随机数的产生和检验

随机数的产生和检验

摘要

本文通过对常用的随机数的产生方法简单的分析和理论上的验证,

对比研究随机数的产生机理以及产生的随机数的好坏，并以此为依据提

出自己的一些改进方法,以便对随机模拟更好的利用。

关键词

随机数、随机数的产生随机数的检验

一、引言

随机数的产生方法的研究已经有较长的历史.至今仍有统计学者继

续研究随机数的产生的方法和理论.随机数的产生,最早的方法称为手工

方法.即采用抽签、掷骰子、抽牌、摇号或者从搅乱的罐子中取带数字

的球等方法，许多彩票的发行仍采用这种方法。

随着计算机和模拟方法的应用，计算机来产生随机数成为新的课

题。利用计算机产生随机数有两种方法，在计算机内输入随机数表和

把具有随机性质的物理过程变换为随机数，如粒子的辐射性，裂变等

等。后者得到的随机数均匀性和随机性都很好，而且取之不尽的，但

是缺点也明显，对计算的结果不能重复检验，这种物理随机数的产生

需要大量的人力物力去检查和维修，成本过高。而数学方法产生的随

机数得到了广泛的应用，虽然产生的随机数为伪随机的，正是因为它

的占用内存少、速度快、可重复性的优点。

〈统计计算〉论文

随机数的应用范围很广，对于随机数的均匀性，随机性，独立性

的检验也是不可缺少的，只有通过了检验的随机数才有更大的利用空

间。本文通过对几种常见的随机数的产生方法进行比较分析，总结其

优缺点，并提出一些改进方法。

二、产生随机数的几种常用方法

2.11线性同余法(LCG)

初值

线性同余法通过满足公式（2.1）产生随机序列，主要参数为a,c,M。

只有选择合适的参数才能得到随机数的周期接近或达到我们把

Mo

用公式产生的伪随机数产生方法称为方法

a=137zM=256,c=187（2.1）

T1（见附录1）（周期为256）。类似的，我们把

下

a=1103515245/65536/M=32768（LinuxM=2147483647],

312345/65536用公式（2.1）产生的伪随机数称为方法M0（见附录

2）,它就是我们通常所使用的标准库函数rand。

2.12素数模乘同余法

素数模乘同余法通过满足公式（2.2）来产生随机序列。我们把

满足公式的伪随机数产生方法称为方法

a=23,M=108+l,（2.2）T2O

（见附录3）

2/15

2.13线性同余组合发生器（扩大周期法）

利用两个随机数产生器相结合扩大周期的方法。算法如下：

已知两个LCG。

1）用第一个LCG产生k个随机数，一般取k=128这k个数被顺序

地放在

矢量中。置。

2）用第二个LCG产生一个随机整数j,要求；

3）令，然后在用第一个LCG产生一个随机数y,置.

4）重复第二和第三步，得到随即数列，即为组合同余发生器产生的

数列。

若第一个LCG的模为M,令，则为均匀随机数列。

这里我们把上述产生伪随机数的方法称为方法D（见附录四）。

Gebhardt1976年证明了这种组合发生器具有随机性强,周期增大的性

质，当两个混合式发生器的周期都为时，组合同余发生器的周期达到了。

2.14对以上方法总结

M0是默认的使用得最多的产生伪随机数方法，一般在标准C库

中

就是使用这种方法，既然它可以被作为库函数使用，必有其独特

之处。我们把它作为基准系统来看待。

T1方法可以明显看出周期相比M0缩短了很多，从随机序列行为

上

明显有别与

M0o

T2方法使用了另外一种实现方法，但其周期比较大。

D方法是速度最慢的，它使用两个产生伪随机数方法相结合的方

法，

这两个产生伪随机数方法序列可由上面的产生伪随机数方法产生，

集合了上

〈统计计算〉论文

面几种产生伪随机数方法的特点。

2.2常用的统计性质检验

上面我们介绍了一些常用产生伪随机数的方法，并在宏观上明显

地指出它们是有差异的，那么在微观上如何描述一个随机序列的性质

呢？Knuth在其经典著作中，详细描述了14种统计检验、12种经验

检验以及多种理论检验及谱检验等，并且推断，产生伪随机数生成器

的好坏取决于特定的应用。本节将简单介绍几种那些最常用的统计检

验。

统计检验的一般方法：

首先假设总体具有某种统计特性，然后由样本值检验这个假设是

否可信，这种方法成为假设检验，或成为统计检验，具体的步骤如下：

。1提出假设：总体分布为，；

o2选取适当的统计量，其中为样本求出在成立时的分布；

o3给定显著性水平，确定检验法，即给出否定域：使

W=1;

o4由观测样本值来计算T值；

o5作统计推断，当TW时否定；当时，相容。

4/15

2.21参数检验

均匀随机数的参数检验是检验由某个发生器产生的随机数序列的

均值、方差或者各阶矩等与均匀分布的理论值是否有显著差异。

设是某个发生器长生的随机数，：样本的特征量与均匀总体的特

征量没有有显著差异。首先对特征量作统计检验。在是均匀总体的简

单随机样本的假设下，统计量

渐进服从N（O/l）e

对于在上一节中提到的四种方法，我们用Matlab输出每种方法的

随机数并做出相关的检验如下表（以U1为例）：

表1

方法U1显著性水平a拒绝域WP值说明

T1-0.32210.05{|uil>7.呢0.2758接受c

MO0.09210.05{Nil>1.960.9282接受C

T20.34790.05{|uil>7.%}0.7338接受c

D-0.92490.05{|uil>1.960.3576接受c

（此表中数据按照公式2.3为手工计算）

〈统计计算》论文

通过表中看出上述四种方法全部通过了检验，通过比较u1或者P

值可以给这四种方法按其优点从大到小排序：MO>Tl>D>T2o

其中M0是我们通常所使用的标准库函数rand，他是对线性乘同

余法中取到了合适的a和M,就可达到很好的效果。另外对于组合发

生器，他的有点在于大大增大了伪随机数的周期。

2.22均匀性检验

随机数的均匀性检验又称为频率检验，它用来检验由某个发生器

产生的随机数序列是否均匀地分布在［0,1］区间上。也就是是检验经验

频率与理论频率的差异是否显著。

设是某个发生器长生的随机数，假设：为均匀总体的简单样本。

将［0,1）区间分为m个小区间，以表示第i个小区间，设｛｝落入第i

个小区间的数目为。

根据均匀性假设，落入每个小区间的概率为，第i个小区的理论

频率为

统计量

()

渐进服从分布。给定显著性水平，差分布表得到临界值后，即可

对经验频率与理论频率的差异性做出显著性检验。

表2

显著性水

方法V拒绝域W临界值说明

平a

6/15

T10.180.050岛吁）16.919接受o

k4

•、

MO10.480.0516.919接受o

T26.240.05vEm（mT）16.919接受o

*、

D10.360.05VNxK）（m7）16.919接受0

(此表中数据计算方法见附录5)在均匀性检验中n=1000,对于

T1我们已经知道了其周期为256,故采用n=256来计算T1的统计量，

不可思议的很小(n=100,V=8.1)。通过Matlab计算的结果V,可

以比较V的大小来看出四种方法的优劣，其中V越小说明均匀性越好。

上述四种方法全部通过了检验，通过比较,T1,即线性同余的方法产

生的均匀性比较好，这也是取特殊的a,0M使得产生的随机数比较好。

2.23独立性检验

两个随机变量的相关系数反映他们之间线性相关程度，若两个随

机变量独立，则他们的相关系数比为零(反之不一定)，故可以利用

相关系数来检验随机数的独立性。

设是一组待检脸的随机数，假设：相关系数。考虑样本的j阶自

相关系数

()

当n-j充分大，且成立时，渐进服从N(0,1)分布；在实际检

验中常取。利用统计量可以进行相关性检验。

〈统计计算》论文

表3

显著性水j取15,拒

方法拒绝域W说明

平a绝的个数

T1—0.05(hl>1.峋0通过检验

MO0.05{hl>1•峋0通过检验

T20.05{hl>7•附0通过检验

D0.05{同>1.96]0通过检验

（此表中数据计算方法见附录6）在上表中只是简单通过j阶的相

关系数检验来说明这四种方法的独立性好坏。当然此方法有些简单，

但它直观的说明了这四种方法产生的随机数都有很好的独立性。

三、结束语

通过对上面常用的四种方法的分析和检验，特别是三种检验中，

不同的方法产生的随机数对于随机性、均匀性、独立性等等的统计性

质有一定的差别，这种方法或许它的随机性很好，但是均匀性或者独

立性却不太好；或许某种方法它的独立性很好，但是随机性却不算好。

所以呢，我们在使用这些方法产生随机数的时候，我们可以更具某个

具体问题它针对的是那个方面，对于某一方面比如随机性要求很高的

话，我们就选取产生随机数随机性强的来产生，而其他的方面我们可

以选取不同的方法来产生数据。

另外一方面，对于同一种方法选取的初值，模长，增量，倍数以

及产生随机

8/15

数的数目，这五个方面在选取适当的情况下，统计性质会得到很

好的体现，我们在T1和M0这两种方法的比较中很明显的看出来。所

以呢，我们在应用这些方法产生随机数的时候也要注意上述五个方面

的影响，在随机模拟的时候要充分发挥数学方法产生随机数的可重复

性，选取不同的合适的初值，模长等使得我们的随机模拟的精度精益

求精。

参考文献

本文的大部分公式，定理来源于北京大学出版社出版，高惠璇编

著的《统计计算》。

附录：

附录1

〈统计计算〉论文

T1方法的程序：functionr=Tl(xOzn)

r=zeros(n,l);

x=zeros(n,l);

M=256;

c=187;

a=137;

x(l)=a*xO+c;

r(l)=x(l)/M;

fori=2:n

y=a*x(i-l)+c;

x(i)=mod(yzM);

r(i)=x(i)/M;

end

附录2

MO方法的程序:functionr=MO(xO,n)M=32768;

a=1103515245/65536;x(l)=4*x0+1;

r(l)=x(l)/M;

10/15

fori=2:n

y=a*x(i-l);

x(i)=mod(y#M);

r(i)=x(i)/M;

end

附录3

T2方法的程序：

functionr=T2(xOzn)

formatlong;

M=power(10,8)+l;

a=23;

r=zeros(n,l);

x=zeros(n+5,l);

x(l)=xO;

fori=2:n+5

y=a*x(i-l);

x(i)=mod(yzM);

end

r=x(6:(n+5))/M;

formatshort;

附录4

组合发生器D方法的程序：functionx=zuhe(m)

〈统计计算〉论文

a=1103515245/65536;M=32768;

t(l)=12345/65536;

n=l;

fori=l:m

t(i+l)=mod(a*t(i),M);

r(i)=t(i)/M;

end

,

k=random('unifrl/mzl);j=floor(k);

x(D=r(j);

forn=2:m

,A

k=random(unif'/l/m/l);t(j)=mod(a*k2/M);

r(j)=t(j)/M;

j=floor(k);

x(n)=r(j);

end

附录5

卡方检验的程序: