)求角16.(本小题15分)

如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠DAB=∠DA1A=60°，17.(本小题15分)

甲、乙、丙三人打台球，并约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打.假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立．

(1)求前三局中甲恰好参与了两局的概率；

(2)求第3局有甲参与的概率；

(3)求第n局是甲、乙对打的概率．18.(本小题17分)

记函数f(x)=ex．

(1)求函数在点(1,e)处的切线方程；

(2)若不等式f(x)≥1+x+ax2对于任意x≥0恒成立，求a的取值范围；

(3)求证：对于任意x≥0，f(x)>2x219.(本小题17分)

设直线l分别交x，y轴于M，N两点，P为线段MN中点．

(1)若M的横坐标与N的纵坐标之积为4，求P的轨迹方程C；

(2)设A，B，C为曲线C上任意不同三点，

(i)证明：△ABC的垂心也在曲线C上．

(ii)若△ABC为正三角形，证明：△ABC的外心到原点的距离为△ABC外接圆半径的一半，并求△ABC面积的最小值．

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】AB

11.【答案】BCD

12.【答案】−10

13.【答案】6或3

14.【答案】x−y−2=0

15.【答案】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

由sin2A=sin2B+sin2C−sinBsinC及正弦定理得，a2=b2+c2−bc，

由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=12，

又A∈(0,π)，所以A=π3

由BC边上的高为2，得三角形面积S=12a⋅2=a16.【答案】证明：因为AB=AD=AA1，∠DAB=∠DA1A=60°，

所以△DAB，△DAA1均为等边三角形，

记AD中点为O，连接OA1，OB，

则AD⊥OA1，AD⊥OB，

又OA1，OB⊂平面A1OB，OA117.【答案】分两种情况．

第一种情况：甲第二局轮空，即第一局甲负，此时第三局一定有甲参与，其概率为12．

第二种情况：甲第三局轮空，此时第二局甲负，第一局甲胜，其概率为12×12=14

故所求概率为12+14=34

由第一问知甲第三局轮空，此时第二局甲负，第一局甲胜，其概率为12×12=14，

所以第三局甲参与的概率为1−14=34

第n局是甲、乙对打，则第n局丙轮空，下面计算第n局丙轮空的概率：

记第n局有丙参与的概率为Qn，则第n+1局有丙参与的概率为Qn+1，

若第n局有丙参与，则第n+1局有丙参与的概率为12，18.【答案】因为f(x)=ex，所以f′(x)=ex，所以f′(1)=e，

所以切线方程为y−e=e(x−1)，整理得y=ex．

令g(x)=f(x)−(1+x+ax2)=ex−ax2−x−1，

所以g(0)=0且g′(x)=ex−2ax−1，令h(x)=ex−2ax−1，则h′(x)=ex−2a．

则函数h′(x)在[0,+∞)上为增函数，且h′(0)=1−2a，

若2a>1，即a>12，由h′(x)<0可得0<x<ln2a，

即函数g′(x)在(0,ln2a)上单调递减，所以g′(x)<g′(0)=0，

故函数g(x)在(0,ln2a)上单调递减，所以g(ln2a)<g(0)=0，矛盾，所以a≤12，

当a≤12时，对于任意x≥0，h′(x)=ex−2a≥1−2a≥0．

所以g′(x)在(0,+∞)上单调递增，所以对于任意x≥0，g′(x)≥g′(0)=0，

所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以对于任意x≥0，g(x)≥g(0)=0，符合题意．

综上所述，a的取值范围为(−∞,12]

证明：法一：令φ(x)=f(x)−(2x2−23)=ex−2x2+23，所以φ′(x)=ex−4x，

令p(x)=ex−4x，则p′(x)=ex−4，

当x∈(0,2ln2)时，p′(x)<0，φ′(x)在(0,2ln2)上单调递减，

当x∈(2ln2,+∞)，p′(x)>0，φ′(x)在(2ln2,+∞)上单调递增，

又φ′(0)=1，φ′(2ln2)=4−8ln2<0，φ′(3)=e3−12>0，

所以存在唯一x1∈(0,2ln2)，使得φ′(x1)=0；存在唯一x2∈(2ln2,+∞)，使得φ′(x2)=0，

所以当x∈(0,x1)时，φ′(x)>0，从而φ(x)在(0,x1)上单调递增，

当x∈(x1,x2)时，φ′(x)<0，从而φ(x)在(x1,x2)上单调递减，

当x∈(x2,+∞)时，φ′(x)>0，从而φ(x)在(x2,+∞)上单调递增，

又φ(0)=53>0，所以只需证明φ(x2)>0即可，又φ′(x2)=0即ex2=4x2，

所以φ(x2)=ex2−2x22+23=4x2−2x22+23=−2(x2−1+233)(x2−1−233)，

下证x2<1+233即可说明φ(x2)>0，

又x∈(2ln2,+∞)，φ′(x)单调递增．

所以x2<1+233⇔φ′(x2)<φ′(1+233)，

又φ′(1+233)=e1+233−4(1+233)，由(2)知ex≥1+x+x22，

所以φ′(1+233)=e2⋅e233−1−4(1+23319.【答案】由直线l分别交x，y轴于M，N两点，P为线段MN中点，

设M(a,0)，N(0,b)，

由P(x,y)是MN中点得x=a2，y=b2，

即a=2x，b=2y，

又ab=4，故xy=1，

P的轨迹方程C：xy=1

(i)证明：设A(x1,1x1)，B(x2,1x2)，C(x3,1x3)，

△ABC的垂心为H