人教版高考数学必修二 题型突破 第36讲 内接棱锥体积最大及与球有关截面问题（解析版）

第36讲内接棱锥体积最大及与球有关截面问题题型一：球的内接棱锥体积最大值问题【例1】四面体的所有顶点都在同一个球面上，且，若该球的表面积为，则四面体体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设球心为，利用平面时四面体的体积最大求出四面体的高，即可求出体积.【详解】因为中，，所以，又因为，解得外接球半径，如图所示为四面体外接球球心，为外接圆圆心，所以平面，设面上的高为，所以，又因为在中，，所以，所以四面体体积的最大值为，故选：A【例2】已知点，，均在球的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为6，则球的体积为___________.【答案】【分析】由题意可得当点位于垂直于面的直径端点时，三棱雉的体积最大，设球的半径为，由，列方程求出，从而可求出球的体积.【详解】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱雉的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的体积为.故答案为：【例3】若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出外接圆直径，结合锥体体积公式及球面的性质求出球半径即可计算作答.【详解】如图，设的中心为，连接，的延长线交球面于点D，连SD，显然CD是外接圆的直径，则，而平面ABC，则平面ABC，因正边长为3，则，，又，而，解得，在中，球O的直径，球O的半径，所以三棱锥的外接球的体积为.故选：D【例4】球为正四面体的内切球，，是球的直径，点在正四面体的表面运动，则的最大值为______．【答案】【分析】设球的半径为，利用正四面体的性质可得，进而可得，然后根据向量线性运算及数量积的运算律可得，进而即得.【详解】设球的半径为，由题可知正四面体的高为，所以，解得，因为点在正四面体的表面运动，所以，所以.故答案为：.【题型专练】1．已知三棱锥的外接球的体积为，是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，求出球半径及的外接圆半径，再借助几何意义确定三棱锥的高并求出最大值作答.【详解】设三棱锥的外接球半径为R，则，解得，又正的外接圆半径为，则球心到平面的距离为，由球的性质知，当点A是垂直于平面的球的直径的一个端点，且球心在这个端点与平面之间时，三棱锥的高最大，其最大值为，而，所以三棱锥的体积最大值为．故选：C2．已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，若三棱锥的体积最大值为2，则球O的半径为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件及同弧所对圆心角与圆周角的关系，再利用勾股定理及棱锥的体积公式即可求解.【详解】设的外接圆圆心为，依题意可知为正三角形，所以圆的半径，设球O的半径为R，因为平面，所以，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的高等于，所以三棱锥，得，解得.所以球O的半径为.故选:D．3.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．4．已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，A，B，C三点均在以S为球心的球S的球面上，P是该球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三棱锥的体积公式，结合三角形面积公式、球的几何性质、勾股定理进行求解即可.【详解】设三棱锥的高为，所以有，在直角三角形中，，，当共线时，三棱锥体积的最大，显然，如图所示：最大值为：，故选：D题型二：球中有关截面交线问题【例1】如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】画出平面截球的截面的平面图，由正方体棱长和锐角三角函数，可求出内切圆的半径，进而可求得截面面积.【详解】平面截球的截面为的内切圆，正方体棱长为1，.内切圆半径.截面面积为：.故选：C.【例2】四棱锥S-ABCD所有棱长都为，底面ABCD是正方形，以点S为球心的球S与底面只有一个公共点，球S被该四棱锥所有面截得的弧长之和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，分析可得SO就是球S的半径，且球S被每个侧面截得的弧长为，求和即可.【详解】设正方形ABCD的中心为O，由于四棱锥S-ABCD所有棱长都相等，所以SO⊥底面ABCD.∵，∴AO=3，∵，∴SO=3.∵球S与底面只有一个公共点，∴SO就是球S的半径，长为3.四个侧面均为等边三角形，且四个侧面所在平面都经过球心S，故截面圆半径为3，且所截的弧所对圆心角为，故球S被每个侧面截得的弧长为，所以球S被该四棱锥所有面截得的弧长之和为.故选：B【题型专练】1.棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为A． B． C． D．【答案】D【详解】思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面截面所得圆面的半径得知直线被球截得的线段就是球的截面圆的直径.由题意可知，球为正方体的外接球.平面截面所得圆面的半径直线被球截得的线段为球的截面圆的直径.点评：本题考查球与正方体“接”的问题，利用球的截面性质，转化成为求球的截面圆直径.2．已知直四棱柱，，底面为平行四边形，侧棱底面，以为球心，半径为2的球面与侧面的交线的长度为___________.【答案】【分析】根据已知，结合图形，利用弧长公式、勾股定理、线面垂直计算求解.【详解】如图，连接，直四棱柱，，所以，在中，由余弦定理有：，代入数据，