江苏省苏州市2025-2026学年高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.=（）A.12 B.18 C.20 D.242.已知车轮旋转的角度θ（单位：rad）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，则车轮开始转动后第3.2s时的瞬时角速度（单位：rad/s）为（）A.20π B.10π C. D.3.某班要从4名女生和3名男生中选择3人参加学生代表大会，则选出的代表中女生人数不少于男生人数的选法种数为（）A.35 B.30 C.24 D.224.已知函数f（x）=x3-3x2+1在[-1，3]上的最大值和最小值分别为m,n,则m+n=（）A.-4 B.-2 C.-1 D.25.统计某超市连续5年的广告支出费x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：广告支出费x12467销售额y2030m4346得出经验回归方程为=4x+19，则（）A.y与x呈负相关关系 B.当x=5时，一定有y=39

C.m=36 D.当x=1时，残差为36.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（0，0，0），B（2，1，0），C（0，1，2），则点P（0，2，0）到平面ABC的距离为（）A. B. C. D.7.小明常用人工智能大模型DeepSeek解决学习疑问.当小明输入的问题表达清晰时，DcepScek的回复被采纳的概率为0.8：当小明输入的问题表达不清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.3.若小明输入的问题表达清晰的概率为0.7，则DeepSeek的回复被采纳的概率为（）A.0.56 B.0.65 C.0.77 D.0.88.已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1）在（0，+∞）上单调递增，则a和b的取值不可能是（）A.a=2， B.a=2，b=ln2

C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知随机变量X，Y，则下列说法正确的有（）A.若，则E（X）=3

B.若，Y=2X+1，则D（Y）=4

C.若X～N（6，σ2），P（3＜X＜6）=0.35，则P（X＞9）=0.15

D.若X～N（2，22），Y～N（2，32），则P（X＞4）＜P（Y＜0）10.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，O，E分别为B1D1，CC1的中点，则（）A.

B.

C.

D.AC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为

11.已知函数f（x）=lnx-ln（4-x）+ax（a∈R），则下列说法正确的有（）A.若a=-2，则f（x）存在极值点 B.若f（x）是增函数，则a≥-1

C.曲线y=f（x）是中心对称图形 D.存在a,使得f（x）有三个不同的零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f（x）=ex-1，g（x）=asinx,若曲线y=f（x）与y=g（x）在点（0，0）处有相同的切线，则实数a的值为

.13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量=（1，2，0），，，若点C在平面PAB内，则实数k的值为

.14.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了著名的“杨辉三角”，它揭示了（a+b）n展开式的项数及各项系数的规律，这是我国数学史上的一个伟大成就.在如图所示的“杨辉三角”中，第10行从左到右第4个数是

；记第n行从左到右第i个数为ai，则=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知的展开式中第3项与第2项的二项式系数之差为20.

（1）求n；

（2）求展开式中第3项与第n-1项的系数的比值；

（3）求展开式中的常数项.16.(本小题15分)

江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼开展，赛事凭借鲜明的本土地域特色广受省内市民喜爱.为调查某市市民购票前往现场观赛的意愿，某调研机构随机选取100名市民开展问卷调查，统计数据如下：愿意购票到场观赛不愿购票到场观赛合计女性252550男性401050合计6535100（1）依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联？

附：χ2=P（χ2≥k）0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828（2）为鼓励市民到场观赛，先对“愿意购票到场观赛”的65名被调查者按性别分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取13人，再从这13人中随机抽取2人发放观赛补贴，补贴标准：女性每人20元，男性每人10元.求补贴金额X的分布列与数学期望（结果四舍五入精确到整数）.17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，E，F分别是线段AB，BC上的动点（不含端点），AE=BF.

（1）求证：A1F⊥C1E；

（2）当三棱锥B1-BEF的体积取得最大值时，求平面A1EF与平面B1C1E的夹角的余弦值.18.(本小题17分)

已知函数.

（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；

（2）当a＞0时，若f（x）存在极小值点x0，证明：f（x0）＞0；

（3）若对任意x∈[-1，+∞），都有，求a的取值范围.19.(本小题17分)

某科技公司为推广某款机器人产品，举办“人类一机器人”挑战赛，规则如下：人类选派2n-1（n∈N*）名挑战者参赛，每名挑战者仅与一台该款机器人进行一场比赛，共进行2n-1场比赛，每场比赛只有胜、败两种结果.所有场次比赛结束后，若人类总获胜场数多于机器人总获胜场数，则人类队获胜，否则机器人队获胜.已知单场比赛中挑战者战胜机器人的概率恒为，所有场次的比赛结果相互独立.

（1）若n=2，，记人类总获胜场数与机器人总获胜场数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

（2）若n≥3，记事件Ak=“在前2n-3场比赛中人类胜了k（0≤k≤2n-3，k∈N）场”，事件B=“人类队获胜”.

①求P（B|An-2），P（B|An-1）（用含p的式子表示，无需书写推导过程）；

②研究表明：随着n的增大，人类队获胜的概率越来越小.请从数学角度证明上述观点.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】AD

11.【答案】ABC

12.【答案】1

13.【答案】-

14.【答案】120（n+2）2n-1+2•3n

15.【答案】解：（1）已知的展开式中第3项与第2项的二项式系数之差为20，

则=20，

即，

即n=8；

（2）展开式中第3项与第7项的系数的比值为=；

（3）展开式中的常数项为．

16.【答案】解：（1）零假设H0：“愿意购票到场观赛”与性别无关联，

此时＞6.635，

依据α=0.01的独立性检验，能认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联；

（2）若比例分配的分层随机抽样方法从65人中抽取13人，

此时分层抽样抽样比，

所以抽取女性人数为，抽取男性人数为，

因为X表示补贴金额，

所以X的所有可能取值为20，30，40，

此时，，

，

则X的分布列为：X203040P故．

17.【答案】由题意知，BC，BA，BB1两两互相垂直，

故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1（0，2，2），C1（2，0，2），

设AE=BF=t（0＜t＜2），则E（0，2-t，0），F（t，0，0），

所以=（t，-2，-2），=（-2，2-t，-2），

所以•=-2t-2（2-t）+4=0，即⊥，

所以A1F⊥C1E

18.【答案】解：（1）当a=1时，，

则f'（x）=（x+1）-（x+1）ex=（x+1）（1-ex），

令f′（x）=0，解得x=-1，或x=0，

当x＜-1时，x+1＜0，1-ex＞0，则f'（x）＜0，所以f（x）在（-∞，-1）上单调递减；

当-1＜x＜0时，x+1＞0，1-ex＞0，则f'（x）＞0，所以f（x）在（-1，0）上单调递增；

当x＞0时，x+1＞0，1-ex＜0，则f'（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，

综上，f（x）在（-∞，-1）上单调递减；在（-1，0）上单调递增；在（0，+∞）上单调递减；

（2）证明：由f′（x）=a（x+1）-（x+1）ex=（x+1）（a-ex），令f'（x）=（x+1）（a-ex）=0，解得x=-1，或x=lna,

当lna＞-1时，，

当x＜-1时，x+1＜0，a-ex＞0，则f'（x）＜0，所以f（x）在（-∞，-1）上单调递减；

当-1＜x＜lna时，x+1＞0，a-ex＞0，则f'（x）＞0，所以f（x）在（-1，lna）上单调递增；

当x＞lna时，x+1＞0，a-ex＜0，则f'（x）＜0，所以f（x）在（lna,+∞）上单调递减，

此时x=-1是f（x）的极小值点，而x=lna是f（x）的极大值点；

则x0=-1，所以得证；当lna=-1时，，，

当x＜-1时，x+1＜0，1-ex+1＞0，则f'（x）＜0，所以f（x）在（-∞，-1）上单调递减；

当x＞-1时，x+1＞0，1-ex+1＜0，则f′（x）＜0，所以f（x）在（-1，+∞）上单调递减，

此时f（x）无极值点，更无极小值点；

当lna＜-1时，，

当x＜lna时，x+1＜0，a-ex＞0，则f'（x）＜0，所以f（x）在（-∞，lna）上单调递减；

当lna＜x＜-1时，x+1＜0，a-ex＜0，则f'（x）＞0，所以f（x）在（lna,-1）上单调递增；

当x＞-1时，x+1＞0，a-ex＜0，则f'（x）＜0，所以f（x）在（-1，+∞）上单调递减，

此时x=lna是f（x）的极小值点，而x=-1是f（x）的极大值点；

则x0=lna,所以f，得证，

综上，当a＞0时，若f（x）存在极小值点x0，必有f（x0）＞0，得证；

（3）对任意x∈[-1，+∞），有，即，

当x=-1时，恒成立，此时a的取值范围为R，

当x＞-1时，，

令，x＞-1，则，

令h（x）=（x2+1）ex-1，x＞-1，则h'（x）=（x+1）2ex≥0，

所以h（x）在（-1，+∞）上单调递增，且h（0）=（02+1）e0-1=0，

所以当-1＜x＜0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，所以g（x）在（-1，0）上单调递减；

当x＞0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，

所以g（x）min=g（0）=1，即a≤1，

综上，当x=-1时，a∈R；当x＞-1时，a≤1，

故对任意x∈[-1，+∞），都有时，a的取值范围为（-∞，1]．

19.【答案】解：（1）n=2时，比赛场次为3场，X的所有可能取值为1，3，

，

，

所以X的分布列为：X13P．

（2）①总共比赛2n-1场，已比2n-3，还需再比2场，

An-2表示“在前2n-3场比赛中人类胜了n-2场”，

人类要获胜，则要胜场数≥n,即剩余两场均要胜利，

所以，

An-1表示“在前2n-3场比赛中人类胜了n-1场”，

人类要获胜，则要胜场数≥n,即剩余两场至少胜一场，

所以；

②证明：设P（n）=P（在2n-1场