随机过程知识点总结

知识点总结

第1章概率论基础

1.1概论空间

随机试验，它是指其结果不能事先确定且在相同条件下可以重复进行的试验。

.其中，一个试验所有可能出现的结果的全体称为随机试验的样本空间,记为，

试验的一个结果称为样本点，记为，即.样本空间的某个子集称为随机事件，简称事

件.

定义1.1.1设样本空间，/是的某些子集构成的集合，如果：

(1)QG药

(2)若/,则/

(3)若/,则/

那么称为/一事件域，也称/为域.

(1)显然，如果/是一事件域，那么

2设是样本空间，/是一事件域，定义在/上的实值函数如果满足:

⑶若〃=…，且)=12…，则

p(Lk)=£p(4)

/v=1zi-1

那么称P是二元组(/)上的概率，称P(A)为事件A的概率，称三元组为概率空

间。

关于事件的概率具有如下性质：

(1)尸(0)=0；.

(2)若A“Ee*,i=1,2，…，〃，AiAj=(/)J^j,i,/=l,2,--«,n,则

p(0a)=fp(Aj

r-1/=1

(3)若ABw6*(=8,则P(B—A)=P(B)—P(A)

(4)若A，AU8JU」P(A)<P(8)；

(5)若Aw叱，则尸(A)«l;

(6)若Aw方，则尸口)=1-P(A);

⑺若A,w6,〃=l,2,…，则

P(UAӣP(4)

W=l/l=l

(8)若,i=l,2,…，几则

^UA)=Zm)-zQ(4A)+2尸(444)一…+(-1产尸(44..4)

r=li=l1MM"lSi<j<k£n

一列事件/称为单调递增的事件列，如果一列事件/称为单调递减的事件列，如

果.

定理1.1.1设儿£年，〃=1,2「一

(1)若是单调递增的事件列，则

(2)若是单调递减的事件列，则

吧P(A〃)二彳注

定义1.1.3.设/为一概率空间，/.且则称

P(8|A)=P(AB)

P(A)

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.

不难验证，条件概率符合定义LL2中的三个条件，即

(1)VBGP(B|A)>0；

(2)尸(Q|A)=1;

(3)设纥wA,〃=1,2,…，gq=0/W=l,2,…，则

P(LklA)=£p(4|A)

n=lw=l

定.1.1.2.设（是一概率空间，有：

（1）（乘法公式）若/,且，则

P（A4..4）=P（A）P（&IA）

（2）（全概率公式）设,gwb,尸（即>0,i=l,2,…，且

B凡=内/j,A）,=1,2，…,|JBQA,贝IJ

P（4）=ZP（g）P⑷即

Z=1

（3）（贝叶斯（Bayes）公式）且〃,且则

fp（Bj）RAlBj）

J=I

定义LI.4设（为一概率空间，如果对于任意的及任意的有

p（44••・&）=P（4）P（A〃>•/（4）

则称A，A2,…,4相互独立。

定理1.1.3设/相互独立，则A与，与B,与也是相互独立的，从而A所生

成的域/中的任意一个事件和B所生成的域/中的任意一个事件都相互独立（这时我

们称这两个域/和/是相互独立的）.

定理1.1.4设/相互独立，则

（1）力与宽相互独立；

（2）力与BUC相互独立；

（3）力与8—C相互独立；

（4）A所生成的。域中的任一事件B和C所生成的。域

A8C={BEC,C,BC,BC,CB,BCACBuBC）,（BCUBC）,

BUG反11。,耳11己41）口。.。}中的任意一个事件都相互独立.

推论1.1.1设/相互独立，将任意分为两组，则它们各自生成的域仍然

相互独立.

定理1.1.5设/相互独立，将任意分成组，并对各组中的事件施以积，和、逆

运算以后，所得到的事件也相互独立.从而这m组事件各自所生成的域也是相互

独立的.

定理1.1.5推论：（1）若相互独立，则也相互独立，从而有

fnn

pUA=>pUa

\*=i

二1-峭）p（W）...p（4）

（2）一列独立事件中的任何一部分事件也相互独立.

（3）若一列事件相互独立，则将其中任一部分改写为对立事件，所得到的事件列也

相互独立.

1.2随机变量及其分布

定义L2.1设/为一概率空间，定义在上的实函数，如果，/,

则称X是/的随机变量.祢

F（x）=P（X<x）,-oo<x<+oo

为随机变量4的分布函数.

在实际应用中，常见的随机变量有两种类型：离散型随机变量和连续型随机变

量.

若随机变量X的可能取值为有限个或可列无限个，则称X为离散型随机变量.离散型

随见变量X的分布可用分布律来描述，即

P（X=x;）=Pj,i=1,2,…

这时才的分布函数为

七Wx

设随机变量X的分布函数为，如果存在非负可积函数，使得

产（工）=Lf⑴dt,XGR

则称X为连续型随机变量，称为连续型随机变量X的概率密度函数.

定义1.2.2设（为一概率空间，定义在上的n元实函数，如果，/,则称

（XPX2,---,XJ为〃维随机变量或〃维随机向量.称

F（x）=F（x^x2,-^xn）=I\Xx<xpX2<x2,­•,%„<xn）x=（X1,X2,…，x〃）wR"

为1的联合分布函数.

（1）设X是n维随机变量，则不难证明X的联合分布函数具有下列性质：

（2）尸（为,孙…,5）对任一乙（，=1,2,）是单调不减函数；

（3）/（小］2,…,x”）对任一七"=1,2,…,〃）是右连续函数：

（3）,,；

（4）设，则

n

?（如必,…‘y”）N"如%，…，坨，”"“）

1=1

+Z/（M，刈，…，％，%，％”…，匕-”今%1，…，”）

-…+（-1）"尸（XL，…，乙）之0

类似于一维随机变量，可以证明，对于给定的n元函数若满足上面的性

质（1）、（2）、（3）、（4）,则必存在概率空间（及其上的n维随机变量X,使得X以

为其联合分布函数.

定义1.2.3设是一n维随机变量，其联合分布函数和边缘分布函数分别

为，，如果对于任意的，有

F一,电，…—）=Fx、Ui）产治（S）…尸（乙）.

则称随机变量X1,X2,…,X”相互独立.

定理1.2.1设连续驾n维随机变量的联合概率密度函数为，n元函数，，满足:

（1）存在唯一的反函数，即方程组

升即电，…，/）=一

%（为，兀2,…，%）=%

”（牛电，…，%）="

（2）存在唯一的实数解，；

及，都是连续的；

（3）,存在且连续，令

d（M，%，,•』）

则n维随机变量，，的联合概率密度函数为

一（必，力，…）=£«（几必，…，”），/（儿必，…，”），…,Z（K，）’2,…，”））1〃

1.3随机变量的数字特征

定义1.3.1设是定义在上的两个有界函数，是区间上的任一划分，，，在每一个

子区间上任意取一点作和式

S=£/（&）［以次）-以/_。］.

£=1

如果极限

叫s=!叫Z/©)[g5)-g(5)〕

A->0A->0*Jt"=7l

存在且与的分法和的取法都无关，则称此极限为函数对函数在区间上的

Stieltjes积分，简称S积分，记为.此时也称对在上S可积.

定义1.3.2设是定义在上的两个函数，若在任意有限区间上，在上S可积，且极

限

lim『fMdg(x)

"T-XJU

存在，则称此极限为在无穷区间上的Stieltjes积分，简称S积分，记为.

定义1.3.3设函数定义在上，若积分

|e''dg(x)=JcosArdg(x)+〃sinAvdg(x)

存在，则称此积分为的Fourier-Stieljes积分，简称F-S积分.

定义L3.4设X是一个随机变量，是其分布函数，若，则称为随机变量X的

数学期望或均值.

若X是离散型随机变量，其分布律为

P(X")=Pj,i=l,2,…

则EX=£XR

i

若X是连续型随机变量，其概率密度函数为，则

EX=jxf(x)dx

定理1.3.1设X是一随机变量，其分布函数为，是连续函数，如果存

在，则

EY=E[g(X)]=rg(x)dF(x)

定理1.3.2设是n维随机变量，其联合分布函数为，是连续函数，如果存

在，则

E[g(XpX2,..sXrt“匚匚…匚g(3,工2，一.，工”)“产(王，工2，・••，•7)

定义1.3.5设X是随机变量，若，则称

DX^-E(X-EX)2

为随机变量方的方差.

定义1.3.6设X,Y是随机变量，若，，则称

cov(X,y)=£[(X-EX)(Y-EY)]

为随机变量X,Y的协方差.若，则称

"cov(x,y)

PXY~/DX/DY

为随机变量X,Y的相关系数.若，则称X,Y不相关.

定理1.3.3设X是随机变量，则的充要条件是(C是常数).

定义1.3.7设是n维随机变量，则称

EX9(EXI，EX2,…,EX”)

为〃维随机变量丫=('1,X2，-、'“)的均值向量.称

covCXpX])cov(X1，X2)…cov(X),XJ

Ddefcov(X2，XJcov(X2,X2)…cov(X2,XJ

_cov(Xn,X,)cov(X,„X2)…cov(X,„XJ_

为〃维随机变量X=(X「X2,…,X“)的协方差矩阵.

定理1.3.4设B是n维随机变量的协方差矩阵，则B是非负定矩阵.

1.4随机变量的特征函数

定义1.5.1设/是一概率空间，X,Y都是(的实值随机变量，则称为复随机变

量

复随机变量Z是取复数值的随机变量，它的数学

期望定义为

EZ=EX+iEY

若X是实值随机变量，则二应是复随机变量.

定义1.5.2设X是实随机变量，其分布函数为F(x),则称

=E[e"x1=Jd"dF(x),-co<t<+00

为随机变量X的特征函数.

随机变量的特征函数例。具有下列7条性质.

(1)|浓)区M0)=1.

(2)e(f)=8(T),其中8(f)表示9(。的共七.

(3)设随机变量，其中a,b是常数,

则

其中，分别表示随机变量X,Y的特征函数.

(4)9(。在(-8,+8)上一致连续.

(5)设随机变量X,Y相互独立，又，则

此式表明两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于各自特征函数的乘积.

(6)是非负定的，即对于任意正整数n,任意复数和

任意实数，有

ZZ*,-4)抽2。

/=1hl

(7)设随机变量X的n阶原点矩存在，则存在阶导数，且

(p{k)(O)=ikEX\k<n

定理1.5.1随机变量):的布函数为F(x),特征函数为，

则对F(x)的连续点有

1-c-g

F(x,)-F(x)=lim[----：----(p(t)dt

}T一22乃J"It

定理1.5.2随机变量X的布函数为尸(x)被它的特征函数为例。唯一地确定.

定理1.5.3(Bochner-khintchine定理)设满足，且在上是连续的复值

函数，则是特征函数的充要条件为它是非负定的.

定义L5.3设是n维随机变量，其联合分布函数为，则称

。。)二。(乙,f2，…，，〃)=司*'】=E[exp(1*tkXk)]

k=\

=JL匚…JIeXPtJ(ZI+,•,+,•••,XJ,

1=(八冉，…Jn)wR"

为n维随机变量X的特征函数.

1.5n维正态随机变量

定义1.6.1设是n维随机变量，如果其联合概率密度函数为

/(x)=/(xpx2,---,x,r)

=Wi5Fexpl4(x^)Bd-门

其中

X=(X],X2/'X“),J1=3—，…，4)”—，砒2,…，EX”)

cov(X1,X)cov(XpX2)…cov(X,,Xn)-

cov(X,,X])cov(X2,XJ…cov(X,,X”)

B=:-.

_cov(X“,X1)cov(X,J,X2)…cov(X〃,X“)_

则称服从为均值向量、B为协方差矩阵的n维正态分布，记为

定理1.6.1设，则存在n阶正交矩阵A,使得

Y-匕)=(X-N)A，

是n维独立随机变量，即相互独立，且其中是B的特征值，

定理1.6.2设，则X的特征函数

Tr

^(t)=^(/,,/2,•••,/„)=exp®t--tBt)

定理1.6.3设X={XPX2<--,XJ~^(M，B)

若是常数，则服从一维正态分布

N(f/,//,,Jt/z/,cov(X,.,XJ)

A=lr=lA=l

其中，…EXk，k=1,2,…

若欣n,则X的m个分量构成的m维随机变量服从m维正态分布，其中

口二(必，外，…，M”)

ccv(X],X])cov(X],X2)…cov(XpXwl)

cov(X2,X2)•••COV(X2,X/H)

ccv(X”,,X|)cov(Xw,X2)cov(Xw,Xm)

若m维随机变量Y是X的线性变换，即Y二XC,其中C是阶矩阵，则Y服从m

维正态分布；

(4)X「X”…,X”相互独立的充要条件是X1,X“两两不相关.

1.6条件数学期望

定义1.6.1设是离散型二维随机变量，其联合分布律为

如果尸(丫=刀)也匕＞0,则称

弓产P(X=”=%)吟，i=l,2,…

为(xn关于1在丫=的条件下的条件分布律

如果P(X=xp">0,则称

Pfli^P(Y=y.\X=xi)=^,7=1,2,...

为(以D关于J，在X=%的条件下的条件分布律.

定义1.6.2给定y,设对于任意固定正数，，且若对于任意实数x,极限

存在，则称此极限为关于X在条件下的条件分布函数，记为或.

定义L6.3设是二维随机变量，，分别是X和Y的条件分布函数，则称

E(X|)，卢匚祖/汨⑴)，)

为¥在条件Y=y下的条件数学期望.称

矶“外也匚"当x3幻

为？在条件X=x下的条件数学期望.

定义1.6.4设是n维随机变量，

为的条件分布函数，则称

E(X]Xj,X2,•,•,七_],,•••,)

xdFxjXi.…,x,_1-,xfl(xIX，一,，x-,耳+i,,.,,x”)

为Xj在条件X=%…,x"="I,Xi+l=x/+1，…,X”=/下的条件数学期望.

定理1.6.1E(E(Xt|X1,…,XI，XR,…,X”))=EX,

定理1.6.2设相互独立，则

定理1.6.3设是n维随机变量，是连续函数，则

=g(X1,…，XI，XR,…，X〃)E(XJXc・・，Xi，Xj+c、X“)

定理1.6.4设是n维随机变量，，则

E（E（X”|X|,…,X”T）|X°...X,）=E（Xn|XP--,X,）

1.7随机变量序列的收敛性

定义1.7.1对于分布函数列，如果存在一个非降函数，使

lim居（%）=——）

在的每一连续点上都成立，则称弱收敛于，并记为.

定理1.7.1（连续性定理）（1）设分布函数列弱收于某一个分布函数，则相

应的特征函数列收敛于特征函数，且在的任一有限区间内收敛是一致的.

（2）设特征函数列收敛于某一函数，且在二0处连续，则相应的分布函数列弱

收于某一个分布函数，而且是的特征函数.

定义1.7.2（依分布收敛）设随机变量，X的分布函数分别为及，如果，则

称依分布收敛X,并记为.

定义1.7.3（依概率收敛）如果对于任意^>0.lunP（|X,;-X|>^）=0.

则称依概率收敛，并记为或.

定理1.7.2若，则，但反之不然.

定义1.7.4（阶收敛）设对随机变量及有，其中r>0为常数，如

果

lim£|X„-X|r=0

n->x

则称｛｝阶收敛于，并记为.

定理1.7.3设r>0,若，则.

定义1.7.5（儿乎处处收敛）如果

P（limX=X）=]

"TOCH

则称。几乎处处收敛于，又称｛｝以概率1收敛于，并记为.

定埋1.7.4若，则.

定理1.7.5（Bernoulli大数定律）设表示在n重Bemoulli试验中事件A出现

的次数，而p表示每次试验中事件A出现的概率，则对于任意的，有

limPQ区-川2£）=0

定理1.7.6（Chebyshev大数定律）设是两两不相关的随机变量序列，每一处随机

变量都有有限方差，并且它们有公共的上界，即存在则对于任

意的，有

limP（|-XX「眩EXk\>e）=0

〃Alng

定理1.7.7（Khintchine大数定律）设是相互独立同分

布的随机变量序列，且有有限的数学期望，则对于任意的，有

蚂憔X*-TT°

定理L7.8（Markov大数定律）设是随机变量序列，且，则对于任意的，有

定理1.7.9（Borel大数定律）设表示在n重Bernoulli试验中事件A出现的

次数，而p表示每次试验中事件A出现的概率，则

P\lim区=p]=1

n）

定理1.7.10（Kolmogorov大数定律）设是相互独立的随机变量序列，且，则

彳㈣（X《—EXJ=0=1

定理1.7.11（Kolmogorov定理）设是相互独立同分布的随机变量序列，则

〃

-1X

〃A=1

的充要条件是EX人存在且等于//.

马尔可夫不等式没X是随机变量，若，则称为随机变量的r阶矩，设随机变

量X的r阶矩存在，则，

第2章随机过程的基本概念

2.1随机过程的定义

.定...1..设・，/,.）是一个概

率空间.T是一个实的参数集，定义在

和T上的二元函数如果对于任意固定.

是.，/,.）上的随机变量，则称｛）

为该概率空间上的随机过程，简记为

｛｝..

易见，对固定是一个随机变量.

定.2.L.设｛｝是随机过程，则当t固定时是一个随机变量，称之为｛｝在1时刻的

状态.随机变量固定所有可能的取值构成的集合，商为随机过程的状态空间，记为

S.

定.2.1..设｛｝是随机过程，则当固定时，是定义在T上不具有随机性的普通函数,

记为x(t).称为随机过程的一个样本函数.其图像称为随机过程的一条样本曲线(轨

道或实现).

272随机过程的分类和举例

随机过程可以根据参数集7和状态空间S是离散集还是连续集分为四大类.

1、离散参数、离散状态的随机过程

2、这类过程的特点是参数集是离散的，同时固定是离散性随机变量即其取值

也是离散的.

3、离散参数、连续状态的随机过程

这类过程的特点是参数集是离散的，对于固定的是连续型随机变量.

3.连续参数、离散状态的随机过程

4、这类过程的特点是参数集是连续的，而对于固定的是离散变量.

5、连续参数、连续状态的随机过程

这类过程的特点是参数集是连续的，而对于固定的是连续性随机变量.

2.3随机过程的有限维分布函数族

定义2.3.1设｛X"),/eT]是一随机过程,对于任意固定的，eT,X(t)是一随机

变量,称

F(/;x)=P(X(/)<x),xeRjeT;

为随机过程(x(f),/cr｝的一维分布函数；对于任意固定的

iwT,X(G，X《)是两个随机变量,称

=P(X(ti)<x^X(t2)<x2)tx],x2eReT

为随机过程的二维分布函数;一般地,对于任意固定的是n个随机变量，称

/解，/2，・一，乙；为，工2，一・，%〃)

=P(X(r1)<x1,X(r2)<x2,---,X(r„)<xJ

xiG/?,GT,/=1,2,…,〃

为随机过程（X（，）〃£T｝的"维分布函数.

定.2.3....是一随机过程，其一维分布函数，二维分布函数，.维分布函

数，.的全体

｛1（0小…，％为，⑥…，%），芍€R，hQT,

i=1,2,…几〃£N}

称为随机过程｛X«）"wT｝的有限维分布函数族.

容易看出，随机过程的有限分布函数族具有对称性和相容性.

定义2.3.3设是一个随机过程，对于任意固定的是n个随机变量，称

=Eexp［；（H,X（/,）4-4X。2）+…+

=I…Jexp［i（/x+〃2々+…+

+5）］］尸@出,乙）

%wR,qwT,i=1,2,…,n,i=4-\

为随机过.的n维特征函数.称

中二34"2,…"“；/必,…0R,iii=l,2,…neN｝

为随机时程乃的有限维特征函数族.

2.4随机过程的数字特征

随机变量的主要数字特征是数学期望、方差、协方差等.

1、设是一随机过程，是一个随机变量，如果存在，记为则称为的均值函

数.

2、设是一随机过程，是一随机变量，如果的方差存在，记为，则称为的方

差函数.

3、设是一随机过程，是两个随机变量，如果存在，记为则称为的协方

差函数.

4、设是一随机过程，是两个随机变量，如果］存在，记为，则称，为的

相关函数.

设是一随机过程，是一随机变量，如果存在，记为，则称，为的均方值函数

2.5两个随机过程的联合分布和数字特征

定义2.5.1设和是两个随机过程，称为二维随机过程.

定义2.5.2对于任意

m＞\,n＞1,GT,fi/2,•••,/«eT,

（X（G，x«2）,…,x&）,y«；）,y（a）,…,y（E））

是ni+n维随机变量，

称/7（乙/2，...，（“；西，了2，一.，%,；＞，r2,•••/”；X，）‘2，・一，y”）

=P（X（tx）＜xxyX（t2）＜x1,^^X（tm）＜xmi

y（r；）＜y,,r（r2）＜y2,•••,r（r,）＜x,）

XjGR,yeR、£T,i=1,2,…,mJ=1,2,…,〃

为二维随机过程｛（XQ）,y（f））〃wr｝的初+n维分布函数.

定义2.5.3称心。|/2,…，*；为，々，…，/），耳（八"2,…，乙;凹,必，…，）'〃）分别

为二维随机过程｛（XQ）,yQ）），wT｝关于随机过程（XQ）,，wT｝和口0）/£乃的m维

边缘分布函数和〃维边缘分布函数.

定义2.5.4设是二维随机过程，是两个随机变量，如果存在，记为则称,

为的互相关函数.如果存在，记为则称为的互协方差函数.

定义2.5.5设和是两个随机过程，如果=0或=,则称和不相关.

定理.2.5.1设和相互独立，则和不相关.

2.6复随机过程

定义2.6.1设和是在同一概率空间上的两个实随机过程，令则称为复随机

方程.

定义2.6...设为复随机过程.称，为的均值函数，称为的方差函数...

Cz（s"）=cov（Z（5）,Z⑺）=E［（Z（5）-wz（y））（Z（r）-/nz（0）］,s,twT,

.的协方差函数.称为的相关函数.称，为的协均方值差函数.

定义2.6.3设和是两个复随机过程，称

,为

和的互协方差函数，称

氏44（5,力=臼Z［（s）Z2（/）l,sjwT

为｛Z«）,reT｝和｛Z2，），小7｝的互相关函数.

2.7几类重要的随机过程

定义2.7..如果随机过.的一、二阶矩存在有限，则称是二阶矩过程.从二阶矩

过程的均值函数和相关函数出发来讨论随机过程的性质，而不涉及它的有限维分布,

这种理论称为随机过程的相关理论.

(1)定理2.7.1没是二阶矩过程，则相关函数具有下列性质：

共捉对称性：

RX(S")=RX«，S)，s.teT

(2)非负定性：即对于任意任意利任意的复数有

ZZ&&,乙)44n。

hl/=1

定义2.7.2设是一随机过程，如果对于任意任意，是n维正态随机变量，

则称为正态过程或高斯过程.

定义2.7.3设是一二阶矩过程，如果对于任意，有

—)-X(G)(Xa)-X(/3))]=0

则称｛X(r),北为为一正交增量过程.

定理2.7.2设是正交增量过程，且，则

(1)Rx(s")=①x(nMn(s")),sj£[。向

?

Cx(s,/)=Dx(rrdn($/))+1mx(inin(s,/))|-inx(s)mx(/),e[a,h]

(2)中X。)是单调不减函数.

定义2.7..设是一随机过程，如果对任意的和任意的，是相互独立的随机变

量，则称是独立增量过程.

定理2.7.3独立增量过程的有限维分布函数由其一维分布函数和增量分布

函数确定.

定义2.7.5称实随机过程｛W")J2O｝是参数为人的wiener过程，如果

(1)W(0)=0

(2)｛W(/)JN()｝是平稳独立增量过程.

(3)V0<5<rJV(r)-VV(5)~N(O,a2(t-s))

定理2.7.4设｛卬⑷J20｝是参数为人的眄ener过程，则

(1)Vr>0,WQ)~N(0,，f);

2

(2)mw(r)=0,f>0,Dw(/)=(Tr,/>0,

/?u.(5,r)=Cw"，f)=。？min(5.r),5,r>0

定义2.7.6称实随机过程｛Ng>0｝为计数过程，如果N⑺代表到时刻t所

发生的随机事件数.

定义2.7.7称计数过程｛N(f),ZN()｝是参数(强度、比率)为；1(4>0)的Poisson

过程，如果

(1)N(0)=0;

(2)｛NQ)JNO｝是平稳独立增量过程；

(3)V/>0,NQ)服从参数为/Lt的Poisson分布，即

p(N⑺=k)=e*k=0,1,2,…

(1)定理2.7.6设是参数为的Poisson过程，则

(2)/??iV(/)=A/,/>0；Dv(/)=/lr,/>0；CjV(5,/)=2niin(5,t\sj>0；

RJsQ=2：st+2min(s,f)

(3)DOWsv。NQ)—N(s)服从参数4"-s)的Poisson分布.

(1)定义2.7.8称计数过程是参数为的Poisson过程，如果：

(2)N(0)=0;

(2)｛N⑺12()｝是平稳独立增量过程；

(3)当充分小时，在(印+4)内出现事件一次的概率为44+0(4),即

P(N(t+A/)-N(t)=1)=必/+o(A/)

(4)当A/充分小时，在(/,/+△/)内出现事件二次或二次以上的概率为。(△/),

即

P(N*+Ar)-N⑺N2)=。(4)

定理2.7.8设｛NQ),年0｝是参数为义的Poisson过程，区，〃2,…｝是期

到达时间间隔序列，几…相互独立同服从参数4的指数分布.

定理2.7.9设｛N(/)"20｝是参数为义的Poisson分布，匕，〃=1,2,…｝是其

到达时间序列,如5=1,2,…)服从「分布,即却的概率密度函数为

所卜黑r>0

0,t<0

定义2.7.9设｛N⑺"之0｝是参数为;I的Poisson过程，｛匕，〃=1,2,…｝是相

互独立同分布的随机变量序列，且｛N(f)"N0｝和化，〃=1,2,…｝也相互独立，令

N⑴

XQ)=Z，，d0,则称｛X«)J2O｝为复合Poisson过程•

〃=|

定理2.7.11设｛XQ),f20｝是复合Poisson过程，则

(1)[X(t),t>Q]的一维特征函数为=,其中/(〃)是

工(〃=1,2,…)的特征函数；

(2)若EY：<+oo,则%(/)=々EY.,Dx(t)=MEY；.

第三章随机分析

3.1均方极限

1.定义

为了方便起见，我们称概率空间/,上具有二阶矩的随机变量为二阶矩变量,

其全体记为H.

设｛X”,〃=l,2,…｝uH,Xc”,如果

limE|X-X|2=0

则称=2,…｝均方收敛于%或称=2,…｝的均方极限为X,记为

l.i.mXn=X

〃一>8

2.性质

（1）定理3.1.2（均方极限的唯一性）若且，X在概率1下是唯一的.

定理3.1.3（均方极限的运算性）设，，且为常数，则

LLmCaXn+bYJ=aX+bY

limE\XmYn]=E\XY]

〃T8

（2）设｛X“,〃=l,2,…｝u”,Xw”,且/.i.〃zX”=X,则

〃一>00

limEXlt=EX=

222

limE\Xn\=E\X|=£l|/.z>?XJ；

limDXn=DX=Df/././wXJ；

〃一nf

（4）设且f（u）是一确定性函数，且满足李普西兹Lipschitz条件，即

|/（〃）-/（»）14M也川

（5）设且则对于任意有限的3

l.i.mei,x'=ei,x

〃一>00

从而lim/x3=（Px（l）.也就是｛X“,〃=1,2,…｝的特征函数序列收敛于X的特征

“TOOn

函数。

3.均方收敛的判定准则

（1）（Cauchy准则）设｛X“,〃=1,2,…｝u”,则｛尤｝均方收敛的充要条件是

2

lim£|X,n-X„|=0

n-Ko

（2）（Loevc准则或均方收敛准则）设｛X“,〃=l,2,…｝uH,则｛X”,〃=l,2,…｝均方收

敛的充要条件是

limE|X；XJ2=C

>x

n->oo

4.（均方大数定律）设是相互独立分布的随机变量序列，且，则

1n

lim-YX,=i/

5.连续参数的二阶矩过程均方极限

设是二阶矩过程，，如果

limE|X-X|2=0

则称当时，均方收敛于X,或称X为当时,，的均方极限，记为

fo

经推广后，连续参数的二阶矩过程均方极限的性质与二阶矩变量序列均方极限的性

质完全类似。

3.2均方连续

1.均方连续的定义

设是二阶加过程，，如果则称在处均方连续.若，在t处都均方连续，则称在T

上均方连续，或称是均方连续的.

2.均方连续的准则

(1)设是二阶矩过程，，是其相关函数，则在处均方连续的充要条件是在

处连续.

,(2)设是二阶矩过程，是其相关函数，则均方连续的充要条件是，在处连续.

(3)设是二阶矩过程，是其相关函数，则在整个上连续的充要条件是，在处

连续.

(4)设是均方连续的，则

lim=

limD(t)=D(/)

If0xx0

3.3均方导数

1.均方导数的定义

设是二阶矩过程，，如果均方极限

-X-)

&->()Ar

存在，则称此极限为在点的均方导数，记为或.这时称在处均方可导.

2.均方可导准则

(1)设是二阶矩过程，相关函数，则广义二阶可导的充分条件是关于s和t

的一阶偏导数存在，二阶混合偏导数存在且连续；广义二阶可导的必要条件是关于

S和t的一阶偏导数存在，二阶混合偏导数存在且相等。

(2)设是二阶矩过程，，则在均方可导的充要条件是在处广义二阶可导.

(3)设是二阶矩过程，则均方可导的充要条件是，在处广义二阶可导.

(4)设是二阶矩过程，，则

(a)在均方可导的充分条件是关于s和t的一阶偏导数在处存在，二阶混

合偏导数在处存在且连续；

(b)均方可导的充分条件是，关于s和t的一阶偏导数在处存在，二阶混合

偏导数在处存在且连续；

(c)在均方可导的必要条件是关于s和t在处一阶偏导数存在，二阶混合

偏导数在处存在且相等；

(d)均方可导的必要条件是，关于S和t在一阶偏导数存在，二阶混合偏导数

在处存在且相等.

(5)设二阶矩过程均方可导，则

(a)导数过程的均值函数等于原过程均值函数的导数，即；

(b)导数过程和原过程的互相关函数等于原过程的相关函数关于s的偏导数,

即=;

(c)原过程和导数过程的互相关函数等于原过程的相关函数关于t的偏导数,

即二；

(d)导数过程的相关函数等于原过程的相关函数的二阶混合偏导数，即二

(e)设二阶矩过程阶均方可导，则阶导数过程的均值函数等于原过程的均值

函数的阶导数，

3.均方导数的性质

(1)设二阶矩过程阶均方可导，则阶导数过程的均值函数等于原过程的均

值函数的阶导数，

即卬(0=reT

(3)设二阶矩过程均方可导，则其均方导数在概率1下是唯一的.

(4)设，则.

设二阶矩过程和都均方可导，a,b为任意常数，则也均方可导，且

3.4均方积分

1.均方积分的定义

(1)设是二阶矩过程，是上的普通函数，是区间的任一划分，，作和式，

如果均方极限存在，记为，且此极限不依赖于对的分法及的取法，则称在上均

方积分，记为，即

称m”)，〃£。｝为｛/0,〃/(/)/£[“勿)在口,回上的均方积分过程.

特别地，当时，在上的均方积分为一二阶矩变量，即

r=£X(r)dt

(2)设是二阶矩过程，是上的普通函数，如果，在上均方可积，且均方极限存在,

则称在上广义均方可积，称此极限为在上广义均方积分，记为，即

二类似地，有，

2.均方可积准则

设是二阶矩过程，是上的普通函数，在上的均方可积的充分条件是下列二重

积分存在：

££f(s,u)f(t,u)Rx(sj)dsdt

(2)设是二阶矩过程，是上的普通函数，则在上广义均方可积的充要条件是

下列广义二重积分存在：

fG,iOfQ/)Rx(s,t)dsdt

JfaJfa

3.均方积分的性质

若二阶矩过程在上的均方连续，则在上的均方可积。

若二阶矩过程在上的均方积分，则其均方积分在概率1下是唯一的。

(3)若二阶矩过程，在都的均方可积，则对于任意的常数在上也均方可

积，且

fb

Ja

cbfb

=aj+g(r,〃)y(。)力

(4)设二阶矩过程在上的均方可积，，则在和上也均方可积，且

£/a,〃)xa)d/=j：/(r,w)X(/)Jr+£/Q,〃)X")力

(5)设二重积分

存在，则均方积分过程｝的数字特征为

(a)均值函数：

(b)相关函数：RY(U,V)=£J：f(syu｝f｛t,v)/?Y(5,r)dsdi,u,vsU

(c)协方差函数：Cy(%v)=££f(s,u)f(t,v)Cx(5,/)dsdt,u,vwU

(d)方差函数：

(e)均方值函数：

(6)设二阶矩过程均方连续，则

£|rX(t)dt|2<(f[E|X(/)|2Fdt)2<(b-a)CE\X(t)\2dt

JaJuJa

<(b-a)2maxE|X(r)|2

«<t<b

4.均方不定积分

(1)定义

设二阶矩过程在上均方连续，令

K(r)=£X(s)ds、tG[a,b]

则称“⑺"G[以勿｝为｛X(r),rG[a,例｝在[a,b]上均方不定积分.

(2)设二阶矩过程在上均方连续，则其均方不定积分在上均方可导，且

(a)P(r(r)=X(r))=l

(b)mY(/)=jrnx(s)ds,te[a,b]

(c)Ry(s,t)=[fRx(w,v)dudv,s"e,[a,b]

J"'

设二阶矩过程在上均方可导，导数过程在上均方连续，则

rXf(s)ds=X(b)-X(a)

3.5均方随机微分方程

设二阶矩过程均方连续，a(t)是普通函数，是二阶矩变量，则一阶线性随机微

分方程

X，Q)+a(r)X(r)=y(r),r>/0

1X4)=X.

有解，其解为

X(r)=X(>exp(-ja(u)du)

，

£K(^)exp(-Ja(u)du)ds,t>t0

1.一阶线性随机微分方程的解的均值函数与相关函数为

mx(z)=(EXQ)exp(-Ja(u)du)

+j(.s)exp(-1r>0

2

Rx(5,/)=(FlXo|exp(-，a(u)du-fa(u)du)

+exp(-jE[X(>y(/?)]exp(-^a(u}diiyd/3

+exp(-jEfX()y(a)]exp(-Ja(u)dn)da

+jIRy(a,/?)exp(-Ja(u)du

-fa(u}du)dadp,s,t>t

J尸{}

3.一阶线性随机微分方程的解的均值函数与相关函数可通过解如下普通的微分

方程得到：

f叭。)+a(t)rnx(t)=mY(r),t>片

1吗40)=七*0

与

d——

—R(s,t)+a(s)R(.V,Z)=Ry(sj)

<dsyYXY_

Rxy&")=E[Xoy”)]

及

,e

—R(s,t)+a(t)R(sJ)=&y-J)

,csxx

Rx(s/o)=凯丽X。)]

3.6正态过程的随机分析

(a)1.维正态实随机变量序列的均方极限仍是维正态随机变量即若为

维正态实随机变量序列，，即，则为维正态随机变量。

(b)实正态随机变量序列的均方极限仍是正态随机变量，即若是正态随机

变量序列，，则是正态随机变量。

设为一族实正态随机变量，，若，则是正态随机变量.

设为一族维正态随机变量序列，，若，则为维正态随机变量。

2.设实正态过程均方可导，则其均方导数过程也是