随机规划课件

第二讲随机规划

第一节基本概念

1、问题的提出

许多实际决策问题，尤其是比较复杂的决策问题，可以建

立如下的线性规划模型:

min储X]+c2x2+...+C〃K“}

subjectto

。[内+。12工2+…=4

4~d-)-,X-,+…+=b?

(1.1)

+《〃2工2+…+Q，“，d〃=5〃

>0.

用矩阵向量分析法，简化问题（1.1）得:

、

mincTx

s.t.Ax=b

(1.2)

x>0

线性规划模型，在工业生产、运送业、农业、能源、生态、工程

等领域均有广泛（经典）时应用。

在问题（1.1）中系数的（例如价格原因）、%（例如生产率）、bi

（例如需求量或存储能力）假设都已知为实数，这样我们的任务就是:

寻找满足约束条件的决策变量》（例如投入原因、生产率水平、能源

流），使这一组合到达最优。显然,在现实生活中，假如有关口勺函数

（例如，费用函数或生产函数）有关决策变量是线性W、J,那么模型

（1.1）就可以合理的描述现实生活中的问题。假如现实中不是这样

的，例如，由于产品的边际成本（边际成本指日勺是每一单位新增生产

的产品（或者购置的产品）带来到总成本日勺增量）的增长或边际酬劳

的减少，我们就需要更一般日勺形式来建立问题的模型，如下：

ming,）（x）

S33（%）=（13）

xsXuIR”.

形式如（1.3）的问题就是一种数学规划问题。

这里日勺集合X以及函数3:/R"f=可以理解为是在建模

过程中给出的。

在许多模型建立过程中（如问题（1.1）和（1.3））,若系数”,%也或

函数处（和集合X）分别为给定值，这是不合理的。例如说，在水电

发电站，流入发电站蓄水池的流水量，及运送网络中各个节点的需求

量等等的原因，在建模的过程中，一般都作为不确定口勺参数。在一种

生产问题中，未来的生产率，用概率分布来描述是最佳口勺。但在建模

过程中，这些参数真实值的不确定性，并不能用他们的平均值或别的

估计值来消除（即真实值与平均值/估计值存在偏差）。就是说，在考

虑实际状况的时候，问题（1.1）、（1.3）的模型，也许并不适合来处

理更实际的问题。在这一章我们着重并尽量口勺阐明，对于实际生活中

的决策问题，需要扩大建模范围的必要性。

在数学规划中引入随机性是很自然的事情。在模型中的系数

卬为也常常代表价格、成本、需求量、资源数量、经济指标等参数。

由于多种不确定性原因的影响，这些参数常常出现波动。例如，市场

上对某种商品的需求量一般无法精确的预知，只能作出大体的预测，

某种产品的生产成本往往受原材料价格、劳动生产率等多种原因日勺影

响而常常变化，这些变化与波动，在许多场所可以用一定口勺概率分布

去描述。因此，在数学规划中引入随机变量，可以使模型愈加符合实

际状况，从而是日勺决策愈加合理。

例1某化工厂生产过程中需要A,B两种化学成分，既有甲、乙

两种原材料可供选用。其中原料甲中化学成分AKJ单位含量为〃/10,

勺单位含量为〃/3;原料乙中化学成分AH勺单位含量为1/1(),8的单

位含量为1/3。根据生产规定，化学成分4的总含量不得少于7/10个

单位，化学成分AH勺总含量不得少于4/3个单位。甲、乙两种原料的

价格相似，问怎样采购原料，使得即满足生产规定，又是的成本最低？

显而易见，这个问题可以用线性规划模型来描述。根据题意，设

原料甲出J采购数量为七，原料乙W、J采购数量为々，轻易得到如下线性

模型：

minf(X)=%1+x2

ax}4-x2>7

bx+x>4

x2(1.4)

>0,x2>0

于是只要懂得。和〃时值，立即可以求得最优解。

不过，假如由于某种原因，原料甲中化学成分A、8日勺单位含量

不稳定，其中J=,是矩形｛1。"X），wi｝内的均匀分布随机向

量，则问题（1.4）就成为随机线性规划问题了。

由于引入了随机量，随机规划问题的分析与求解比一般数学规划

问题要复杂大多。在处理随机规划问题时，人们最轻易想到日勺措施也

许是将模型中的随机变量用它们的J期望值来代，从而得到确定性H勺数

学规划模型，再去求解。实际上，过去许多确定性数学规划正是这样

建立起来的，不过应当指出，这种处理措施在实际问题中并不总可行

出J。为了阐明这一点，我们不妨用此措施试解例1中日勺问题。轻易求

得

石0=现(。］尸］=(5/2,2/3)工(1.5)

将此值代入问题（1.4）,得到确定线性规划模型如下:

minf(X)=Xj-Fx2

/+々27

2

(1.6)

X}>0,々-0

可以求得此问题日勺唯一最优解为

X*=(%；,%；/=(18/11,32/11/,(1.7)

于是以此X,作为原随机线性规划问题（1.4）H勺最优解。可是，由于

问题（1.4）中的3b1是随机向量,我们自然但愿懂得，上述X.是问

题(1.4)日勺最优解这一事件的概率有多大？是问题(1.4)日勺可行解

这一事件的概率有多大？然而，我们发现，

1

P{(a.b)|tzX|+X>7,bx]+x2>4}

.，(1.8)

=P{(a,b)T\a>5/2,Z?>2/3}=l/4

也即，也对问题(L4)是可行解以。.解的概率是不也许时,只有0.25

的也许性，这个解显然是不可用日勺。这个例子阐明，用上述措施处理

随机规划问题时应当十分谨慎。

随机规划问题可以大体分为两种类型：被动型和积极型。被动型

即所谓“等待且看到(waitandsee)”模型，即决策者等待着观测问

题中随机变量的实现，然后合适地运用这些实现的信息作出决策，分

布问题即属于此种类型。积极型即所谓“这里且目前(hereandnow)”

模型，决策者必须在没有机变量时实现的信息的状况下就作出决策，

二阶段问题和机会约束规划均属于这种类型。

2、分布问题

分布问题的提法

例1设某工厂生产几种产品，需要用加种原料。第/种产品对第

i种原料的单位需要量为%,第i种原料的拥有量为明第/种产品的

单位利润为试问怎样安排各产品日勺生产量匕(/=1,…〃))，以使

时在既有条件下利润最大？

轻易列出这个问题的线性规划模型为

maxf(X)=^cjxj

幽,i=

六।(1.9)

Xj>0,j=1,.../?

深入考虑后，发现上述模型中的系数均总存在误差，故认为即是服从

正态分布的随机变量；而单位利润系数C,亦也许随市场价格波动而变

化，此外原料拥有量々也也许因运送、保管等原因而发生短缺。于是,

上述系数均可视为随机变量，记为为(助，C.(vv),4(卬),VVGQ

为了合理安排生产，显然但愿懂得，在多种也

许欧I状况下，max/(X)时值是什么，也即但愿懂得max/(X)口勺分布怎

样，或者但愿懂得max/(X)I1勺数学期望是多少。

也就是说，对于每个样本卬£。求解一种线性规划问题

max=

j=i

=bj(w),i=1,…”

目,(1.10)

Xj>0,

然后再求max/(X)的分布。这就是本节将要讨论日勺分部问题。

一般地，所谓分布问题就是对于每个样本wwC求解一种线性规

划问题

^（vv）=minC（w）X

A（w）X=b（w）

X>0，（1"）

并求夕坟）口勺分布函数或其他概率特性。

上述问题中，为随机矩阵，/刈和°（2分别随机向量。显然

为使上述分布问题在数学上故意义，首先规定式卬）必须是一种随机变

量，即到W）是概率空间（QP,P）上日勺Borel可测函数。对此有如下定理。

定理1在上述分部问题中，最优目日勺函数值其卬）是一种随机变

量，并且合适选择后可以找到该问题的一种最优解X*（卬）为随机向

量。

伴随W的变化,问题（7.9）口勺最优目的函数值夕卬）也许有限，也

也许为无穷大。假如自（卬）取+8活—8的概率不小于0,则夕刈的数学

期望及其他概率特性均不存在，从而该问题在许多状况下将无实际意

义。因此，我们感爱好的是:。（卬：-8</卬）<+8）=1的状况，此时间

题W、J最优值称为无缺陷的分布。

对于分部问题可以像看待一般线性规划那样按照参数规划日勺思

绪来讨论和求解，例如单纯形法、敏捷度分析等。

3、期望值模型

在期望约束下，使得目的函数口勺期望值到达最优的数学规划称为

期望值模型。期望值模型是数学规划中常见口勺形式之一，准期望费用

极小化，期望值模型极大化问题等等。

首先考虑报童问题。报童需要每天提前到邮局定购报纸并确定所

定购的报纸数量X分，每份价格为C元。已经懂得每份报纸W、J售价为。

元。假如报童没有卖完当日的报纸，则回收中心以极低W、J价格人元

收报纸。假设每天报纸口勺需求量为八若/>小则每天报纸口勺剩余量

为尤-3否则为0。这样报童的受益为

f(a-c)x,x<^

/(羽？={,(1.12)

[S-c)x+(q—b)J,x>^

在实际问题中，报童出J需求量J一般是随机变量，从而导致效益

函数/(北⑤也是随机变量。既然不能精确地预测出订购工份报纸的实

际收益，一种自然内措施就是考虑期望收益

X-KO

E[f(x^)]=\[(b-c)x+(a-b)小旗+延+卜。一加处次,(3.2)

0A-

其中£表达期望值算子，。(4)表达需求量J的概率密度函数。报童问

题就是寻找最优的定购数量x使期望收益到达最大值，这是

一种经典的期望值模型。

(1)期望算子

假设/维随机向量4W、J概率密度函数为。C)，则随机向量4日勺期望

值定义为

ET^]=J(1.13)

一般也称其为均值

设/为定义在”上H勺实函数，则是一种随机变量，其期望值

£（/（力）可以通过下式来计算：

仇/（多1=>〃？°修）碣，（1.14）

期望值算子有如下的基本性质：若”延+b,其中〃和〃是常数,

则

戈〃]=々仇目+。，（1.15）

更一般口勺状况，设二&，…&是〃个随机变量,且期望值仇切（i=12...〃）

存在，则有

—+。2+.•・+4]=a2+上%2]+…+4£]，（1.16）

设刍是〃个互相独立的随机变量，且期望值E[^]

（i=l,2,...〃）存在，则有

—〃]=£©]•£4]...仇当],（1.17）

（2）期望值模型

单目的期望值模型的一般形式为

max£[/（X，OJ

s.t

工⑸（X,J"O,/=L2,...,p，（118）

E也（X4）]=0,k=l,2,…可

其中X是一种〃维决策向量，4是一种，维随机向量，其概率密度函数

为娓),/(x，4)是目的函数，gj(x/)和“(XC)是随机约束函数,

由于

仇.(X4)]=，g/(X,J)0K)dJ,j=l,2,…,p(1.19)

讥/“(X,为=L%(X,&)惟)试,女=1,2,…〃

一种可行解X*是期望模型最优解，假如对于任意日勺可行解X,有

E"(X",钏之E"(X©]成立。

4、机会约束规划

作为第二种随机规划，机会约束规划(ChanceConstrained

Programming)重要是针对约束条件中具有随机变量，且必须在观测

到随机变量的实现之前作出决策的状况。考虑到所做的决策在不利状

况发生时也许不满足约束条件，而采用一种原则：即容许所作决策在

一定程度上不满足约束条件，不过该决策应使约束条件成立的概率不

不不小于某一种置信水平a。

求解机会约束规划的老式措施是根据事先给定时置信水平，把机

会约束规划化为各自确实定等价类，然后用老式欧J措施求解其等价确

实定性模型。对某些特殊的状况，机会约束规划问题确实可以化为确

定性数学规划问题，但对较复杂日勺机会约束规划问题，一般很难做到

这一点。然而，伴随计算机日勺高速发展，某些革新算法如遗传算法的

提出，使得复杂的机会约束规划问题可以不必通过转化为确定性数学

规划而直接得到处理。

（1）机会约束规划模型

考虑带有随机参数的数学规划模型

max/（X,J）

<SJ,（1.20）

gj（X，）W（）,j=1,2,...,P

其中x是一种〃维决策向量，4是一种随机向量，/（x4）是目的函数，

处（X©是随机约束函数，j=

不过这个模型由于尚有随机参数，意义不很明确。机会约束规划

模型

f一

maxf

\s.t

<一（［21）

P{&（X，4）K0,j=1,2,...,p}2a

其中a和尸分别是事先给定时置信水平。

一种点X是可行的当且仅当P{gj（X，4）40,j=12...,p}Na,即违反

约束条件W、J概率不不小于（1-。）。

无论何种随机参数A和何种函数形式/，对每一种给定时决策X,

/(X4)都是随机变量，其概率密度函数用膜X.4/)表达，这种也许有

多少个/使得成立。从极大化目日勺值了日勺观点看，我

们所要的目时值/应当是目的函数/(X,。)在保证置信水平至少是夕

时所取的最大值，即

/=max{/|P{/(X,^)>/}>/?),(1.22)

第二节实际算例

简朴起见，把问题理想化，考虑下面问题。用两种原料raw\,raw!

我们可以同步生产两个不一样的商品，prodVprodl（例如在提炼厂同

步提炼两种物质）。消耗原料所生产出内每件产品所需的费月为

（生产费用7），产品日勺需求量〃=及生产量

b,则可加工原料的最大总量如表1:

min(2)

芍“皿+3AWM,2

raw\+raw!<10(),

>18(),

SZ31如讨+3当.2>162,(2.1)

Xraw\>0,

Xniw2>0.

由于问题被简化了，因此我们可以给出可行日勺产品计划集合（如

图1确定性线性规划：可行的产品计划集合

根据费用函数Mx)=+3见”.2，很轻易得出该问题的唯一最优

解。

如图2zj\：

.]=36，.2=电7(炒=126(2.2)

图2线性规划：y=290的可行生产计划和成本函数

假设生产问题中口勺生产率、每个部件的费用、及顾客口勺需求量和

（工厂）实际生产能力都是固定日勺数，且我们在制定生产计划决策之

前就得到这些数据。那么用模型（2.1）和方案（2.2）就能很好的来

描述该生产问题。但很显然这中假设是不现实H勺。至少某些数据（例

如生产率和需求量）也许会在某一范围内变化（由于我们某个任意的

决定）。而我们又不得不在掌握精确数据之前就做出生产计划决策。

为了使问题更详细些，我们假设如下几点：

•我们的模型描述了一种提炼厂每一周的生产过程。该厂，依

托两个地区来供应原油（分别为皿以阳卬2）,首先，提炼出的

汽油（prodA）,供应给加油站分派系统。另首先，提炼出的燃

油（pm"2）为其供暖装置和发电厂供应。

•我们懂得，生产率7r（raw\,prodY）和*（忆卬2,prod!）,即从raw1输

出的I汽油prod\与从忆卬2输出的燃油prod!也许是随机变化的J

（不过，其他的J生产率是固定的）：

•同步，每一周客户的需求量也是任意变化口勺（汽油的需求量

I"燃油H勺需求量〃22）。

•每周提前制定的生产计划（乙皿4m2），在详细的每一周保持不

变。然而，

•实际的生产率只有在生产过程中才可以观测到（或测得）。且

•客户但愿他们W、J实际需求在每一周都能得到满足。

根据记录数据•，假设如下条件：

&.抑=180+盛

prod2=162+，2,,

7i{ravv\,prodV）=2+fj],（2.3）

7r（raw2,prod!）=3.4-rj2.

其中，随机变量或是服从正态分布，而万，房分别服从均匀分布和

指数分布，满足下列参数：

distr~N(0,12),

distr~N(0,9),

(2.4)

distr〜U[-0.8,0.8],

distr〜EX/U=2.5).

为了简化问题，我们假设这四个随机变量是互相独立H勺。由于随

机变量盛方访是无限的。将它们分别约束在99%的置信区间（均匀

分布U除外）。这栏我们就得到以上随机变量的J取值范围：

加€[-30.91,30.91],

G£[-23.18,23.18],

77,G1-0.8,0.8],(2.5)

%e[0.0,1.84].

因此，替代线性规划（2.1）,我们来处理随机线性规划问题:

min（2Xw，]+3芍.2）

%同十/0<10°，

（2+万）%，i-6尤…Q2180+,

"3x=+（3.4—玄）工四2之162+或，(2.6)

(面20,

-220・

这是一种不确定的决策问题，由于在懂得匕，2旧,房）中

（金，2以/）时值之前，这里“min（最小）”还是不明确（无法确定）。

若随机变量呈几何级数变化，问题会变得非常复杂。右端△在

（（2.5）中）给定区间内变化，会使可行集合在对应的方向产生平移。

我们只需要考虑乙的值在（2.5）给定的区间内变化时所带来的影

响。那将导致对应面的旋转。某些也许口勺状况在图4中给出，旋转中

心用小圆圈表达。

图4线性规划：可行集合伴随生产率变化的状况

考虑到，需求量和生产率日勺所有也许变化状况及同步产生两个几

何运动的重叠，即移动和旋转。根据这些随机数据日勺实际值可看出，

可行集合的变化是巨大的。一种称为观望（wait-and-see）措施，是说,

在我们提前懂得了这些随机变量的实际值后，便能给出处理该问题最

优解的措施。在图5中，给出了几种也许口勺情形。有了确定口勺解：

x=Jwi，跣皿）=（36,18）,y=126,

便能给出生产计划例如：

9=（"向",卬2）=（2。,30）/=130；

2=仁…盆2）=（50,22）1=166,（2.7）

£=（口C.2）=（5&6）/=134

这些都也许是观望措施的处理方案。

不幸的是，观望措施并不是我们需要的。由于我们只有有关随机

需求量和生产率分布状况的有关记录信息，因此我们不得不在不确定

的状况下做生产计划口勺决策。

一种也许性（措施），我们也许会坚持寻找一种“安全的”生产

计划：该计划对所有生产率和需求量时也许实现值都是可行的。像这

样的产品计划被称为，fatsolution,且反应了决策者总的风险厌恶状

况。并不意外，这种措施一般是相称昂贵的。在我们的例子中，可以

通过图5总结出来一种fatsolution代I解，存在于两个最右端约束条件

时交点上。对于〃mdl和i32,可以很轻易日勺计算出来：

x*=(^,1,^2)=(48.018,25.548),/=172.681

(2.8)

图5LP：可行集合伴随生产率和需求量变化日勺变化状况：某些

wait-and-see解

对于另一种也许性（措施）。假设提炼厂已经跟他的客户做了下

列的安排。原则上，客户但愿提炼厂来满足他们每一周的需求量C然

而，很也许（根据生产计划和无法预见日勺事件，来决定客户的需求量

和（或）提炼厂日勺生产率）这些需求不能都得到满足，这就会对提炼

厂导致“惩罚”费用。局限性的数量就需要从市场上来购置。这些惩

罚理应与产品的短缺量成正比。我们假设，每样无法交付H勺产品总计

分别为：

qprod?~7,夕=12（2.9）

由于缺货（或一般由于违反约束规定的数量）而多出的费用，实

际上是在观测了随机数据后才决定的。记为追索费用。由记录学的知

识我们懂得，在一种事件中，应用期望值原则，来反复制定生产计划

是有道理的。

更确切地说，我们但愿能找到一种生产计划，使我们最初第一阶

段的花费与期望日勺追索费用值之和到达最小。为了是措施改正式些，

把我们日勺某些符号简写一下。用八灰）丁来替代单一时随机变

量入M，万和42会显得以便某些。接下来，我们对（2.6）中每个随机

约束添加一种追索变量y腐）/=1,2,用来简朴日勺度量产品出现的短缺。

由于短缺量依赖于我们随机向量F的实现值，尚有对应的追索变量，

即yg）是有关他们自身日勺随机变量。对于该措施，我们可以用定义

了带有追索条件的随机规划来替代（2.6）的模糊随机规划。令：

4G）：=卜i=180+。，4g）:=2=162+*,

a（，）:=7r（rawl,prodl）=2+认邛也）:=—（mw2,prodT）=3.4-fj2:

min｛2%“+3%，2+々［7月后+12%用］｝

<100,

+加通+必仁）之九后,

+/©）%2+%（钉之〃2①，

(2.10)

Xraw\20,

^raw2>0,

MG）>0,

%（¥）>0.

在（2.10）中心代表有关分布三的期望值，一般理解为随机约束

不得不保持几乎确定（holdalmostsurely/as）（即，满足概率为Do

注意：假如8有一种有限的离散日勺分布｛&',pi）,/=1,..,心pi>0V0那么

（2.10）就是一种一般口勺线性规划，称为偶分解构造：

min{2%‘+3uk="7),后')+12%©)]}

S.f.X孙1+Xraw2<100,

戊6)%I+612+必6)24(URi,

3丁山+£©）。,，2+%©）2为e'M,

Xraw\>0,

Xraw2>0,

)"j>ovz,

力㊂）>OVz.

（2.11）

根据京，•实现值日勺数量，该线性规划也许在规模会上变得（非常）

大，不过其特殊模块构造服从于特殊设计R勺算法°

更深入来分析我们提炼厂问题，我们首先假设需求量似引力=1,2,

时值是随机变化H勺，不过，生产率是固定口勺。即图3所阐明的情形。

尽管这是一种小H勺理想化日勺问题，但假如我们将其作为非线性规划问

题，在数值求解上会产生困难。由于，在目的函数中的期望值H勺估计,

规定满足：

•多元数值积分；

•函数尔。）（这些函数对一种固定的I-三中每一种也许的实现

值4都会产生一种（2.10）问题的最优解）隐含的定义，这两

项工作都是相称麻烦的。为了防止这些困难，我们将试着用

离散的分布来近似替代正态分布。为到达这个目的，我们做

一下工作：

•产生一种大的样本73〃=l,2,...,K,i=l,2,限制在（2.5）中日勺99%

的I区间内，样本大小K=10000；

•将99%的区间，选择等间距，分割成力=1,2个子区间(例如,

q=弓=15);

•计算每一种子区间/2=1小i=1,2中样本值"w勺算术平

均值乔\对儿中给定的彳,，产生一种条件期望(值)的估计。

■计算每一种子区间几中疗£//勺相对频数外(即

k,是I,中包括的样本值疗的数量)。这就对匕e/“｝的概率产

生了一种估计。

这个离散分布｛©「,pQ/=1,=12是用来近似等于给定的正

态分布。图6分别给出了这些离散分布对于N(()12)和N(0,9)有15个实

现值欧I状况。

%

-15

•o。・

■12

.oo・

9・~M(0.12)

•。0•。〜X(0,9)

一6。.

•O

•0■■30・

•。o•

•0O•

-------1-------1-------1-------1-------1---------------1-----1-------1---------1----1--------H-

-30-25-20-15-10-5051015202530

图6分别服从N(0,12)和N(0,9)的离散分布；(不々)=。5,15).

显然，这些分别具有15个实现值的离散分布仅能粗略的近似对

应的正态分布。因比，同这些离散分布所产生特殊事件FI勺迫近概率，

也也许会引起明显内离散错误。在下面的数值算例中，这种错误就会

变得很明显。

使用这些后者内分布(每个分布有15个实现值)时，刻于联合

分布，就会有6=225个实现值，从而在我们口勺分解问题中就会有225

个模块。由此产生，线性规划(2.11)(/(.)为(2.11)日勺总目日勺，

力。)=2%i+3xmw2)的I最优解为:

工=区，&)=(38.539,20.539),7(工)=14().747,(2.12)

对应，第一阶段的费用：为⑺=138.694.

对任意的产品计划X,我们定义「(1)为经验上的可靠性(即从概

率角度讲是可行中J)。对于近似的离散分布，我们找到其解XW、J经验

可靠性为：

夕⑴=0.9541,

尽管使用我们最初的线性规划解£=(36,18)会产生总的期望费用：

7(x)=199.390

且其经验可靠性为：p(x)=0.3188,

这个值，与理论值0.25比较而言，显然被高估了。同步指出，

我们在这里仅仅为理解释阐明而使用的原始离散化措施，已经通过选

择一种更好的或更合适的离散化措施而得到了完善。考虑到，伴随离

散分布维护规模H勺增长，数值工作量也大幅度增长。只有通过寻找一

种更合适的措施来决定该分区日勺间隔距离。

目前，我们考虑随机性在生产率中的影响。我们假设，4宿,”1,2,

是固定等于其期望值，且两个生产率阳钉和以孑)根据(2.3)和(2.4)

的分布而变化。我们再一次约束两个给定的分布，将服从于均匀分布

和指数分布的两个分布的子区间内实现值分别限制为15和18个，在

(2.11)中就产生了15x18=270个分块。对带有追索(2.11)的成果随

即规划问题，可以作为一种一般的线性规划问题来求解。我们得到解:

x=(37.566,22.141),/(J)=144.179,/,(x)=141.556,

尽管，我们最初的线性规划问题(2.1)的解，也许被作为总的

期望费用：

7(x)=204.561.

对于可靠性，我们得：p(x)=0.9497,

相对应对于解左=(36,18),有可靠性：夕⑶=0.2983.

最终,我们考虑最一般的状况，。(旬,伏¥),%6)也6)随机变化。

运用上面相似的措施，分别用5、9、7、n个点的