人教版小学数学六年级下册《鸽巢问题》教学实录

人教版小学数学六年级下册《鸽巢问题》教学实录课前准备师：同学们，我们今天要学习的内容有点特别，它不像我们之前学过的计算那么直接，也不像图形那么直观，但它非常有趣，而且在生活中应用广泛。大家准备好了吗？（环视学生，微笑）请大家把课本翻到相应的页码，拿出你的笔和练习本，还有老师昨天让大家准备的几个小笔筒和一些铅笔，我们这节课要动手又动脑。教学过程一、创设情境，初步感知师：（神秘地）同学们，我先给大家表演一个小魔术，信不信？老师不用看，就能知道咱们班至少有两位同学的生日在同一个月份。（稍作停顿，观察学生反应）生：（有的窃窃私语，有的面露怀疑，有的点头）师：要不要验证一下？我们请几位同学报一下自己的生日月份。（随机点几位同学，如3月、5月、7月、3月）看，已经有两位同学都是3月份的了！如果再请几位同学报，是不是“至少”会有更多同月份的呢？（引导学生思考）生1：老师，我们班这么多人，肯定有的。师：“肯定有”？这个词用得很果断。这其中是不是蕴含着什么数学道理呢？今天，我们就来研究这类有趣的问题，我们把它叫做——鸽巢问题。（板书课题：鸽巢问题）看到这个课题，大家有什么想问的吗？生2：什么是鸽巢？生3：鸽巢问题是关于什么的？师：非常好的问题！“鸽巢”顾名思义，就是鸽子的巢穴。但在我们数学里，它代表的是一种数学模型。我们今天就从“鸽子”和“巢穴”入手，探索其中的奥秘。二、自主操作，探究新知（一）动手操作，发现规律师：我们先从最简单的情况开始研究。请看大屏幕（或实物演示）：把3支铅笔放进2个笔筒里，怎么放？有几种不同的放法？请大家拿出学具，动手摆一摆，并且把你的放法记录下来，可以用数字表示，也可以画图。（学生动手操作，教师巡视指导，关注学生的记录方式和思考过程）师：好，时间到。哪位同学愿意分享一下你的放法？生4：我是这样放的：第一个笔筒放1支，第二个笔筒放2支。师：嗯，这是一种。还有其他放法吗？生5：我把3支都放在第一个笔筒里，第二个笔筒不放。师：这也是一种。还有没有不同的？生6：还可以第一个笔筒不放，3支都放在第二个笔筒里。师：大家觉得这两种（指生5和生6的放法）是同一种还是不同种？生（齐）：不同种！因为笔筒不一样。师：对，我们这里考虑的是不同的笔筒，所以这是两种不同的放法。那么，我们把这几种放法整理一下：（板书：笔筒1|笔筒23|02|11|20|3）师：是不是只有这几种情况了？生：是的。师：观察这几种放法，它们有什么共同的特点？或者说，我们能不能从这些放法中找到一个肯定的结论？（引导学生观察，小组讨论）生7：不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。师：（眼神鼓励）“总有一个”是什么意思？“至少有2支”又是什么意思？生7：“总有一个”就是一定有一个，跑不掉的。“至少有2支”就是最少有2支，也可能比2支多。师：解释得非常清楚！大家同意他的说法吗？生（大部分）：同意！师：我们来看，第一种放法，笔筒1有3支，符合“至少有2支”；第二种，笔筒1有2支；第三种，笔筒2有2支；第四种，笔筒2有3支。确实，不管哪种放法，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。（板书：总有一个笔筒里至少有2支铅笔）（二）逐步深入，揭示规律师：刚才我们研究了3支铅笔放进2个笔筒的情况。现在，如果把4支铅笔放进3个笔筒里，会怎么样呢？请大家猜想一下，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有几支铅笔？生8：2支！生9：我觉得是2支。师：大家都这么认为吗？那我们要不要验证一下？还是用刚才的方法，动手摆一摆，或者直接思考，看看能不能不用一一列举也能得出结论。（学生活动，教师巡视，引导学生思考更快捷的方法）师：好，谁来说说你的结论和理由？生10：我用了列举法，有4,0,0；3,1,0；2,2,0；2,1,1这几种放法。每种放法中，都能找到一个笔筒里至少有2支铅笔。师：非常好，列举得很完整。有没有同学没有一一列举，也能得出结论的？生11：我是这样想的：先把每个笔筒里都放1支，这样就放了3支，还剩下1支。剩下的这1支不管放到哪个笔筒里，那个笔筒里就有2支了。所以，总有一个笔筒里至少有2支。师：（惊喜）哇！这个思路太棒了！大家听懂了吗？（稍作停顿）他把这种方法叫做“平均分”，先尽量让每个笔筒里的铅笔数量一样多，或者说，让它们“最不挤”，在这种情况下，如果还有剩余，那么剩余的铅笔不管放到哪个笔筒，都会使得那个笔筒里的数量增加。这种“平均分”的思想，是解决这类问题的关键！（板书：平均分）师：我们用算式来表示一下这种思路：4支铅笔放进3个笔筒，4÷3=1（支）……1（支）。商1表示每个笔筒先平均分到1支，余数1表示还剩下1支，这1支不管放到哪个笔筒，都会使得那个笔筒有1+1=2（支）。（板书：4÷3=1……1，至少1+1=2）师：那如果把5支铅笔放进4个笔筒里，总有一个笔筒里至少有几支铅笔？用这种“平均分”的思路，怎么想？生12：5÷4=1……1，至少1+1=2支。师：非常快！6支铅笔放进5个笔筒呢？生13：6÷5=1……1，至少2支。师：7支放进6个笔筒？生（齐）：至少2支！师：同学们，我们是不是发现了什么规律？当铅笔的数量比笔筒的数量多1的时候，总有一个笔筒里至少有……？生（齐）：2支！师：说得真好！那如果铅笔的数量比笔筒的数量多2，多3，甚至更多呢？比如，把7支铅笔放进3个笔筒里，总有一个笔筒里至少有几支铅笔？（学生思考，尝试用算式表示）生14：7÷3=2……1，至少2+1=3支。师：为什么是2+1而不是2+余数1呢？我们来验证一下。如果每个笔筒先放2支，3个笔筒一共放了6支，还剩1支。把这1支放进任何一个笔筒，那个笔筒就有3支了。所以至少是3支。如果余数是2呢？比如8支铅笔放进3个笔筒。生15：8÷3=2……2。每个笔筒先放2支，还剩2支。把这2支分别放进两个不同的笔筒，那么这两个笔筒就各有3支了。所以至少也是3支。师：哦？余数是2的时候，也是至少3支？不是2+2=4支吗？生15：不是的，因为剩下的2支可以分开放，不能都放进同一个笔筒，那样就不是“至少”了。我们要找的是“至少”有一个笔筒里有多少支，所以要尽量让它们分散。师：（点头赞许）太精彩了！也就是说，不管余数是多少，我们只需要看商，然后用商加1，就能得到“至少”的数量。（板书：至少数=商+1）这里的余数不管是1还是比1大，商都只加1。因为剩下的物体，即使再平均分，也只能保证至少有一个抽屉里再增加1个。师：那如果没有余数呢？比如6支铅笔放进3个笔筒，总有一个笔筒里至少有几支？生16：6÷3=2，没有余数。那就至少有2支。师：对！如果正好分完，那么“至少数”就是商。（完善板书：至少数=商+1(有余数时)，至少数=商(没有余数时)）（三）概括模型，理解“鸽巢原理”师：同学们，我们刚才研究的“铅笔”和“笔筒”，在数学上，有一个更一般的名称。我们把要分的物体，叫做“待分物体”，把用来分的“容器”，叫做“鸽巢”或者“抽屉”。所以，这类问题就叫做“鸽巢问题”或者“抽屉原理”。（板书：待分物体、鸽巢/抽屉）师：谁能用自己的话说说，什么是“鸽巢原理”？生17：就是把一些物体放进抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有多少个物体。师：结合我们刚才发现的规律，能不能说得更具体一些？生18：把n个物体放进m个抽屉里，如果n÷m=k……r，那么总有一个抽屉里至少有k+1个物体。如果没有余数，就是k个。师：非常准确！这就是“鸽巢原理”最基本的形式。（板书：物体数÷抽屉数=商……余数，至少数=商+1(r>0)，至少数=商(r=0)）三、巩固应用，解决问题师：我们学习了“鸽巢原理”，现在就要用它来解决实际问题。（课件出示题目1）1.5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了几只鸽子？为什么？师：这里的“鸽子”相当于什么？“鸽笼”相当于什么？生19：鸽子相当于物体，鸽笼相当于抽屉。师：很好，请大家独立完成。（学生解答，指名回答）生20：5÷3=1（只）……2（只），1+1=2（只）。答：总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。师：同意吗？为什么不是1+2=3只？生20：因为剩下的2只可以飞进不同的鸽笼，所以至少是2只。师：正确。（课件出示题目2）2.我校六年级共有学生若干名，至少有几名学生的生日是在同一个月？（引导学生思考：这里的“物体”和“抽屉”分别是什么？）生21：“物体”是学生，“抽屉”是一年的12个月。师：对！如果我们班有40名同学，那么40÷12=3（名）……4（名），3+1=4（名）。所以，我们班至少有4名同学的生日在同一个月。这就解释了我们课前老师的“小魔术”了，其实就是运用了鸽巢原理！（课件出示题目3）3.把7本书放进2个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进多少本书？如果是8本书呢？10本书呢？（学生独立完成，同桌互相检查）生22：7÷2=3……1，3+1=4。至少4本。生23：8÷2=4，没有余数，至少4本。生24：10÷2=5，至少5本。师：大家做得又快又对！看来大家已经掌握了方法。四、课堂总结，拓展延伸师：同学们，这节课我们一起研究了“鸽巢问题”，你有什么收获？生25：我知道了什么是鸽巢问题，就是把物体放进抽屉里，总有一个抽屉里至少有多少个。生26：我学会了用“平均分”的方法来解决鸽巢问题，用除法计算，商加1就是至少数。生27：我发现生活中很多地方都有鸽巢问题的影子，比如生日问题。师：同学们总结得都非常好。鸽巢原理看似简单，但它是组合数学中的一个重要原理，在解决实际问题中有着广泛的应用。它告诉我们，在一些看似杂乱无章的现象背后，往往隐藏着必然的规律。希望大家能带着今天学到的知识和思考方法，去发现生活中更多的数学奥秘！五、作业布置1.完成教材对应练习题。2.思考题：一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的球各若干个，最少要摸出多少个球，才能保证有2个球的颜色相同？（提示：把什么看作“抽屉”？）（下课铃响）师：好，今天的课