小学数学五年级下册《公因数和最大公因数》单元整体教学设计

小学数学五年级下册《公因数和最大公因数》单元整体教学设计一、教学基本信息（一）课题名称：公因数和最大公因数（二）学科与学段：小学数学五年级下册（三）课时安排：共3课时（本设计为单元整体教学设计，并重点呈现第1、2课时的教学实施过程）（四）授课对象：小学五年级学生二、教材分析与处理（一）教材地位与作用“公因数和最大公因数”是苏教版小学数学五年级下册第三单元《因数与倍数》中的核心内容，属于“数与代数”领域的基础知识。它是在学生已经掌握了因数、倍数的含义，学会找一个数的因数的基础上进行教学的。这部分内容不仅是后续学习约分、通分以及进行分数四则运算的基础，更是将来学习数论、解决更复杂数学问题的关键工具。从知识体系上看，它承前启后，既是对因数概念的深化和拓展，也是开启分数运算大门的钥匙。本单元教学的成功，将直接影响学生对分数计算的掌握程度和数学思维的严谨性发展。（二）教学目标设计依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第二学段的要求，结合本单元内容的特点和学生的认知规律，制定如下单元教学目标：1、知识与技能目标：【基础】（1）学生经历找两个数的公因数和最大公因数的过程，理解公因数和最大公因数的含义。（2）掌握求两个数的公因数和最大公因数的方法，能熟练地用列举法、筛选法找出两个数的公因数和最大公因数。（3）理解并掌握求两个数的最大公因数的特殊规律：当两个数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数；当两个数只有公因数1时，它们的最大公因数是1。【重要】2、过程与方法目标：（1）通过操作、观察、比较、分析、归纳等数学活动，经历公因数概念的形成过程和方法的探索过程，发展学生的抽象概括能力和合情推理能力。（2）在解决问题的过程中，体会数学思考的有序性和方法的多样性，渗透集合思想，培养优化意识。【热点】3、情感、态度与价值观目标：（1）通过解决实际问题，感受数学与生活的密切联系，体会数学的应用价值，激发学习兴趣。（2）在自主探索和合作交流中，培养勇于探索的精神和善于合作的意识，体验成功的喜悦。（三）教学重难点1、教学重点：理解公因数和最大公因数的意义，掌握求两个数的最大公因数的方法。【非常重要】2、教学难点：理解公因数的内涵，即“公有”的意义，以及能根据两个数的关系灵活、简洁地求出它们的最大公因数。【难点】（四）教学准备1、教具准备：多媒体课件（PPT）、边长不同的正方形纸片模型（如边长为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm、6cm的正方形）、实物展台。2、学具准备：边长1厘米的小正方形若干（每组一份）、方格纸（或练习纸）、导学案。三、教学理念与设计思路本单元教学设计秉持“以生为本，学为中心”的理念，遵循从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律。通过创设真实、有趣的问题情境（如铺地砖），激发学生的探究欲望，让学生在动手操作、合作交流中“做数学”，经历概念的形成过程和方法的优化过程。力求做到“概念要清、原理要明、方法要实”，不仅让学生掌握知识技能，更重要的是让学生在数学思考、问题解决等方面获得发展，落实数学核心素养。四、教学实施过程（分课时详案）第一课时：公因数和最大公因数的意义（一）创设情境，引入新课（上课伊始，教师用课件出示情境：王叔叔家的储藏室长16分米，宽12分米，他打算用边长是整分米数的正方形地砖把地面铺满，使用的地砖都是整块的。可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？）师：同学们，生活中经常会遇到铺地砖的问题。从图中你获得了哪些数学信息？要解决什么问题？（学生汇报，明确：地面长16分米、宽12分米；要铺满，地砖必须是整分米数，而且要整块铺，不能切割。）师：这个问题里蕴含着有趣的数学知识，今天我们就一起来探究其中的奥秘。（板书课题：公因数和最大公因数）（二）操作感知，概念形成1、初步尝试，提出猜想师：猜一猜，可以选择边长是几分米的正方形地砖呢？（学生可能根据生活经验和直觉，回答出2分米、4分米等。教师不急于评价，而是将问题引向深入。）师：光猜可不行，我们需要验证。请同学们以小组为单位，用你们手中的学具（边长1厘米的小正方形代表边长1分米的地砖）在方格纸上摆一摆，或者画一画，看看哪些边长的小正方形能正好铺满长16厘米、宽12厘米的长方形。2、动手操作，合作探究【基础活动】学生以4人小组为单位进行活动，教师巡视指导，了解学生不同的验证方法（有的是用小正方形铺，有的是在方格纸上画，有的可能直接计算）。3、汇报交流，感知“公”有小组代表上台利用实物展台展示自己的探究成果。组1：我们是用摆的方法。用边长1厘米的小正方形摆，长边摆了16个，宽边摆了12个，正好铺满。组2：我们是用画的方法，也是边长1厘米的，能铺满。我们还试了边长2厘米的，长边8个，宽边6个，也正好铺满。组3：我们试了边长3厘米的，长边摆了5个还剩1厘米，不够一个，所以不行。边长4厘米的，长边4个，宽边3个，可以铺满。边长5厘米的，长边3个（15厘米）剩下1厘米，不行。边长6厘米的，长边2个（12厘米）剩下4厘米，也不行。师：（根据学生汇报，在课件上动态演示或板书）大家听明白他们的意思了吗？我们一起来梳理一下。地砖边长（分米）：……能否铺满？能能否能否否……长边所需块数：168—4——……宽边所需块数：126—3——……师：观察这些能铺满的情况，你们有什么发现？生：能铺满的边长，既能被16整除，也能被12整除。师：说得太棒了！这正是问题的关键。铺满地面的条件，就是地砖的边长必须既是16的因数，又是12的因数。【重要】4、抽象概括，揭示概念师：请同学们分别写出16和12的所有因数。学生独立完成，教师指名板演：16的因数有：1，2，4，8，16。12的因数有：1，2，3，4，6，12。师：（指着黑板）我们找到了16的因数和12的因数。请仔细观察，这两排数中，哪些数是它们共同拥有的？生：1、2、4。师：（用集合圈动态展示）大家看，1、2、4既是16的因数，又是12的因数。我们把两个数公有的因数，叫做它们的公因数。（板书：几个数公有的因数，叫做它们的公因数）师：在这些公因数中，最大的数是几？生：4。师：4就是16和12的最大公因数。（板书：其中最大的一个，叫做它们的最大公因数）师：现在，谁能完整地回答王叔叔的问题？生：可以选择边长是1分米、2分米、4分米的地砖，边长最大是4分米。（三）巩固练习，深化理解1、【基础练习】完成导学案“试一试”。找出8和12的公因数和最大公因数。学生独立完成，指名汇报，并说说自己的思考过程。2、辨析练习（课件出示）。判断：两个数的公因数个数是有限的，最大公因数是唯一的。（√）判断：两个数的公因数一定比这两个数都小。（×，举例：4和8，公因数4不小于4）判断：1是任何两个非零自然数的公因数。（√）【重要】3、联系生活，解决问题。用一张长24厘米、宽18厘米的长方形纸剪成若干个同样大小的正方形，纸没有剩余。剪出的正方形的边长最大是多少厘米？学生独立审题，明确本题就是求24和18的最大公因数，然后计算解答。（四）课堂小结，回顾反思师：通过今天的学习，你有什么收获？我们是怎样找到公因数和最大公因数的？引导学生从知识（概念）、方法（列举、观察）、思想（集合）等方面进行回顾。第二课时：求最大公因数的方法（一）复习铺垫，引入新知师：上节课我们认识了公因数和最大公因数。谁能说说什么是两个数的公因数？什么是最大公因数？（学生口答）师：我们是如何找出18和12的公因数和最大公因数的？（学生回忆：先分别列出两个数的因数，再找出公有的，最后确定最大的。）师：这种方法叫做“列举法”。（板书：方法一：列举法）今天，我们将继续探究，看还有没有更简洁、更高效的方法来求两个数的最大公因数。（二）自主探索，方法优化1、学习“筛选法”【重要方法】出示例题：求18和27的最大公因数。师：请同学们先试着用上节课的列举法做一做。学生完成后，教师引导：在列举时，有没有更快捷的思考方式？比如，我们可不可以先只列出一个数的因数，再从这个数的因数中，从大到小去筛选，看哪个也是另一个数的因数？生：可以先列出27的因数：1，3，9，27。然后从大到小看，27是不是18的因数？不是。9是不是18的因数？是！所以9就是它们的最大公因数。师：你的想法太棒了！这种先列举一个数的因数，再从中找出也是另一个数因数的数，也就是“找公因数”的方法，我们称之为“筛选法”。（板书：方法二：筛选法）与分别列举再找公共部分的方法相比，它有什么优点？生：步骤更少，计算更简单，特别是当一个数的因数不多时，很快就能找到。师：没错，筛选法体现了思维的优化，是求最大公因数的一种常用方法。2、探究特殊关系下的最大公因数【难点突破】【高频考点】（1）倍数关系师：我们接着看下面几组数，请你快速找出它们的最大公因数。4和85和159和18学生口答，教师板书。师：观察这几组数，它们之间有什么关系？它们的最大公因数有什么特点？生：每组中，大数是小数的倍数。它们的最大公因数就是那个较小的数。师：总结得非常好！当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数。（板书：方法三：特殊关系法——倍数关系）（2）公因数只有1的关系师：再来看这几组数，找一找它们的最大公因数。5和78和91和任何非零自然数学生口答（5和7的最大公因数是1，8和9的最大公因数是1，1和任何非零自然数的最大公因数是1）。师：这些数又有什么共同点？生：它们的公因数只有1。师：对，像这样，公因数只有1的两个数，叫做互质数。当两个数是互质数时，它们的最大公因数就是1。（板书：方法三：特殊关系法——互质关系）【非常重要】师：生活中有没有互质数的例子？（学生举例，如：连续的两个自然数，不同的质数等。）（三）方法梳理，沟通联系师：现在我们来梳理一下求两个数的最大公因数的方法。谁能总结一下？引导学生得出：一般情况：可以用列举法或筛选法，找出所有公因数，再确定最大的。特殊情况：（1）如果两个数是倍数关系，较小的数就是它们的最大公因数。（2）如果两个数是互质关系，它们的最大公因数就是1。师：同学们总结得非常全面。在选择方法时，我们要先观察两个数的关系，如果存在特殊关系，可以直接运用规律得出结果，提高解题效率。如果没有明显特征，再用列举法或筛选法。（四）分层练习，巩固提升1、【基础练习】完成导学案“练一练”。找出下面每组数的最大公因数。6和910和1512和368和1114和152、【综合练习】选择合适的方法，快速说出下面每组数的最大公因数。18和547和1316和2425和303、【拓展练习】有两根木料，一根长32米，另一根长24米，把它们截成同样长的小段，且没有剩余。每段最长是多少米？一共可以截成几段？学生分析：此题是求32和24的最大公因数，每段最长是8米。段数=32÷8+24÷8=4+3=7（段），也可以直接用总长除以每段长：（32+24）÷8=7（段）。（五）课堂总结，布置作业师：通过今天的学习，你掌握了哪些求最大公因数的方法？在解决问题时，你有什么心得想和大家分享？（学生畅谈收获）师：数学知识的学习是无止境的，今天我们用“列举”和“筛选”找到了最大公因数，还发现了特殊关系下的规律。希望同学们在今后的学习中，也能像今天这样，善于观察，勤于思考，找到解决问题的最优策略。第三课时：综合练习与拓展应用（简案）（一）基础巩固通过判断、填空、计算等形式，复习公因数、最大公因数的概念和基本求法。（二）综合应用解决稍复杂的实际问题，如：用长方形瓷砖铺成正方形的问题（求最小公倍数，可作对比练习），将一张长方形纸裁成正方形且无剩余且张数最少（实际上是求长和宽的最大公因数）等，让学生在解决问题中辨析概念，加深理解。（三）思维拓展探究“辗转相除法”（欧几里得算法）的初步思想，为学有余力的学生打开一扇窗，感受数学文化的魅力。（四）单元知识梳理引导学生整理本单元知识网络图，将公因数、最大公因数与因数、倍数、偶数、奇数、质数、合数等概念联系起来，形成结构化的知识体系。五、板书设计（第一课时板书）公因数和最大公因数16的因数：1，2，4，8，1612的因数：1，2，3，4，6，1216和12的公因数：1，2，416和12的最大公因数：4几个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。（第二课时板书）求最大公因数的方法方法一：列举法方法二：筛选法方法三：特殊关系法①倍数关系→较小数例：4和8→4②互质关系→1例：5和7→1（两个数公因数只有1，叫做互质数）六、教学评价设计（一）评价原则坚持过程性评价与结果性评价相结合、定性评价与定量评价相结合的原则。关注学生在学习活动中的参与度、思维活跃度、合作交流能力，以及基础知识和基本技能