九年级上册数学 讲义 第15讲 圆中的计算 讲义+练习（教师版）

圆中的计算适用学科初中数学适用年级初三适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、弧长的计算2、扇形面积的计算3、圆锥的有关计算教学目标1.掌握掌握弧长计算公式，了解其推导过程并能运用公式求圆弧的长度.2.掌握扇形面积计算公式，了解其推导过程并能运用公式求扇形的面积.3.理解圆锥母线的概念、圆锥的侧面积展开图是扇形，并能够计算圆锥的侧面积和全面积.教学重点经历探索弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算公式的过程并能解决问题．教学难点综合弧长与扇形面积的计算公式计算圆锥的侧面积解决实际问题．【教学建议】要举例实际生活问题，从问题出发，让学生自己观察，探索.弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算公式不能直接给出，而是要让学生观察、推导、类比、归纳得出.这样才能锻炼学生的自主学习能力.【知识导图】问题：观察上面的图片，本节课我们将研究这类图形.1．圆的周长公式是什么？2．圆的面积公式是什么？3．什么叫弧长、扇形？（1）圆的周长C=2R（2）圆的面积S图=R2（3）圆上任意两点间的部分叫做圆弧、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.4、思考：弧的长度如何计算？扇形的面积如何计算？扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.母线：圆锥底面圆周上任意一点线叫做母线.高：连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.名称推导过程公式弧长公式扇形面积公式圆锥相关计算公式类型一弧长的计算如图，半圆的圆心为O，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB=30°，的长是（）A．12π B．6π C．5π D．4π【解析】解：如图，连接OC，∵∠CAB=30°，∴∠BOC=2∠CAB=60°，∴∠AOC=120°．又直径AB的长为12，∴半径OA=6，∴的长是：=4π．类型二扇形面积计算如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2 B．350πcm2 C．πcm2 D．150πcm2【解析】解：∵AB=25，BD=15，∴AD=10，∴S贴纸=﹣=175πcm2，【总结与反思】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，以BC的中点E为圆心的与AD相切，则图中阴影部分的面积是多少？【解析】解：连接PE，∵AD切⊙E于P点，∴PE⊥AD，∵∠A=∠B=90°，∴四边形ABEP为矩形，∴PE=AB=1，∴ME=1，∵E为BC的中点，∴BE=BC=，在Rt△MBE中，cos∠MEB==，∴∠MEB=30°，同理，∠CEN=30°，∴∠MEN=120°，S扇形===．类型三圆锥的有关计算一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A．5π B．4π C．3π D．2π【解析】半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积，从而求出侧面积是：底面的周长是2π．则底面圆半径是1，面积是π．则该圆锥的全面积是：类型三其他相关计算如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF.求证：OF∥BC；求证：△AFO≌△CEB；若EB=5cm，CD=cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积.【解析】解：（1）∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°又∵OF⊥AC于F，∴∠AFO=90°，∴∠ACB=∠AFO∴OF∥BC（2）由（1）知，∠CAB+∠ABC=90°由已知AB⊥CD于E可得∠BEC=90°，∠CBE+∠ABC=90°∴∠CBE=∠CAB又∠AFO=∠BEC，BE=OF∴△AFO≌△CEB（3）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E∴∠OEC=90°，ＣＥ＝ＣＤ＝在中，设OE=x，ＯＢ＝５＋ｘ＝ＯＣ由勾股定理得：ＯＣ２＝ＯＥ２＋ＥＣ２∴（５＋ｘ）２＝解得ｘ＝５．在中＝∵为锐角∴=６0°由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为：四、课堂运用四、课堂运用1.已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．30πcm2 B．50πcm2 C．60πcm2 D．3πcm22.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）A． B． C．4 D．2+3.已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是cm．4.如图，一个圆锥形工艺品，它的高为3cm，侧面展开图是半圆．求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）圆锥的侧面积．答案与解析1.【答案】A．【解析】解：圆锥的侧面积=2π×3×10÷2=30π．2.【答案】B．【解析】解：如图：BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×=，3.【答案】解：设母线长为R，则：65π=π×5R，解得R=13cm．【解析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．4.【答案】解：（1）设圆锥底面半径为rcm，母线为ℓcm，由题知2πr=πℓ解得ℓ：r=2：1答：圆锥母线与底面半径之比为2：1．（2）由题知把ℓ=2r代入，解得r1=﹣3（舍去），r2=3∴ℓ=6∴圆锥的侧面积=πrℓ=18π（cm2）【解析】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2 B． C．πm2 D．2πm22.如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D相交于点C，∠OCA=30°，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣2 B．4π﹣ C．4π﹣2 D．2π﹣3.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．答案与解析1.【答案】A．【解析】解：连接AC，∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC，∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=（m2）.2.【答案】A．【解析】解：∵∠AOB=90°，∴AB是直径，连接AB，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，由题意知，OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2×=2，AB=AO÷sin30°=4即圆的半径为2，∴阴影部分的面积等于半圆的面积减去△ABO的面积，S阴=S半﹣S△=﹣×2×2=2π﹣2．3.【答案】同解析.【解析】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴AE=ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．1.如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣2.如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．﹣2 C．π﹣ D．﹣3.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为．答案与解析1.【答案】A．【解析】解：如图：正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．2.【答案】A．【解析】解：过O点作OE⊥CD于E，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，∵⊙O的半径为2，∴OE=1，CE=DE=，∴CD=2，∴图中阴影部分的面积为：﹣×2×1=π﹣．3.【答案】同解析.【解析】解：连接BH、BH1，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，∴AB=4，∴AC==2，在Rt△BHC中，CH=AC=，BC=2，根据勾股定理可得：BH=；∴S扫=S扇形BHH1﹣S扇形BOO1==π．本节课的内容为弧长及扇形面积，是在学习了圆的有关性质后，利用圆的性质探索推导弧长及扇形的面积，并能运用得出的结论进行有关计算，实质上是圆的有关性质的运用．本节的重点和难点是学生自己能推导并掌握弧长及扇形的面积，并能应用公式解决问题．1.如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（）A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm22.现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为．3.如图，已知扇形的圆心角为120°，面积为300π．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为多少？4.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），（1）则该圆弧所在圆的圆心坐标为．（2）求弧ABC的长．答案与解析1.【答案】C．【解析】解：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．∴BC==10（cm），∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl=π×6×10=60π（cm2）．2.【答案】18°．【解析】解：20π=，解得：n=90°，∵扇形彩纸片的圆心角是108°∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°=18°．剪去的扇形纸片的圆心角为18°．3.【答案】（1）20π；（2）20．【解析】解：（1）设扇形的半径为R，根据题意，得∴R2=900，∵R＞0，∴R=30．∴扇形的弧长=．（2）设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr=20π，∴r=10．h==20．4.【答案】（1）（2，0）；（2）π．【解析】解：（1）圆心如图所示，坐标为（2，0）；（2）如图所示，弧ABC所对的圆心角为90°，根据勾股定理得半径==2，所以，弧ABC的长==π．1.如图，点C在以AB为直径的半圆O的弧上，∠ABC=30°，且AC=2，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣ B．﹣2 C．﹣ D．﹣2.如图，圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，则这个扇形的面积为（）A．300π B．150π C．200π D．600π3.已知：如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，设⊙O的半径为6cm．（1）求DE的长；（2）求图中阴影部分的面积．答案与解析1.【答案】A．【解析】解：连接OC，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=90°，∠AOC=60°，∠COB=120°，∵AC=2，∴AB=2AO=4，BC=2，∴OC=OB=2，∴阴影部分的面积=S扇形﹣S△OBC=﹣×2×1=π﹣，2.【答案】A．【解析】解：∵底面圆的面积为100π，∴底面圆的半径为10，∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，设扇形的母线长为r，则=20π，解得：母线长为30，∴扇形的面积为πrl=π×10×30=300π，3.【答案】同解析.【解析】解：（1）连接OE，∵D是CO的中点，⊙O的半径为6cm，∴OD=OC=3cm，∵OC⊥AB，DE∥AB，∴∠ODE=90°，∴DE==3；（2）∵OD=OC，∠ODE=90°，∴∠OED=30°，∴∠DOE=60°，∴图中阴影部分的面积=﹣×3×3=6π﹣（cm2）．1.如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S12．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为cm2．3．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为．答案与