小学六年级数学（人教版）上册第四单元知识清单

小学六年级数学（人教版）上册第四单元知识清单一、核心概念建构：比的本质内涵【基础】★（一）从生活实例中抽象出“比”在数学王国里，我们常常需要比较两个数量之间的关系。过去，我们常用减法来比较两个数量的“相差关系”，比如“长比宽多5厘米”；也常用除法来比较两个数量的“倍数关系”，比如“长是宽的1.5倍”。今天，我们要学习一种新的、也是基于除法但表述更为精炼的数学概念——“比”。让我们回顾两个经典情境：1.同类量的比：2003年，“神舟”五号载人飞船顺利升空，杨利伟在飞船上展示了两面国旗。一面国旗长15cm，宽10cm。我们可以用除法“15÷10”表示长是宽的多少倍，也可以用“10÷15”表示宽是长的几分之几。除了用除法算式，我们还可以说成“长和宽的比是15比10”，或者“宽和长的比是10比15”。这里，长和宽是同一种量（长度单位都是cm），它们的比表示这两个量之间的倍数关系1。2.不同类量的比：“神舟”五号进入运行轨道后，平均90分钟绕地球一周，大约运行42252km。要求飞船平均每分钟飞行多少千米，我们用除法“42252÷90”。这个关系，我们也可以说成“路程和时间的比是42252比90”。这里，路程（千米）和时间（分钟）是两种不同类型的量，它们的比产生了一个新的量——速度1。【重要】★（二）比的意义的精确定义通过对以上两个例子的归纳，我们可以得出比的意义：两个数相除又叫做这两个数的比。这个定义是本章节的基石，它揭示了比的本质是一种除法关系，而非减法所代表的相差关系6。二、比的表征系统与量化方法【基础】★（一）比的读写与各部分名称1.符号与读法：表示两个数的比，我们使用符号“∶”（比号）。例如，“15比10”写作“15∶10”，读作“15比10”。比号不能写成冒号“:”，要注意区分1。2.分数形式的比：比还有一种简洁的书写形式，可以写成分数形式。例如，15∶10也可以写作1510\frac{15}{10}1015​，但仍读作“15比10”。这里要特别注意，虽然形式像分数，但它表示的是一种关系，而不是一个数值（尽管它可以求出数值）6。3.各部分名称：1.4.比号前面的数叫做比的前项。2.5.比号后面的数叫做比的后项。3.6.比的前项除以后项所得的商，叫做比值。用公式表示即为：前项∶后项=比值1。【高频考点】★（二）比值的计算与表示1.计算方法：求比值的方法非常简单直接，就是做除法。比值=前项÷后项。2.表示形式：比值通常用分数表示，也可以根据计算结果用小数或整数表示1。1.3.例如：求15∶10的比值。15÷10=1.5，所以比值可以是32\frac{3}{2}23​或1.5。4.重要辨析：比与比值的区别1.5.比：表示两个数之间的一种“相除关系”，它是一个关系式。例如“15∶10”6。2.6.比值：表示比的前项除以后项所得的“结果”或“商”，它是一个数（整数、小数、分数）。例如32\frac{3}{2}23​或1.59。三、知识网络构建：比与除法、分数的“铁三角”【难点】★（一）三者之间的内在联系比、除法和分数之间有着千丝万缕的联系，它们是可以相互转化的。我们可以用下面的对应关系来理解：1.比的前项相当于除法中的被除数，相当于分数中的分子。2.比号（∶）相当于除法中的除号（÷），相当于分数中的分数线（—）。3.比的后项相当于除法中的除数，相当于分数中的分母。4.比值相当于除法中的商，相当于分数中的分数值。如果用字母来表示比与分数、除法之间的关系，可以表示为：a:b=a÷b=ab(b≠0)a:b=a\divb=\frac{a}{b}\quad(b\neq0)a:b=a÷b=ba​(b=0)这个等式是打通本单元知识脉络的关键，必须深刻理解并熟练运用39。【难点】★（二）三者之间的本质区别尽管联系紧密，但它们在本质上是不同的概念，这是考试的易错点，也是深度理解的体现。1.比：是一种“关系”，表示两个数之间的倍数关系。它是一种静态的比较。2.除法：是一种“运算”，是一种具体的计算方法。3.分数：是一种“数”，它可以表示一个具体的数值，也可以表示两个量之间的关系（这时它才与比的意义相同）69。四、深层规则与易错辨析【非常重要】★（一）比的后项不能为0根据比与除法、分数的关系，比的后项相当于除法中的除数、分数中的分母。在除法中，除数不能为0；在分数中，分母不能为0。因此，比的后项也绝对不能为01。【高频考点】★★（二）“数学的比”与“体育比分”的天壤之别这是一个极易混淆的考点，也是考试中辨析题的高频出题点。1.数学的比：表示的是两个数的相除关系，后项不能为0，它可以化简，也可以求出比值。例如，我们班男生与女生的人数比是25∶20，可以化简为5∶4，比值是1.25。2.体育比赛的比分：例如“2∶0”，它记录的只是双方得分的具体分数，表示的是两队得分之间的相差关系（谁比谁多几分），而不是相除关系。这里比号的作用相当于记录数据，后项可以是0，也无需计算比值19。解题要点：看到题目中的“∶”，首先要判断它是数学意义上的“比”，还是记录比赛结果的“比分”。判断标准就是看后项是否为0，以及是否表示相除关系。五、分类解析与考点突破【基础题型】★题型一：根据条件写比1.解题步骤：1.2.确定谁和谁比：看清题目要求，明确比的前后项分别对应哪个量。2.3.注意顺序：比是有顺序的。“A与B的比”是A∶B；“B与A的比”是B∶A，两者意义完全不