人教A版必修一-2

指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质主题1指数函数的定义1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x次以后，得到的细胞个数y与x之间的关系是什么?提示:分裂次数与细胞个数:归纳:y=2x(x∈N*).分裂次数123…x细胞个数22×2=222×2×2=23…2×2×…×2=2x2.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩余的这种物质是原来的84%，那么经过x年后剩余量y与x的关系是什么？提示：经过1年，剩余量为1;经过2年，剩余量为2;……经过x年，剩余量为x.3.你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？提示：共同点：变量x与y构成的函数关系式是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数;不同点：底数的取值不同.结论:指数函数的定义函数_______________叫做指数函数，其中__是自变量，函数的定义域是__.y=ax(a>0且a≠1)xR【对点训练】1.以下一定是以x为自变量的指数函数的是 ()A.y=ax B.y=xa(a>0且a≠1)C.y= D.y=(a-2)ax【解析】选C.根据指数函数的定义:形如y=ax(a>0，且a≠1)的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项C正确.对于A，当a小于等于零，或者等于1时，y=ax就不是指数函数，对于B，自变量在底数位置，所以y=xa(a>0且a≠1)不是指数函数，对于D，当a=2时，函数变为y=0是常数函数，不是指数函数.2.假设函数f(x)=(a-1)x是指数函数，那么a的取值范围是_________.

【解析】由题意知

答案:a>1且a≠2主题2指数函数的图象与性质在同一坐标系中用描点法画出y=2x及y=的图象.列表x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x…0.250.350.50.7111.4122.834…y=

…42.8321.4110.710.50.350.25…描点画图：结合图象你发现二者之间有什么关系?提示：共同点：都在x轴上方;都过点(0，1).不同点：y=的图象是下降的，y=2x的图象是上升的.联系：二者关于y轴对称.结论:指数函数的图象与性质a>10<a<1图象

性质定义域__值域_________过定点_______单调性在R上是_______在R上是_______R(0,+∞)(0,1)增函数减函数【对点训练】1.函数y=ax-2+2(a>0且a≠1)的图象必经过点 (

)A.(0,1) B.(1,1) C.(2,3) D.(2,4)【解析】选C.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象恒过(0,1),而要得到函数y=ax-2+2(a>0且a≠1)的图象,可将函数y=ax(a>0且a≠1)的图象向右平移2个单位,再向上平移2个单位,那么点(0,1)平移后得到点(2,3).2.假设指数函数f(x)=(2a2-7a+4)ax是R上的增函数,那么a的值为 (

)A.3 B.C.或3 D.0<a<1【解析】选A.因为函数f(x)=(2a2-7a+4)ax是指数函数,所以2a2-7a+4=1,即2a2-7a+3=0,解得a=或3,当a=时,f(x)=是R上的减函数,所以不符合题意,当a=3时,f(x)=3x是R上的增函数,所以符合题意,选A.类型一指数函数的定义【典例1】(1)以下各函数中,是指数函数的是 (

)A.y=x3 B.y=(-4)xC.y=5x+1 D.y=52x=25x(2)函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,那么有 (

)A.a=1或a=2 B.a=1C.a=2 D.a>0且a≠1【解题指南】(1)观察函数解析式的形式看是否满足指数函数的定义,然后再下结论.(2)根据指数函数的定义建立关于a的关系式求解.【解析】(1)选中虽然是一个幂的形式，但自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中虽然是一个幂的形式，且自变量出现在指数上，但-4<0，不满足"大于0且不等于1〞这个条件，故不是指数函数；C中虽然是一个幂的形式，x也出现在指数上，但指数并不是自变量x，故不是指数函数；D中52x=25x恰好符合指数函数的三个特点，故是指数函数.(2)选C.由指数函数的定义得:解得a=2.【方法总结】1.判断一个函数是指数函数的方法(1)看形式:只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0，且a≠1)这一结构特征.(2)明特征：指数函数的解析式具有三个特征，即①a>0且a≠1;②ax的系数为1;③指数位置自变量x的系数为1.只要有一个特征不具备，就不是指数函数.2.某函数是指数函数求参数值的两个步骤(1)列:根据底数大于0且不等于1，ax的系数是1且指数位置自变量x的系数是1，列出方程(组)或不等式(组).(2)解:解所列方程(组)或不等式(组)，求出参数的值.【跟踪训练】1.给出以下函数①y=2·3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x其中指数函数的个数是 (

)【解析】选B.①中，3x的系数为2，①不是指数函数;②中，y=3x+1的指数是x+1，不是自变量x，故②不是指数函数;③中，y=3x是指数函数;④中，y=x3，底数为自变量，故④不是指数函数.⑤中，底数-2<0不是指数函数.2.假设函数y=(a-2)2ax是指数函数,那么 (

)A.a=1或a=3

B.a=1C.a=3 D.a>0且a≠1【解析】选C.令(a-2)2=1,得a=3或a=1,当a=1时不符合题意舍去,故a=3.【误区警示】解答此题易出现选A的错误,出现这种错误的原因是忽略了指数函数的底数a需满足a>0且a≠1.类型二指数函数的图象问题【典例2】(1)函数y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是 (

)(2)要得到函数y=23-x的图象,只需将函数y=的图象 (

)A.向右平移3个单位

B.向左平移3个单位C.向右平移8个单位

D.向左平移8个单位(3)指数函数f(x)=(a+b)(a-b)x的图象经过点,那么f(-3)的值为________.

【解题指南】(1)要注意对a进行讨论,分0<a<1和a>1两种情况讨论判断.(2)先对解析式变形,再进行判断.(3)由题意列出关于a,b的方程组求解.【解析】(1)选D.函数y=x+a单调递增.由题意知a>0且a≠1.当0<a<1时，y=ax单调递减，直线y=x+a在y轴上的截距大于0且小于1;当a>1时，y=ax单调递增，直线y=x+a在y轴上的截距大于1.应选D.(2)选A.因为y=23-x=所以y=的图象向右平移3个单位得到y=即y=23-x的图象.(3)由题意可得

，所以

所以f(x)=，所以f(-3)==27.答案:27【方法总结】1.函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.2.指数型函数图象过定点问题的处理策略求指数型函数图象所过的定点时,只需令指数为0,求出对应的x与y的值,即为函数图象所过的定点.【拓展】函数图象的变化规律(1)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.(2)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.(3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.(4)y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的局部翻折到x轴上方得到.(5)y=f(|x|)的图象,可先作出当x≥0时y=f(x)的图象,再利用偶函数的图象关于y轴对称,作出y轴左边的图象,整体即为y=f(|x|)的图象.【跟踪训练】1.图中曲线C1,C2,C3,C4分别是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,那么a,b,c,d与1之间的大小关系是 (

)A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<cC.b<a<1<c<d D.b<a<1<d<c【解析】选D.过点(1,0)作直线x=1,在第一象限内分别与各曲线相交,可知1<d<c,b<a<1,故b<a<1<d<c.2.函数f(x)=(a2-3a+3)x-4a+5的图象不经过第一象限,那么实数a的取值范围是________.

【解析】由

得≤a<2,当a2-3a+3=1时,解得a=1或a=2,当a=1时,f(x)=2,不符合题意,当a=2时,f(x)=-2,符合题意,故a=2,所以≤a≤2.答案:≤a≤2【补偿训练】假设函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,那么一定有 (

)A.0<a<1,且b>0 B.a>1,且b>0C.0<a<1,且b<0 D.a<1,且b>0【解析】选C.根据题意画出函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的大致图象,如以下图.所以0<a<1,且f(0)=1+b-1<0,即0<a<1,且b<0.类型三指数函数的定义域、值域问题【典例3】(1)函数f(x)=的定义域为 (

)A.(-3,0] B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1](2)函数f(x)=-1,x∈[-1,2]的值域为________.

(3)函数y=4x-2x+1+4的最小值为________.

【解题指南】(1)根据被开方数不小于零,分母不等于零,列出不等式组求解.(2)根据指数函数的单调性求解.(3)根据指数函数的性质及二次函数的单调性求解.【解析】(1)选A.由题意得自变量x应满足

解得-3<x≤0.(2)因为-1≤x≤2，所以≤≤3，所以-≤-1≤2，所以值域为

答案:(3)函数的定义域为R，又y=4x-2x+1+4=(2x)2-2·2x+4=(2x-1)2+3≥3，当且仅当2x-1=0，即x=0时取最小值3，所以函数的最小值为3.答案:3【方法总结】函数y=af(x)定义域、值域的求法(1)定义域:形如y=af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合.(2)值域：①换元，令t=f(x);②求t=f(x)的定义域x∈D;③求t=f(x)的值域t∈M;④利用y=at的单调性求y=at，t∈M的值域.提醒:(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集.(2)当指数型函数的底数含字母时，在