江苏省南京师范大学附属中学2025-2026学年高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南京师范大学附属中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知a∈R，设i为虚数单位，若z=a-1+（a-2）i为实数，则a=（）A.1 B.-1 C.2 D.-22.从2名男同学和2名女同学中任选2人参加比赛，则选中的男同学和女同学人数相等的概率为（）A. B. C. D.3.已知向量=（0，1），=（2，x），若⊥（），则x=（）A.-2 B.-1 C.1 D.24.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若c=4，，，则C=（）A. B.或 C. D.或5.已知α，β是两个平面，l,m是两条直线，则（）A.若l∥m,m⊂α，则l∥α

B.若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m

C.若l⊥α，m⊥β，l⊥m,则α⊥β

D.若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β6.若，则cos2α的值为（）A. B.. C. D..7.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则•的取值范围是（）A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6]8.设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，已知函数f（x）=（x-x1）2+（x-x2）2+（x-x3）2+（x-x4）2+（x-x5）2在x=x2处取得最小值1，则下列情况中可能成立的是（）A.x1=x2 B.x2=x3 C.x1+0.5=x2 D.x2+0.5=x3二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，如图是抽取的100户居民的月用电量数据的频率分布直方图，则（）A.频率分布直方图中x的值为0.44

B.抽取的居民中，月用电量在150度到300度之间的有64户

C.估计抽取的居民中，月用电量的平均数大于175度

D.估计抽取的居民中，月用电量的中位数为180度10.已知z=i（1-i）3，则（）A.|z|=8

B.

C.若复数z1满足，则

D.若复数z2满足|z2|=1，则|z2-z|的最大值是11.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，四棱柱的所有顶点均在半径为1的球O的球面上，则（）A.AC1⊥BD

B.该四棱柱的侧面积最大值为

C.点A到平面A1BD的距离的最小值为

D.平面A1BD截球O所得截面图形的面积的取值范围为，π）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在半径为2的球中放一个底面半径为的圆柱，则圆柱的高的最大值为

.13.在△ABC中，，，，，用表示向量，则=

；若，则∠ACB的最大值为

.14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，则的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量=（2，4），=（-2，x）.

（1）当∥时，求||；

（2）当x=-1时，求向量与的夹角的余弦值.16.(本小题15分)

全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，所有人的所有考试是否合格互不影响.

（1）若甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，分别计算他们获得执业医师证书的概率，判断获得执业医师证书的可能性最大的人；

（2）这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1是正方形，M、N分别是AB1、BC1的中点.

（1）求证：MN∥平面ABC；

（2）若△BMN是边长为1的等边三角形，且A1B1=2.

（i）求B1C1；

（ii）求三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.

（1）求A；

（2）若a=1，点I为△ABC的内心，设△ABC的内切圆半径为r.

（i）若，求△ABC的面积；

（ii）若△ABC为锐角三角形，求r的取值范围.19.(本小题17分)

如图，在四面体ABCD中，AB=AC=AD=1，∠BAC=∠BDC=.

（1）证明：平面ABC⊥平面BCD；

（2）求直线AD与平面ABC所成角的最大值；

（3）求二面角B-AD-C的正弦值的最小值.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】BC

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】2

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）向量=（2，4），=（-2，x），

若∥，则2x=4×（-2），解得x=-4，

所以=（-2，-4），可得；

（2）当x=-1时，=（-2，-1），可得，

结合=（2，4），可得，，

所以向量与的夹角θ满足cosθ=．

16.【答案】解：（1）记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”依次为事件A1，B1，C1，

在医学综合笔试中“合格”依次为事件A2，B2，C2，

因为所有考试是否合格互不影响，所以A1与A2，B1与B2，C1与C2，相互独立，

因此甲获得执业医师证书的概率，

乙获得执业医师证书的概率，

丙获得执业医师证书的概率，

所以P（B1B2）＞P（C1C2）＞P（A1A2），

故乙获得执业医师证书的可能性最大；

（2）记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件A，B，C，则，P（B）=，，

由于事件A，B，C相互独立，

则恰有两人获得执业医师证书的概率P=P（AB）+P（AC）+P（BC）=++（1-）×=，

故有两人获得执业医师证书的概率为．

17.【答案】解：（1）证明：由题意在三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别是AB1、BC1的中点，

连接B1C交BC1与N，可得N是BC1的中点，

因为M是AB1的中点，

所以MN∥AC，AC⊂面ABC，MN⊄面ABC，

所以MN∥面ABC；

（2）（i）因为△BMN是边长为1的等边三角形，

所以△BA1C1是边长为2的等边三角形，

所以C1M⊥A1B，又因为侧面ACC1A1是正方形，

所以正方形边长为2，且AB1⊥A1B，

因为C1M⊥A1B，AB1⊥A1B，C1M⊂面AB1C1，AB1⊂面AB1C1，AB1∩C1M=M，

所以A1B⊥面AB1C1，

又因为B1C1⊂面AB1C1，所以A1B⊥B1C1，

又因为BC∥B1C1，所以A1B⊥BC，

因为，A1B=2，所以；

（ii）由已知得△ABC是等腰三角形，

所以可算得底边上的高为1，

即，，，=2S△ABC=，

所以三棱柱的表面积为．

18.【答案】解：（1）由正弦定理得，，

因为B∈（0，π），所以sinB≠0，所以，

因为，所以，

又因为A∈（0，π），所以，

所以，所以，即；

（2）（i）由内心性质，直角三角形AID（ID⊥AB，I为内心）中，代入，得．

因为，

所以（1+b+c）×=，

所以1+b+c=4bc,

又1=b2+c2-bc,所以，

因此；

（ii）设△ABC的内切圆半径为r,

因为，所以，

由（2）（i）知，b2+c2=1+bc,所以（b+c）2-2bc=1+bc,

所以，

所以=．

在△ABC中，由正弦定理得，，

所以，，

所以b+c=．

因为△ABC为锐角三角形，所以，

解得，所以，

所以，

所以b+c=，

所以r=，

故△ABC的内切圆半径的取值范围为．

19.【答案】解：（1）证明：设BC中点为M，则由已知可得AM⊥BC，且，，

因为△BCD是直角三角形，

所以，

所以有DM2+AM2=AD2，

所以三角形AMD是直角三角形，即AM⊥DM，

因为AM⊥DM，AM⊥BC，DM∩BC=M，DM、BC⊂面BCD，

所以AM⊥面BCD，

又因为AM⊂面ABC，

所以面ABC⊥面BCD；

（2）在面BCD内过D向BC作垂线，垂足记为H，

由（1）得面ABC⊥面BCD，

又因为DH⊥BC，面ABC∩面BCD=BC，DH⊂面BCD，

所以DH⊥面ABC，

所以∠AHD是直线AD与面ABC所成角，

所以在直角三角形AHD中，，

在直角三角形DBC中，由等面积得，且DB2+DC2=2，

所以根据基本不等式2≥2DB•DC，即DB•DC≤1，当且仅当DB=DC时取等，

因此，故，

所以∠AHD最大值为；

（3）在面ABD内过点B作AD的垂线，垂足记为G，

在面ACD内过点C作AD的垂线，垂足记为P，

在面ACD内过点G作CP的平行线，交于AC点Q