复合函数A卷习题及详细答案

复合函数A卷习题及详细答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数f(x)=√(3-x)+ln(x+1)可以看作是由哪些函数复合而成？(A)u=√v,v=3-x(B)u=√v,v=3-x,w=x+1,t=w-1(C)u=lnv,v=√w,w=3-x(D)u=lnv,v=√w,w=x+12.函数f(x)=(2x+3)^(1/3)的定义域是：(A)(-∞,-3/2](B)(-∞,-3/2)∪(-3/2,+∞)(C)R(D)[-3/2,+∞)3.若函数f(u)=u^2+1，g(x)=x-1，则复合函数fog(x)的解析式为：(A)x^2-2x+2(B)x^2+2x+2(C)x^2-2x(D)x^2+2x4.函数h(x)=sin(x^2)+1的最小正周期是：(A)2π(B)π(C)√π(D)4π5.函数F(x)=e^(x^2-2x)的导数F'(x)等于：(A)e^(x^2-2x)*(2x-2)(B)e^(x^2-2x)*x^2(C)2e^(x^2-2x)(D)2x*e^(x^2-2x)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）6.函数f(x)=√(x-1)+√(3-x)的定义域是__________。7.若函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2+bx+c，且fog(1)=10，则b+c=__________。8.函数f(x)=cos(2x+π/3)的单调递增区间是__________（用集合表示，写出一个区间即可）。9.函数h(x)=ln(x^2-4x+3)的定义域是__________。10.已知函数f(x)=(x+1)^2-2，若g(x)是f(x)的反函数，则g'(0)=__________。三、解答题（本大题共4小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）11.(本小题满分15分)设函数f(x)=√(x+1)-√(x-1)，其中x≥1。(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在其定义域上是否单调，并给出证明。12.(本小题满分15分)计算不定积分∫(x^2+2x+1)/(x+1)dx。13.(本小题满分15分)设函数f(x)=x^3-3x^2+2。(1)求函数f(x)的导数f'(x)；(2)判断函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。14.(本小题满分15分)设函数g(x)=e^(f(x))，其中f(x)=x^2-2x+1。(1)求函数g(x)的解析式；(2)求函数g(x)的导数g'(x)；(3)判断函数g(x)在区间[0,2]上的单调性。试卷答案一、选择题1.B2.B3.A4.C5.A二、填空题6.[1,3]7.48.[-π/6+kπ,π/6+kπ](k∈Z)9.(-∞,1)∪(3,+∞)10.1三、解答题11.(1)解：由√(x+1)和√(x-1)的定义域分别为x+1≥0和x-1≥0，得x≥-1和x≥1。取交集，函数f(x)的定义域为[1,+∞)。(2)证明：设x1,x2∈[1,+∞)，且x1<x2。则f(x2)-f(x1)=√(x2+1)-√(x2-1)-(√(x1+1)-√(x1-1))=(√(x2+1)-√(x1+1))+(√(x1-1)-√(x2-1))=[(x2+1)-(x1+1)]/(√(x2+1)+√(x1+1))+[(x1-1)-(x2-1)]/(√(x1-1)+√(x2-1))=(x2-x1)/(√(x2+1)+√(x1+1))-(x2-x1)/(√(x1-1)+√(x2-1))=(x2-x1)*[1/(√(x2+1)+√(x1+1))-1/(√(x1-1)+√(x2-1))]由于x1,x2∈[1,+∞)，则x1+1>0,x2+1>0,x1-1≥0,x2-1≥0，故√(x2+1)+√(x1+1)>0,√(x1-1)+√(x2-1)>0。又因为x1<x2，所以x2-x1>0。而1/(√(x2+1)+√(x1+1))-1/(√(x1-1)+√(x2-1))<0（因为分母越大的分数越小）。因此，(x2-x1)*[1/(√(x2+1)+√(x1+1))-1/(√(x1-1)+√(x2-1))]<0。即f(x2)-f(x1)<0，所以f(x)在[1,+∞)上单调递减。12.解：∫(x^2+2x+1)/(x+1)dx=∫[(x+1)^2-2(x+1)+2]/(x+1)dx=∫[(x+1)^2/(x+1)-2(x+1)/(x+1)+2/(x+1)]dx=∫(x+1)dx-2∫dx+2∫1/(x+1)dx=∫xdx+∫dx-2∫dx+2∫1/(x+1)dx=(x^2/2)+x-2x+2ln|x+1|+C=x^2/2-x+2ln|x+1|+C其中C为任意常数。13.解：(1)f'(x)=d/dx(x^3-3x^2+2)=3x^2-6x(2)令f'(x)=0，得3x^2-6x=0，即x(x-2)=0，解得x1=0,x2=2。计算函数在端点和驻点的值：f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2f(0)=0^3-3(0)^2+2=2f(2)=2^3-3(2)^2+2=8-12+2=-2f(3)=3^3-3(3)^2+2=27-27+2=2比较可得，函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值是2，最小值是-2。14.解：(1)g(x)=e^(f(x))=e^(x^2-2x+1)=e^((x-1)^2)。(2)g'(x)=d/dx[e^((x-1)^2)]=e^((x-1)^2)*d/dx[(x-1)^2]=e^((x-1)^2)*2(x-1)=2(x-1)e^((x-1)^2)。(3)令g'(x)=0，得2(x-1)e^((x-1)^2)=0。由于e^((x-1)^2)>0，所以必须有x-1=0，解得x=1。当x∈[0,1)时，x-1<0，则g'(x)=2(x-1)e^((x-1